080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / Лекции_Математический анализ

ствует.

Определение. Точка x0 , в которой f ′(x0 ) равна нулю или не существу-

ет, называется критической точкой функции f (x) .

Итак, если x0 - точка экстремума, то x0 - критическая точка, но не наобо-

рот. Если x0 - критическая точка, то она не обязательно точка экстремума.

33

функции.

Схема решения задачи:

1.Найти область определения Dy функции f (x) .

2.Найти f ′(x) , найти критические точки, решив уравнение f ′(x) = 0 и

выделив точки, где f ′(x) не существует.

3.Разбить область определения на интервалы критическими точками и точками разрыва и определить знак производной в каждом из них. Сделать вывод: по знаку производной определить интервалы монотонности и точки экстремума.

4.Найти экстремумы функции.

Пример. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции y = x2 e−x .

Решение.

1.Dy = (−∞, ∞) .

2.y′= 2x e−x − x2 e−x = x (2 − x) e−x ,

y′= 0 x (2 − x) e−x = 0 x1 = 0, x2 = 2 - критические точки.

34

3.

На интервалах (−∞, 0), (2, ∞) функция убывает, на интервале (0, 2) функ-

2.3.3.2. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Экстремумы функции носят локальный характер, т.е. max f (x), min f (x) -

это наибольшее и наименьшее значения функции в некоторой окрестности точки экстремума. Функция может иметь несколько максимумов и минимумов.

Рассмотрим глобальную задачу о нахождении наибольшего и наименьшего значения непрерывной функции на отрезке (замкнутом интервале).

Задача. Дана непрерывная на [a, b] функция f (x) . Требуется найти наибольшее M и наименьшее m значения функции f (x) на этом отрезке.

Решение. Из чертежа (Рис. 2.3.8) видно, что наибольшее и наименьшее значения функция принимает либо в точках экстремума, либо на концах отрезка.

y

M

y = f (x)

x 2

m

РИС. 2.3.8

Отсюда вытекает схема решения задачи:

35

1.Найти y′, решить уравнение y′ = 0 , найти критические точки, лежащие внутри отрезка [a, b].

2.Найти значение функции в этих точках и на концах интервала.

3.Выделить среди этих значений наибольшее и наименьшее.

он лежит под касательной, проведенной к графику в любой точке интервала

(a,b) (Рис. 2.3.9).

2) График функции f (x) называется вогнутым на интервале (a,b) , если он лежит над касательной, проведенной к графику в любой точке интервала

(a,b) (Рис. 2.3.10).

36

Теорема. (Достаточное условие выпуклости, вогнутости графика функ-

ции).

1)Если f ′′(x) < 0 на (a,b) , то график функции f (x) выпуклый на (a,b) ;

2)Если f ′′(x) > 0 на (a,b) , то график функции f (x) вогнутый на (a,b) .

2.3.4.1. Точки перегиба

Определение. Точка M (x0 , y0 ) , лежащая на графике функции, называет-

ся точкой перегиба, если она разделяет выпуклую и вогнутую части графика

(рис.6.).

ляется точкой перегиба графика непрерывной функции f (x) .

2.3.4.2. Схема исследования графика функции на выпуклость, вогнутость, точки перегиба

Задача. Дана функция f (x) . Найти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции, точки перегиба.

Схема решения задачи:

37

1.Найти область определения Dy функции f (x) .

2.Найти f ′(x), f ′′(x) , решить уравнение f ′′(x) = 0 и выделить точки, где

f′′(x) не существует. Найти критические на перегиб точки.

3.Разбить область определения функции критическими точками и точками разрыва на интервалы и найти знак f ′′(x) в каждом интервале. Сделать вы-

вод: найти интервалы выпуклости, вогнутости.

4. Найти вторые координаты точек перегиба, записать эти точки.

Пример. Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика функции y = x4 − 6x2 +5.

Решение.

1. Dy = (−∞, ∞) .

2. y′= 4x3 −12x, y′′ =12x2 −12

y′′ = 0 12 (x2 −1) = 0 x1 = −1, x2 =1 - критические на перегиб

2.4.Частные производные функции двух переменных. Градиент

Впрактике часто встречаются функциональные зависимости от нескольких переменных величин. Например, площадь S прямоугольника со сторонами x, y зависит от двух переменных S = x y.

2.4.1. Функции двух переменных, область определения

В терминах переменных величин определение функции двух переменных можно сформулировать следующим образом:

Переменная z называется функцией двух независимых переменных x, y если каждой паре (x, y) значений этих переменных из некоторого заданно-

38

го множества пар D по определенному правилу ставится в соответствие некоторое действительное число z.

Обозначение функции двух переменных z = f (x, y).

Пара значений независимых переменных (x, y) определяет некоторую точку плоскости XOY. Поэтому D −область определения функции двух переменных – это некоторое множество точек плоскости XOY. Обычно областью определения является часть плоскости XOY, ограниченная одной или несколь-

кими линиями.

Для геометрической интерпретации функции z = f (x, y) рассматрива-

ется система координат Oxyz. Каждой точке M (x, y) D ставится в соответ-

ствие точка пространства N (x, y, f (x, y)).

Обычно графиком функции двух переменных является некоторая по-

верхность.

Поверхность является графиком тогда, когда каждая прямая, параллельная оси Oz пересекает поверхность на более, чем в одной точке.

z

РИС. 2.4.1

2.4.2. Частные производные функции двух переменных

Если у функции двух переменных z = f (x, y) зафиксировать переменную y (y = y0 ), то z станет функцией одной переменной z = f (x, y0 ).

39