080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / Лекции_Математический анализ

5.1.2.2. Сумма рядов

Можно также рассмотреть разность двух сходящихся рядов. Она также является сходящимся рядом в силу теорем 1 и 2 (второй ряд сначала умножается на −1, а затем складывается с первым рядом).

Вывод. Сходящиеся ряды можно почленно складывать или вычитать.

5.1.2.3. Добавление или отбрасывание конечного числа членов

Теорема 5. На сходимость ряда не влияет добавление или отбрасывание конечного числа членов.

Доказательство. Рассмотрим два ряда

(69) должна следовать сходимость ряда (70) и, наоборот. Для доказательства введем в рассмотрение еще один ряд

который является сходящимся, так как при N ≥ m конечные суммы остаются

m

неизменными SN = Sm = −∑un и, следовательно, существует конечный предел

n=1

S = lim SN = Sm .

N →∞

131

1) Предположим теперь, что ряд (69)сходится. Тогда его можно сложить с рядом (71)

um+1 +…+ un +…

Получающийся при таком сложении ряд (70) является сходящимся в силу теоремы 2.

2) Пусть теперь сходится ряд (70). Тогда из него можно вычесть ряд (71)

u1 + u2 +…+ um + um+1 +…+ un +…

Получающийся в результате ряд (69) является сходящимся в силу теорем 1 и 2.

■

5.1.3. Необходимый признак сходимости ряда

Доказательство. Рассмотрим частичные суммы

Sn−1 = u1 + u2 +…+ un−1 и Sn = u1 + u2 +…+ un−1 + un .

Тогда

Следствие (достаточный признак расходимости ряда). Если lim un ≠ 0 ,

n→∞

то ряд расходится.

Замечание. Условие (72) является необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда. Это означает, что если ряд сходится, то оно выполня-

132

ется обязательно. Однако при его выполнении ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Примеры.

(72), ряд является расходящимся.

3) Еще одним примером расходящегося ряда, для которого однако выполняется условие (72), является гармонический ряд21

(73) их разность равна общему члену ряда SN − SN −1 = uN . Тогда в силу знако-

положительности ряда (uN > 0) имеем, что SN − SN −1 > 0 . Следовательно,

SN > SN −1 для любого номера N, то есть частичные суммы возрастают. ■

21 Доказательство расходимости этого ряда мы дадим в п. Раздел IV.5.1.6. 133

Свойство 2. Если знакоположительный ряд сходится, то для любого номера N частичная сумма SN ограничена ( SN < C ).

Доказательство. В силу свойства 1 частичные суммы ряда с ростом N

растут, а из сходимости ряда следует, что lim SN = S . Следовательно, все ча-

N →∞

стичные суммы меньше суммы ряда, то есть ограничены сверху ( SN < C , где

C ≥ S ).■

Также справедливо и обратное утверждение о том, что из ограниченности сверху частичных сумм знакоположительного ряда следует его сходимость.

Доказательство. Последовательность частичных сумм знакоположительного ряда является возрастающей (свойство 1). Кроме того, известно, что всякая возрастающая ограниченная сверху последовательность имеет предел. Сле-

довательно, lim SN = S , то есть ряд сходится.

N →∞

Свойство 3. Если знакоположительный ряд расходится, то SN → ∞ при

N → ∞ и, наоборот.

Из приведенных свойств следует вывод, что для доказательства сходимости знакоположительного ряда достаточно убедиться в ограниченности сверху последовательности частичных сумм.

5.1.5.Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

5.1.5.1.Признак сравнения в общей форме

n=1

причем un ≤ vn для любого номера n. Тогда:

1)если ряд (76) сходится , то ряд (75) также сходится;

2)если ряд (75) расходится, то ряд (76) также расходится.

Пример.

134

Исследовать сходимость ряда ∑∞ 1 .

n=1 n2n

Сравним этот ряд с рядом геометрической прогрессии ∑∞ 1 . Так как

n=1 2n

n12n ≤ 21n , а ряд геометрической прогрессии сходится (ее знаменатель q =1 / 2 <1), то исследуемый ряд также сходится.

5.1.5.2. Признак сравнения в предельной форме

Теорема. (признак сравнения в предельной форме). Пусть даны два ряда (75) и (76). Если

то ряды (75) и (76) одновременно сходятся или расходятся.

Пример.

Построим вспомогательный ряд, оставив в числителе и знаменателе исходного ряда только старшие степени n. В результате получим ряд

Следовательно, исследуемый ряд также расходится (признак сравнения в предельной форме).

5.1.5.3. Признак Даламбера

то:

135

1)при D <1 ряд сходится;

2)при D >1 ряд расходится.

Замечание 1. Если lim un+1 =∞, то ряд расходится, так как в этом случае

n→∞ un

D >1.

