080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / Лекции_Математический анализ

2.4.9.3. Схема исследования на экстремум функции двух переменных

Схема исследования на экстремум функции двух переменных состоит из следующих этапов.

1. Вычислить частные производные ∂∂xz , ∂∂yz и найти критические точки,

для чего необходимо решить систему уравнений

(M1 )= −81 < 0 M1 – не является точкой экстремума;

(M2 )= 243 > 0 , zxx′′ (M2 )=18 > 0 M2 – точка минимума.

3.zmin = z (M2 )= −27 .

51

РАЗДЕЛ II. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Тема 3. Интегральное исчисление

3.1.Неопределенный интеграл

3.1.1.Первообразная функция

f (x) = ex – F (x) = ex и т.д.

Изучая производную, мы видели, что каждая дифференцируемая функция имеет одну производную. Иначе обстоит дело с первообразными. Для функции cos x первообразными являются функции sin x , sin x +1, sin x −10 , то есть все функции вида sin x + C , где C – постоянная.

Таким образом, если функция имеет одну первообразную, то она имеет множество первообразных. Это множество описывают следующие две теоремы.

3 Двойной вертикальной чертой слева абзаца будем отмечать основные определения.

52

Теорема 1. Если функция F(x) является первообразной для функции f (x) , то функция F(x) +C , где C – произвольная постоянная, также будет первообразной для функции f (x) .4

Тогда из необходимого и достаточного условия постоянства функции следует, что F1(x) − F2 (x) = C , где C – постоянная.

Из доказанных теорем следует вывод: если функция F(x) – некоторая первообразная для функции f (x) , то функция F(x) +C , где C – произвольная

постоянная, описывает множество всех первообразных для функции f (x) .

Первообразные существуют не для каждой функции. Отметим лишь (без доказательства), что всякая непрерывная на интервале функция имеет на этом интервале первообразную.

3.1.2. Неопределенный интеграл

Совокупность всех первообразных для функции f (x) называется не-

определенным интегралом от функции f (x) и обозначается

∫ f (x)dx .

Смысл этого обозначения будет раскрыт в теме «Определенный инте-

вольная постоянная. Например,

4Двойными вертикальными чертами слева и справа абзаца будем отмечать формулировки теорем.

5Знак читается так: «Что и требовалось доказать».

53

Доказательство. Найдем производные правой и левой частей равенства (6), используя доказанные выше свойства,

(∫[f1(x) + f2 (x) − f3 (x)]dx)′ = f1(x) + f2 (x) − f3 (x) ,

(∫ f1(x)dx + ∫ f2 (x)dx − ∫ f3 (x)dx)′ =

=(∫ f1(x)dx)′ + (∫ f2 (x)dx)′ − (∫ f3 (x)dx)′ =

= f1(x) + f2 (x) − f3 (x) .

Так как производные равны, то функции в левой и правой частях равенства (6) отличаются друг от друга лишь на произвольную постоянную. Эту постоянную в равенстве (6) не пишут, так как знак неопределенного интеграла уже включает в себя произвольную постоянную. В таком смысле понимается любое равенство между неопределенными интегралами.

Теорема 7. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

∫af (x)dx = a∫ f (x)dx .

Доказательство аналогично доказательству теоремы 6:

(∫af (x)dx)′ = af (x) ,

(a∫ f (x)dx)′ = a(∫ f (x)dx)′ = af (x) .

3.1.4. Основная таблица интегралов

Все формулы вытекают из таблицы производных. Обоснования требует лишь формула 2. Докажем ее.

Так как

Следовательно, ∫dxx = ln x + C при любых x, за исключением x = 0 .

3.1.5. Непосредственное интегрирование

Приступим теперь к изучению методов интегрирования. Первый метод –

метод непосредственного интегрирования основывается на таблице интегра-

лов, свойствах интегралов и следующей теореме.

Теорема 8. Об инвариантности формул интегрирования. Каждая фор-

мула интегрирования сохраняет свой вид, если в нее вместо независимой переменной подставить любую дифференцируемую функцию этой переменной. То есть, если

∫ f (x)dx = F(x) + C ,

то

∫ f (u)du = F (u) + C ,

где u =u(x) – дифференцируемая функция переменной x.

