080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / Лекции_Математический анализ

то можно применить признак Лейбница для исследования условной сходимости.

Если признак Лейбница выполняется, то исходный ряд сходится условно. Если условие (83) не выполняется, то ряд расходится.

Если условие (83) выполняется, а условие (82) – нет, то вопрос о сходимости остается открытым.

Примеры

полняется признак сравнения в предельной форме (ряд для сравнения ∑∞ 1 –

n=1 n2

обобщенный гармонический с p = 2 >1 сходится). Следовательно, данный ряд

сходится абсолютно.

полняется необходимое условие сходимости ряда:

lim 2n = ∞.

n→∞ n2

Отсюда же видно, что не выполнено условие (83) признака Лейбница, то есть ряд расходится.

3) Исследовать сходимость ряда ∑∞ (−1)n+1 n . n=1 (n −1)2

141

Следовательно, абсолютной сходимости нет.

Исходный ряд – знакопеременный, поэтому проверим выполнимость признака Лейбница.

Таким образом, признак Лейбница выполнен, то есть ряд сходится условно.

Тема 6. Функциональные ряды

6.1.Функциональные ряды

Сэтой лекции мы начинаем изучение рядов, члены которых не числа, а функции. Важным частным классом таких рядов, являются степенные ряды, члены которых – степенные функции с натуральными показателями степени. Степенные функции обладают важным преимуществом: их сравнительно просто вычислить. Рассматривая такие ряды, можно вычислять самые разные функции: показательные, логарифмические, тригонометрические. Для изучения периодических функций широко используется еще один класс функциональных рядов – тригонометрические ряды, позволяющие разлагать периодические функции в бесконечную сумму синусов и косинусов. Вероятно, это самые простые и привычные из периодических функций. В результате произвольные колебания можно рассматривать как сумму гармонических колебаний.

142

6.1.1. Основные определения

Бесконечную сумму функций u1 (x) + u2 (x) + ... + un (x) + ..., (некоторые из этих слагаемых могут быть константами) называют функциональным рядом.

При конкретных значениях x , для которых члены ряда определены, функциональный ряд обращается в числовой ряд.

Значение x = x1, при котором функциональный ряд сходится, называется

точкой сходимости ряда.

Областью сходимости функционального ряда называют совокупность всех точек сходимости ряда.

Сумма функционального ряда S(x) определяется условием

Вотличие от числового ряда, сумма функционального ряда это не число,

афункция. Область определения S(x) совпадает с областью сходимости ряда.

Пример. Функциональный ряд 1 + x + x2 + ... + xn + ... при каждом значении x есть сумма бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем

q = x . В этом случае его сумма определяется формулой S(x) =1 −1 x . Ряд схо-

дится при x <1, то есть область определения функции S(x) – это интервал

(−1,1) .

6.1.2. Степенной ряд

II.4.1.1.1.1. Определение

Степенным рядом называется бесконечная сумма степенных функций:

∞

a0 + a1(x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + ... + an (x − x0 )n + ... = ∑an (x − x0 )n .

n=0

Числа a0 , a1 , a2 , …, an , … называются коэффициентами ряда.

143

II.4.1.1.1.2. Область сходимости степенного ряда

Как может выглядеть область сходимости степенного ряда? Ответ на этот вопрос дает теорема Абеля.

Теорема (Абеля). Если степенной ряд сходится в точке x1 , то он сходится абсолютно в любой точке x ,

которая лежит ближе к точке x0 чем точка x1 . Если степенной ряд расходится в точке x2 , то он расходится в любой точке x , которая лежит от точки x0 дальше чем x2 .

Пусть точка x двигается от точки x0 к ∞. Предположим, что на расстоя-

нии R мы встречаем пограничную точку. Все точки, которые мы прошли до нее, принадлежат области сходимости, а во всех точках после нее ряд расходится. Тогда по теореме Абеля в любой точке интервала (x0 − R; x0 + R) ряд схо-

дится, а во всех точках множества (−∞; x0 − R) (x0 + R;+∞) – расходится.

Вывод. Область сходимости степенного ряда может иметь вид: а) вся действительная ось ( R = ∞ );

б) интервал длины 2R с серединой в точкеx0 ;

в) множество состоящее из одной точки x0 ( R = 0 ).

В случае б) число R называется радиусом сходимости, а интервал

(x0 − R; x0 + R) – интервалом сходимости.

