Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / Лекции_Математический анализ

.pdf
Скачиваний:
28
Добавлен:
26.02.2016
Размер:
1.35 Mб
Скачать

 

x 1

 

t 2tdt

 

 

 

 

1

 

 

 

dx =

 

2

 

= 21

 

 

 

 

dt =

x

t

+1

t

2

 

 

 

 

 

 

 

 

+1

= 2(t arctg t) + C = 2(

x 1 arctg

x 1)+ C .

3.4.Определенный интеграл

3.4.1.Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

К понятию определенного интеграла приводят различные задачи физики, механики, геометрии, техники. Рассмотрим три такие задачи.

3.4.1.1. Задача о длине пути

Постановка задачи. Тело движется прямолинейно с переменной скоростью v =v(t) . Требуется найти путь L, пройденный телом с момента времени

t = a

до момента времени t = b .

 

 

 

 

Решение задачи. В частном случае, когда скорость v постоянна, из физи-

ки известна формула L =v(b a) .

 

 

 

Рассмотрим общий случай, когда скорость является функцией времени t,

то есть v =v(t) .

 

 

 

 

ξ1 ξ2

ξ3

ξn

 

 

O t0 = a t1

t2 t3

tn1 tn = b

t

 

 

РИС. 3.4.1

 

 

Построим числовую ось (рис. 3.4.1), соответствующую изменению време-

ни t.

Разобьем отрезок [a,b]

произвольным образом

на n частей: [tk1,tk ],

k =1,n ,7 (здесь t0 = a , tn = b ). Обозначим длины полученных промежутков че-

рез tk , k =1,n .

В каждом промежутке выберем произвольную точку ξk [tk 1,tk ], k =1,n .

7 Запись k =1,n означает, что k принимает все целые значения от 1 до n, включительно.

71

Найдем значение пути L на каждом промежутке tk приближенно, счи-

тая, что скорость на нем постоянна и равна значению скорости в точке ξk :

Lk v(ξk ) tk , k =1,n .

Тогда для всего пути L получим приближенную формулу

L = L1 + L2 +…+ Ln v(ξ1) t1 + v(ξ2 ) t2 +…+ v(ξn ) tn .

Для записи полученной формулы воспользуемся символом суммы Σ (греческая буква «сигма»), тогда

n

L v(ξk ) tk .

k=1

Точное значение пути L найдем, если перейдем в полученном равенстве к пределу, увеличивая количество промежутков разбиения и устремляя длину максимального промежутка к нулю

 

n

 

L = lim

v(ξk ) tk .

(11)

n→∞

 

 

max tk 0 k=1

 

3.4.1.2. Задача о массе стержня

Постановка задачи. Дан тонкий материальный стержень, расположенный на отрезке [a,b] оси x (рис. 3.4.2). Найти массу m этого стержня, если из-

вестна его линейная плотность ρ=ρ(x) .

ξ1 ξ2 ξ3

ξn

 

O x0 = a x1 x2 x3

xn1 xn = b

x

РИС. 3.4.2

Решение задачи. В частном случае, когда ρ = const , имеем m (b a).

Рассмотрим общий случай, когда ρ=ρ(x) .

Разобьем отрезок [a,b] оси Ox произвольным образом на n частей:

[xk 1, xk ], k =1,n , длины которых обозначим через xk .

Выберем произвольно точки ξk [xk1, xk ], k =1,n .

72

Найдем массу mk каждой k-ой части приближенно, считая плотность этой части постоянной и равной ρ(ξk ) :

mk ≈ ρ(ξk ) xk .

Тогда для массы m всего стержня получим приближенную формулу

n

 

 

m ρ(ξk ) xk .

 

k=1

 

 

Точное значение массы m получим по формуле

 

 

 

n

 

m = lim

 

ρ(ξk ) xk .

