080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / Лекции_Математический анализ
.pdf
Разложить эту функцию в ряд Фурье. |
|
|
y |
|
|
π/2 |
|
|
|
|
2π |
0 |
π |
x |
|
РИС. 6.1.4 |
|
Решение. Строим график (сначала на интервале (0,2π) затем периодически продолжаем, см. рис. 6.1.4). Имеем T = 2π, = π. По графику видно, что функция является четной (установить это аналитически гораздо сложнее). Поэтому bn = 0 и применимы формулы (89):
a |
|
2 π |
|
x − |
π |
dx = |
2 |
x2 |
πx |
|
π |
|
|
2 π |
|
|
π |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
= |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
= 0 , a |
= |
|
|
|
x − |
|
cos nxdx . |
||||
π∫0 |
|
|
|
|
|
|
π ∫0 |
|
|
||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
π 2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Интеграл для вычисления an |
берем по частям: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
u = x + |
π |
, dv = cos nxdx du = dx, v = |
1 sin nx . |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
Тогда
|
2 |
|
π |
1 |
|
π |
|
1 |
π |
|
2 |
|
|
π |
|
2 |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
an = |
|
x − |
|
|
|
sin nx |
|
− |
n ∫ |
sin nxdx = |
|
cos nx |
|
|
= |
|
(−1) |
|
|||
|
π |
2 |
n |
|
|
|
|
πn2 |
|
|
|
|
πn2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Замечаем, что выражение (−1)n −1 при четных n равно нулю, а при не-
четных n равно −2 . Поэтому запишем
|
0, |
|
|
при n = 2k, |
|
a |
|
|
4 |
|
|
= |
|
|
|
||
n |
|
− |
|
|
, при n = 2k +1. |
π(2k +1) |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
Номер n принимает значения, начиная с n =1. Отсюда находим начальное значение k: если 2k +1 =1, то k = 0.
Данная функция кусочно-гладкая на отрезке [0,2π], поэтому справедливо разложение
161
|
4 |
∞ |
1 |
|
|
f (x) = − |
∑ |
|
cos(2k +1)x . |
||
|
(2k +1) |
2 |
|||
|
π k =0 |
|
|
||
162
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
Математика: Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000) / Б.Т. Кузнецов – 2-е изд., перераб. и доп. – М: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. – 719 с. – (Серия «Высшее профессиональное образование: Экономика и управление»).
РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА
а) основная литература
Высшая математика для экономистов: учебник для студентов вузов, обучающихся по экономическим специальностям / [Н.Ш. Кремер и др.]; под ред. проф. H . Ш. Кремера. – 3-е изд. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. – 479 с. – (Серия «Золотой фонд российских учебников»)
Кузнецов Б.Т. Математика : Учебник для студентов вузов, обучающихся по специальностям экономики и управления (060000) / Б.Т. Кузнецов. – 2-е изд., перераб. и доп . – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2012. – 719 с. – (Серия «Высшее профессиональное образование: Экономика и управление»).
Бурмистрова Е.Б. Математический анализ и дифференциальные уравнения: учеб. / Е.Б. Бурмистрова, С.Г. Лобанов. – М.: Изд. Центр "Академия", 2010.
– 368 с.
Бурмистрова Е.Б. Линейная алгебра, дифференциальное исчисление функций одной переменной: учеб. / Е.Б. Бурмистрова, С.Г. Лобанов. - М.: Изд. Центр "Академия", 2010. - 336 с.
Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие / Под ред. В.И. Ермакова. – ИНФРА-М, 2007. – 575 с. (Серия «Высшее образование»).
Протасов Ю. М. Математический анализ. Учебное пособие. – М.: Издательство «ФЛИНТА», 2012. – 165 с. – Университетская библиотека онлайн.
Геворкян П. С. Высшая математика. Линейная алгебра и аналитическая геометрия. – М.: Физматлит, 2011. – 207 с. – Университетская библиотека онлайн.
163
б) дополнительная литература
Математика для экономистов: электронный учебник / С.И. Макаров. - М.: КНОРУС, 2009. – Электронный опт. диск.
Математика для экономистов: уч. пособ. / С.И. Макаров. – 2-е изд., стер. –
М.: КНОРУС, 2008. – 264 с.
Красс М.С. Математика для экономического бакалавриата: учеб. / М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. – М.: ИНФРА-М, 2012. – 472 с.
Математика для экономистов. Задачник: уч.-практ. пособ. / под ред. С.И. Макарова, М.В. Мищенко. – М.: КНОРУС, 2008. – 360 с.
Математическое моделирование в экономике: учебное пособие/В.И. Мажукин, О.Н. Королева – М.: Изд-во «Флинта», Московский гуманитарный уни-
верситет, 2004. – 232 с.
Шапкин А. С. Шапкин В. А. Математические методы и модели исследования операций. Учебник. – 5-е изд. – М.: Дашков и Ко, 2012. – 397 с. – Университетская библиотека онлайн.
Баврин И.И. Высшая математика. – М. AKADEMA, 2004. – 611с. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.
Высшая школа, 2003. – 479 с.
Шипачев В.С. Высшая математика. – М. Высшая школа, 2005. – 479с. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике. – М. Высшая школа,
2004. – 304с.
Математическое программирование в примерах и задачах. /И.Л. Акулич. – М.: Высшая школа, 1986. – 319 с.
Задачи и модели исследования операций: Учебное пособие в 3-х частях/ С.И. Жогаль, И.В. Максимей – Гомель: БелГУТ, 1999. Ч.1 Аналитические модели исследования операций. – 110 с.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учеб. пособие для студентов втузов. В двух частях. Часть I. – 4-е изд.испр. и доп. – М.: Высш. шк., 1986. – 304 с., ил.
164