Замечание. Концы интервала сходимости могут принадлежать области сходимости, а могут и не принадлежать.

Применим признак Даламбера. С его помощью можно исследовать ряд на абсолютную сходимость. Рассмотрим ряд, составленный из модулей. Тогда

144

Если решить уравнение D =1, то получим два решения x1 = −1 и x2 = 5 .

Наконец, если исследовать неравенство D >1, то получим решение x (−∞,−1) (5,∞)

Вывод. При x (−1,5) ряд сходится абсолютно. При x (−∞,−1) (5,∞)

ряд расходится. Наконец, при x1 = −1 и x2 = 5 метод Даламбера ответа не дает.

Здесь требуется применить какой-нибудь другой метод исследования.

II.4.1.1.1.3. Основные свойства степенных рядов

Пусть S(x) – сумма степенного ряда. Она определена в интервале его

сходимости

∞

S(x) = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 +…+ an (x − x0 )n +…= ∑an (x − x0 )n .

n=0

Для степенного ряда справедливы следующие свойства. Свойство 1. Степенной ряд можно почленно дифференцировать:

S′(x) = a0′ + a1(x − x0 )′ + a2[(x − x0 )2 ]′+... + an[(x − x0 )n ]′+... =

∞

= a1 + 2a2 (x − x0 ) +…+ nan (x − x0 )n−1 +…= ∑nan (x − x0 )n−1 ,

n=1

при этом интервал сходимости не изменяется.

Свойство 2. Степенной ряд можно почленно интегрировать:

x x x x

∫S(x)dx = ∫a0dx + ∫a1(x − x0 )dx +…+ ∫an (x − x0 )n dx +…=

Замечание. Последняя формула получена в предположении, что функция f (x) равна сумме некоторого степенного ряда. Однако не все функции обла-

дают этим свойством.

Функция f (x) называется аналитической в точке x0 , если вблизи x0 ее

∞

можно представить в виде суммы ряда f (x) = ∑an (x − x0 )n .

n=0

Аналитическая функция вблизи точки x0 непременно совпадает с суммой своего ряда Тейлора. Так как степенной ряд можно дифференцировать сколько угодно раз, то аналитическая в точке x0 функция должна иметь в этой точке бесконечно много производных.

Функция f (x) , определенная вблизи x0 и имеющая производные всех по-

рядков, не обязана быть аналитической в этой точке; может случиться, что ее ряд Тейлора имеет нулевой радиус сходимости или при ненулевом радиусе сходимости сумма ряда не равна f (x) . К счастью, функции, встречающиеся в приложениях анализа, как правило, аналитические за исключением некоторых отдельных точек.

22 Здесь n!=1 2 3 ... n. Это выражение называется факториалом. 147

В частном случае, когда x0 = 0 , ряд Тейлора называют еще рядом Мак-

лорена:

6.1.3.2. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды

Функции, которые мы сейчас рассмотрим, являются аналитическими в любой точке своей области определения.

Исследуем данный ряд с помощью признака Даламбера:

f (2k+1) (0) = (−1)k . Поэтому

148

Найдем область сходимости полученного ряда. По признаку Даламбера

Замечание. Полученная формула справедлива, когда степень двучлена m не является натуральным числом или нулем. Если же m – натуральное число, то получается известная формула бинома Ньютона.

149

II.4.1.1.1.8. Бином Ньютона

Пусть m – натуральное число. Тогда начиная с n = m +1 все производные f (n) (x) равны нулю. Поэтому вместо бесконечного ряда мы получим сумму,

ся биномиальными коэффициентами. Они часто встречаются в приложениях, в частности, в теории вероятностей.

Положим в этом равенстве x = a / b и, умножив обе части на am , получим:

(a + b)m = am + Cm1 am−1b + Cm2 am−2b2 +... + Cmm−1abm−1 + bm .

Эта формула носит название бинома Ньютона.

II.4.1.1.1.9. Ряд логарифма

Функция f (x) =ln(1 + x) разлагается в ряд Маклорена по формуле

6.1.4. Применение степенных рядов

С помощью степенных рядов можно находить приближенные значения функций, вычислять интегралы, решать приближенно дифференциальные уравнения.

6.1.4.1. Приближенное вычисление значений функций

Требуется вычислить приближенное значение функции, для которой известно разложение в степенной ряд:

f (x) = a0 + a1(x − x0 ) +…+ an (x − x0 )n + an+1(x − x0 )n+1 +…. 150