(12)

n→∞

 

 

max x

0 k=1

 

k

 

 

 

3.4.1.3. Задача о вычислении площади криволинейной трапеции

Прежде, чем перейти к постановке и решению задачи, дадим определение. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью 0x, вертикальными прямыми x = a , x = b и графиком функции y = f (x)

(рис. 3.4.3).

y

 

y = f (x)

 

 

 

 

 

 

ξ1

ξ2

ξn

 

 

O x0 = a x1

x2

xn1

xn = b

x

РИС. 3.4.3

Постановка задачи. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью Ox, вертикальными прямыми x = a , x = b и графиком функции y = f (x) , f (x) 0 , x [a,b].

Решение задачи. В частном случае, когда f (x) =C =const , криволиней-

ная трапеция является прямоугольником с основанием b a и высотой C, а ее площадь находится по формуле S =C(b a).

73

Больший интерес представляет общий случай, когда функция отлична от постоянной, то есть y = f (x) .

Основание трапеции – отрезок [a,b] оси Ox разобьем произвольным обра-

зом на n частей: [xk 1, xk ], k =1,n , длины которых обозначим через xk . Прове-

дем через точки деления прямые, параллельные оси Oy. Тогда криволинейная

трапеция разобьется на n полосок.

 

 

 

Выберем произвольно точки ξk [xk1, xk ],

k =

 

и найдем значения

1,n

функции y = f (x) в этих точках: yk = f (ξk ) .

 

 

 

Найдем площадь Sk каждой k-ой полоски приближенно, считая полоску

прямоугольником с высотой f (ξk ) и основанием

xk . Тогда

Sk f (ξk ) xk ,

а площадь всей криволинейной трапеции найдется по приближенной формуле

n

S f (ξk ) xk .

k=1

Перейдя к пределу при стремлении максимальной длины участка разбиения отрезка [a,b] к нулю, получим точную формулу для площади криволиней-

ной трапеции

 

 

n

 

S = lim

 

f (ξk ) xk .

(13)

n→∞

 

 

max x

0 k=1

 

k

 

 

 

3.4.2. Определение определенного интеграла

Нами были рассмотрены три различные задачи. Однако если отвлечься от их конкретного содержания, то решение каждой из них было связано с одинаковыми математическими выкладками. Все задачи свелись к вычислению предела суммы определенного вида (см. формулы (11)-(13)), что вызывает необходимость ввести новое понятие, связанное с таким пределом.

Рассмотрим функцию y = f (x) на отрезке x [a,b] и выполним следую-

щие построения.

74

1.

Разобьем отрезок [a,b] произвольным образом на n частей: [xk 1, xk ],

k =

 

,

(здесь x0 = a , xn =b) и положим xk = xk xk1 , k =

 

.

1,n

1,n

2.В каждом отрезке [xk 1, xk ] выберем произвольную точку ξk и найдем значения функции f (ξk ) .

3.Составим сумму

n

f (ξk ) xk .

k=1

Эта сумма называется интегральной суммой для функции f (x) на от-

резке [a,b] . Она зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на части и от вы-

бора точек ξk .

4. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при max xk 0 , не зависящий ни от способа разбиения отрезка [a,b] на части, ни от выбора точек ξk , то этот предел называется определенным инте-

гралом от функции f (x) на отрезке [a,b] и обозначается

b

f (x)dx .

a

Таким образом, по определению

b

 

n

f (x)dx =

nlim→∞

f (ξk ) xk .

a

max xk 0 k=1

Число a называется нижним пределом интегрирования, b – верхним пределом интегрирования, отрезок [a,b] – отрезком интегрирования.

Возвращаясь к задачам, рассмотренным в пунктах 3.4.1.1-3.4.1.3, можно записать полученные там формулы (11)-(13) для пути L, массы m и площади S в следующем виде:

b

b

b

L = v(t)dt , m = ρ(x)dx , S = f (x)dx .

a

a

a

Последняя формула дает геометрический смысл определенного интегра-

ла.

75

b

Если f (x) 0 при x [a,b], то f (x)dx – это площадь криволинейной

a

трапеции с основанием [a,b] , ограниченной графиком функции y = f (x) .