Доказательство. По условию теоремы ∫ f (x)dx = F(x) + C , где F(x) –

первообразная для f (x) , то есть F ′(x) = f (x) . Следовательно dF(x) = f (x)dx .

Рассмотрим сложную функцию y = F(u) , u =u(x) . В силу инвариантно-

сти формы дифференциала имеем dF(u) = f (u)du . Значит

∫ f (u)du = ∫dF(u) = F(u) + C .

56

Рассмотрим применение метода непосредственного интегрирования.

воспользоваться табличной формулой. Рассмотрим такие примеры.

1. Найти ∫sin3xdx .

Решение.

Чтобы воспользоваться табличным интегралом 6: ∫sin xdx = −cos x , нужно под знаком дифференциала получить 3x. Так как d(3x) =3dx , то умножим и разделим подынтегральное выражение на 3. Получим

∫sin3xdx = ∫13 sin3x 3dx = ∫13 sin3xd(3x) .

Использовав свойства интеграла и введя новую переменную u = 3x , найдем

∫sin3xdx = 13 ∫sin udu = −13 cosu + C = −13 cos3x + C .

2.Найти ∫ xxdx2 +1 .

Решение.

Воспользуемся табличной формулой 2. Так как d (x2 +1) = 2xdx , то,

умножив и разделив подынтегральное выражение на 2 и введя новую перемен-

ную u = x2 +1, получим

57

=12 ln u + C = 12 ln x2 +1 +C .

Вдальнейшем переменную u можно не писать. 3. Найти ∫ecos x sin xdx .

6. Найти ∫tg xdx .

Решение.

∫tg xdx = ∫cossin xx dx = −∫d(coscos xx) = −ln cos x + C .

7.Найти ∫x2 dx+ a2 .

58

Решение.

Полученную формулу

∫ x2 dx+ a2 = 1a arctg ax + C

следует запомнить, как табличный интеграл.

также следует запомнить, как табличный интеграл.

3.2.Методы интегрирования. Интегрирование рациональных функций

3.2.1.Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) – дифференцируемые функции переменной x. Найдем дифференциал от их произведения d(uv) =udv + vdu . Проинтегрировав обе ча-

сти этого равенства, получим

∫d (uv) = ∫udv + ∫vdu uv = ∫udv + ∫vdu .

Формула

∫udv = uv − ∫vdu

называется формулой интегрирования по частям.

Чтобы применить эту формулу, подынтегральное выражение f (x)dx

представим в виде произведения udv . Тогда вычисление исходного интеграла сведется к нахождению двух других интегралов: v = ∫dv и ∫vdu . Поэтому необходимо так выбрать выражения u и dv , чтобы два новых интеграла оказались более простыми, чем исходный.

Примеры.

59

1. Найти ∫(x +1)sin xdx .

Решение.

Положим u = x +1, dv = sin xdx . Тогда du = dx , v = ∫dv = ∫sin xdx = −cos x

(берем первообразную при C = 0 ). Используя формулу интегрирования по частям, получим

∫(x +1)sin xdx = (x +1)(−cos x) − ∫(−cos x)dx =

=−(x +1)cos x +sin x +C .

2.Найти ∫ln xdx .

Решение.

Положим u = ln x, dv = dx du = dxx , v = x .

Тогда

∫ln xdx = xln x − ∫x 1x dx = xln x − x + C = x(ln x −1) + C .

Метод интегрирования по частям применяется для интегрирования произведения функций. Например, в интегралах вида

∫xn sin xdx , ∫xn cos xdx , ∫xnex dx , n > 0 – целое,

выбирается u = xn , а в интегралах вида

∫xn ln xdx , ∫xn arctg xdx , ∫xn arcsin xdx

вкачестве u берутся функции u = ln x , u = arctg x , u = arcsin x , соответственно

(Почему?).

С помощью интегрирования по частям берутся также интегралы от основных элементарных функций, которых нет в таблице:

∫ln xdx , ∫arctg xdx , ∫arcsin xdx .

Формулу интегрирования по частям в одном примере можно применять несколько раз.

3.2.2. Метод замены переменной (метод подстановки)

Пусть требуется найти интеграл ∫ f (x)dx = F(x) + C , где F(x) – неизвест-

ная первообразная ( F ′(x) = f (x) ). Сделаем замену переменной, положив

60