Замечание 2. Если D =1, то получается неопределенный случай, то есть ряд может быть сходящимся или расходящимся.

n=1

lim n un = K ,

n→∞

то:

1)при K <1 ряд сходится;

2)при K >1 ряд расходится.

Замечание. Признаки Даламбера и Коши практически равносильны, но в одних случаях удобнее пользоваться признаком Даламбера, а в других – признаком Коши.

5.1.5.5. Интегральный признак сходимости рядов

Теорема. (интегральный признак сходимости рядов). Пусть члены знакоположительного ряда

∞

∑un являются значениями некоторой непрерывной положительной функции f (x) , убывающей на интер- n=1

вале x [1,∞) , так что un = f (n) . Тогда

136

∞

1) если несобственный интеграл ∫ f (x)dx сходится, то и ряд сходится;

1

∞

2) если несобственный интеграл ∫ f (x)dx расходится, то и ряд расходится.

1

Функция f (x) называется производящей функцией.

5.1.6. Обобщенный гармонический ряд

В качестве примера числовых рядов, сходимость которых можно исследовать с помощью интегрального признака, рассмотрим обобщенный гармонический ряд.

Обобщенным гармоническим рядом называется ряд

При p =1 этот ряд переходит в гармонический ряд.

Обобщенный гармонический ряд часто используется для исследования сходимости других рядов по признаку сравнения в предельной форме. Выясним поэтому, при каких значениях числа p он является сходящимся, а при каких – расходящимся. Для этого воспользуемся интегральным признаком.

Производящая функция исследуемого ряда имеет вид f (x) = x1p , поэтому рассмотрим сходимость несобственного интеграла

∞ dx

∫1 x p .

1) Пусть p ≠1. Тогда по определению несобственного интеграла имеем

Существование полученного предела зависит от знака показателя степени числа N. Возможны два случая.

Так как p ≠1, то этот предел существует и, следовательно ряд сходится.

б) 1− p >0, то есть p <1. В этом случае

следовательно ряд расходится.

2) Пусть теперь p =1 (гармонический ряд). Соответствующий несоб-

ственный интеграл расходится:

Следовательно, гармонический ряд расходится.

Таким образом, обобщенный гармонический ряд (77) сходится при p >1 и

расходится при p ≤1.

5.2.Ряды с членами произвольных знаков

5.2.1.Знакопеременные ряды

5.2.1.1.Определения

Ряд,

n=1

содержащий как положительные, так и отрицательные члены называется знакопеременным.

Для исследования сходимости знакопеременных рядов важное значение имеет сходимость знакоположительных рядов, составленных из абсолютных величин (модулей) an = un членов исходного ряда:

В зависимости от поведения ряда (79) различают два случая сходимости ряда

(78).

138

Сходящийся знакопеременный ряд (78) называется абсолютно сходящимся, если сходится также ряд (79), составленный из модулей его членов.

Знакопеременный ряд (78) называется условно сходящимся, если сам ряд (78) сходится, а ряд (79) расходится.

5.2.1.2. Теорема об абсолютной сходимости знакопеременных рядов

Теорема. Если ряд (79), составленный из модулей членов знакопеременного ряда (78) сходится, то и сам ряд (78) тоже сходится.

Другими словами, абсолютно сходящийся знакопеременный ряд является сходящимся рядом.

5.2.2.Знакочередующиеся ряды

5.2.2.1.Определение

Ряды, в которых за каждым положительным членом следует отрицательный, а за каждым отрицательным – положительный, называются знакочереду-

ющимися рядами:

n=1

где an > 0 .

Знакочередующиеся ряды могут начинаться как с положительного члена (ряд (80)), так и с отрицательного (ряд (81)). Переход от одного ряда к другому осуществляется умножением на −1. Следовательно свойства обоих рядов аналогичны. Поэтому мы в дальнейшем будем рассматривать лишь ряды вида (80), начинающиеся с положительного члена.

5.2.2.2. Признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов

а общий член ряда с ростом номера n стремится к нулю

n→∞

139

то ряд сходится, причем его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Пример

∑∞ (−1)n

Исследовать сходимость ряда n=1 n(n +1) .

Таким образом, an < an−1 , то есть выполнено условие (82) теоремы Лейбница. 2) Вычислим предел

lim an = lim n(n1+1) = 0 .

n→∞ n→∞

Следовательно, выполняется и условие (83) теоремы Лейбница. Значит ряд сходится.

5.2.3.Общая схема исследования сходимости знакопеременных рядов

5.2.3.1.Схема исследования

∞

При исследовании сходимости знакопеременного ряда ∑un мы будем

n=1

придерживаться следующей схемы.

∞

1) Составим ряд ∑an из модулей an = un членов исходного ряда и ис-

n=1

следуем его сходимость применяя признаки сходимости знакоположительных

∞

рядов. Если ряд ∑an сходится, то исходный ряд сходится абсолютно и иссле-

n=1

дование на этом заканчивается.

140