3.4.3.Основные свойства определенного интеграла

3.4.3.1.Свойства линейности определенного интеграла

Теорема 10. Интеграл от суммы равен сумме интегралов

b

b

b

[f1 (x) + f2 (x)]dx = f1(x)dx + f2 (x)dx .

a

a

a

Доказательство. Воспользуемся определением интеграла и свойством: предел суммы равен сумме пределов. Тогда

b

 

(x)]dx =

 

 

n

 

 

[f1(x) + f2

lim

0

[f1(ξk ) + f2 (ξk )] xk =

a

 

 

max xk

k=1

 

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

= maxlimx

0

f1(ξk )

xk

+ maxlimx

0

f2 (ξk ) xk =

k

 

 

k=1

 

 

k

 

k=1

bb

=f1 (x)dx + f2 (x)dx .

aa

Теорема 11. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

b

b

Cf (x)dx = Cf (x)dx , C = const .

a

a

Доказательство.

b

Cf (x)dx =

a

 

 

n

maxlimx

0

Cf (ξk ) xk =

k

 

k=1

 

 

n

= C maxlimx

0

f (ξk )

k

 

k=1

b

xk = Cf (x)dx .

a

3.4.3.2. Перестановка пределов интегрирования в определенном интеграле

Теорема 12. При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак

b

a

f (x)dx = −f (x)dx .

a

b

76

a

Доказательство. При введении определенного интеграла f (x)dx пред-

b

полагалось, что a < b . Если же a > b , то изменится направление интервала интегрирования. Следовательно, изменится знак разностей xk = xk xk1 , инте-

гральной суммы и самого интеграла. Таким образом

b

a

f (x)dx = −f (x)dx .

a

b

 

a

Следствие.

f (x)dx = 0 .

 

a

3.4.3.3. Свойство аддитивности определенного интеграла

Теорема 13. Для любых трех чисел a, b и c справедливо равенство

b c b

f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx .

a a c

Доказательство.

1. Рассмотрим сначала случай, когда a < c < b .

Интегральную сумму на отрезке [a,b] обозначим f (ξk ) xk . Так как

[a,b]

предел последовательности интегральных сумм не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] на части, то выберем такое разбиение, в котором точка c яв-

ляется точкой деления. Тогда интегральная сумма

f (ξk )

xk разобьется на

 

 

 

 

[a,b]

 

две суммы.

Сумма

f (ξk ) xk

соответствует

отрезку

[a,c], а сумма

 

 

[a,c]

 

 

 

f (ξk ) xk

– отрезку [c,b]:

 

 

 

[c,b]

 

 

 

 

 

 

f (ξk ) xk = f (ξk ) xk + f (ξk ) xk .

 

 

[a,b]

[a,c]

[c,b]

 

 

Перейдя к пределу при max xk 0 , получим

 

 

 

b

c

b

 

 

 

f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx .

 

 

a

a

c

 

 

 

 

 

77

 

 

2. Рассмотрим теперь случай

a < b < c . В силу доказанного для первого

случая имеем

 

 

c

b

c

f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx

a

a

b

или (с учетом теоремы 3)

b

c

c

c

b

f (x)dx = f (x)dx f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx .

a

a

b

a

c

3.4.3.4. Интегрирование неравенств

 

 

Теорема 14. Если

f (x) 0 на отрезке [a,b] , причем a < b , то

 

 

b

 

 

f (x)dx 0 .

a

n

Доказательство. В интегральной сумме f (ξk ) xk все слагаемые неот-

 

 

 

 

k=1

 

рицательны, так как f (x) 0 и

xk

0 по условию теоремы. Следовательно,

b

 

 

n

 

 

f (x)dx = lim

f (ξk )

xk 0 .

 

a

max

xk 0 k=1

 

 

Следствие. Если

f (x) 0 на отрезке [a,b] , причем a < b , то

 

 

b

 

 

 

 

 

f (x)dx 0 .

 

 

Теорема 15. Если

a

 

f (x) и

g(x) удовлетворяют

 

функции

условию

f (x) g(x) на отрезке [a,b] , причем a < b , то

 

 

 

b

 

b

 

 

 

f (x)dx g(x)dx .

 

 

a

 

a

 

 

Доказательство. По условию теоремы функция g(x) f (x) 0

на отрез-

ке [a,b] . Тогда применима теорема 5:

b

[g(x) f (x)]dx 0 .

a

Если использовать свойства линейности интеграла (п. 3.4.3.1), то получим

b b

g(x)dx f (x)dx 0.

a a

78

Следовательно,

 

b

b

 

 

 

f (x)dx g(x)dx .

 

 

 

a

a

 

 

Геометрический смысл теоремы (рис. y

y = g(x)

 

3.4.4). Если

f (x) 0 , g(x) 0 и

f (x) g(x)

 

 

при x [a,b], то площади криволинейных

 

 

трапеций,

ограниченных графиками этих

 

y = f (x)

функций, удовлетворяют неравенству

 

 

 

 

S f (x) Sg (x) .

 

 

 

 

 

O a

b

x

 

 

 

РИС. 3.4.4

 

3.4.3.5. Интеграл от единицы

Теорема 16. Определенный интеграл от единицы по отрезку [a,b] равен длине отрезка b a

b

1 dx = b a .

a

Доказательство. Из вида интеграла следует, что f (x) =1. Тогда при лю-

бом выборе точек ξk

имеем f (ξk ) =1, а интегральная сумма равна

n

 

 

n

n

f (ξk ) xk = 1

xk = xk = b a .

k=1

 

 

k=1

k=1

Итак, интегральная сумма при любом разбиении отрезка на части и при

любом выборе точек ξk равна b a . Следовательно,

b

 

 

n

 

1 dx =

lim

0

xk =

lim (b a) = b a .

a

max xk

k=1

max xk 0

 

 

 

3.4.3.6. Теорема об оценке определенного интеграла

Теорема 17. Если m – наименьшее, а M – наибольшее значения функции f (x) на отрезке [a,b] , a < b , то имеет место оценка

b

m(b a) f (x)dx M (b a) .

a

Доказательство. Так как по условию теоремы m f (x) M , то по свой-

ству интегрирования неравенств (Теорема 15) получим

79

 

b

b

b

 

 

 

 

 

mdx f (x)dx Mdx .

 

 

 

 

a

a

a

 

 

 

 

Применив теперь свойство линейности (Теорема 11), найдем

 

 

 

b

b

b

 

 

 

 

 

mdx f (x)dx M dx .

 

 

 

b

a

a

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как dx = (b a) (Теорема 16), то окончательно получим

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

m(b a) f (x)dx M (b a) .

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

Геометрический

смысл

теоремы

(рис.

y

A2

B2

 

3.4.5). Если f (x) 0

при x [a,b], то площадь

M

 

 

 

 

криволинейной трапеции S f (x)

больше площа-

 

y = f (x)

 

 

ди прямоугольника aA1B1b и меньше площади

 

 

 

 

 

 

 

прямоугольника aA2 B2b :

 

 

 

 

 

 

SaA1B1b S f ( x) SaA2B2b .

 

m

A

B1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

O a

b

x

 

 

 

 

 

РИС. 3.4.5

 

 

3.4.3.7. Теорема о среднем

 

 

 

 

 

Теорема 18. Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a,b] ,

a < b , то

на этом отрезке существует такая точка c, что выполняется равенство

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

f (x)dx = f (c)(b a) .

 

 

 

 

a

 

f (x)

непрерывна на отрезке [a,b] , то

Доказательство. Так как функция

она принимает на этом отрезке свое наименьшее m и наибольшее M значения. Следовательно, в силу теоремы об оценке интеграла (Теорема 17), имеем

b

m(b a) f (x)dx M (b a) .

a

Отсюда

80

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.