080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / Лекции_Математический анализ

Для раскрытия такой неопределенности следует вынести из числителя и знаменателя переменную x в старших степенях и, проведя затем сокращения, вычислить предел.

1.2.5.3. Замечательные пределы

Также как и в случае предела числовой последовательности, для предела функции справедливы замечательные пределы.

Первый замечательный предел в данном случае записывается в виде:

lim sin x =1,

x→0 x

а второй замечательный предел –

или

1

lim (1 + x)x = e .

x→0

1.3.Непрерывность функции

1.3.1.Первое определение непрерывности

Функция y = f (x), определенная в некоторой окрестности точки x0 ,

называется непрерывной в точке x0 , если выполняется равенство:

lim f (x)= f (x0 ).

x→x0

1.3.2. Второе определение непрерывности

Функция y = f (x) называется непрерывной в точке x0 , если бесконечно малому приращению аргумента x в точке x0 соответствует бесконечно малое приращение функции y .

21

1.3.3. Функция непрерывная на интервале

Функция называется непрерывной на интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Тема 2. Дифференциальное исчисление

2.1. Основы дифференциального исчисления

Производная – основное понятие высшей математики, характеризующее скорость изменения функции. Раздел математики, в котором изучаются производные и их применение к исследованию функций, называется дифференциальным исчислением. Основные положения его были сформулированы И. Ньютоном и Г. Лейбницем. С открытием дифференциального исчисления сильно расширилась область применения математики, началась новая эпоха ее развития.

Исторически понятие производной возникло из задач естествознания и математики, приводящих к вычислению пределов одного и того же вида – скорость прямолинейного движения точки и построение касательной к кривой.

Основные понятия дифференциального исчисления изучаются в средней школе, и это будет учитываться при изложении материала. Дифференциальное исчисление излагается в училище в большом объеме на более высоком уровне.

2.2.Учебные вопросы лекции:

2.2.1.Определение производной

2.2.1.1.Определение и вычисление производной.

Рассмотрим функцию y = f (x) . Фиксируем значение x.

Производной функции y = f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Обозначение производной: y′, yx′, f ′(x), dydx . Таким образом:

22

Замечание. Производная в фиксированной точке – это число, если x D(y) – переменная величина, то производная y′ – это функция от x .

Операция отыскания производной называется дифференцированием

функции.

Пример. y = x2 . Найти y′

Решение.

1) f (x + x) = (x + x)2 = x2 + 2x x + ( x)2 ,

Итак, y = x2 y′= 2x.

Значение производной в фиксированной точке x0 обозначается:

2.2.1.2. Механический смысл производной.

Рассмотрим функцию s = s(t) , где s – путь пройденный телом, t – время.

Тогда s′(t) = v – скорость движения.

2.2.1.3. Геометрический смысл производной

23

Используя уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (x0 , y0 ) с угло-

вым коэффициентом

y − y0 = k(x − x0 )

получим уравнение касательной

y − y0 = f ′(x0 )(x − x0 ) .

2.2.2.Правила дифференцирования. Таблица производных

2.2.2.1.Производная суммы, произведения и частного

Из школьного курса математики известны следующие формулы

1)C′ = 0, где C - постоянная;

2)(u + v)′ = u′ ± v′

3)(u v)′ = u′v + uv′

4)u ′ = u′v −2 uv′

v v

где u =u(x), v =v(x) – дифференцируемые функции.

Все формулы выводятся по шагам. 24

Следствия.

1)(cu)′ = cu′,

2)(u v ω)′ =u′ v ω+ u v′ ω+ u v ω′,

3)u ′ = 1 u′ = u′.c c c

2.2.2.2. Производные основных элементарных функций: тригонометрических, логарифмической.

а) Производные тригонометрических функций Теорема. Формулы производных четырех тригонометрических функций

имеют вид:

б) Производная логарифмической функции

Найдем производную функции y = loga x :

25

2.2.2.3. Производная степенной и показательной функций.

а) Степенная функция y = xn

y = xn y′ = nxn−1

б) Показательная функция y = ax .

y = ax y′ = ax ln a

Частный случай

y = ex y′ = ex

2.2.2.4. Производные обратных тригонометрических функций.

Производные этих функций имеют вид:

2.2.3. Производная сложной функции.

Определение:

Функция y называется сложной функцией переменной x , если

y = f (u), u = g (x) y = f g (x) ,

а u называется промежуточной переменной. Примеры:

1)y = u2 , u = tg x y = tg2 x;

2)y = ln u, u = sin x y = ln sin x.

Функции y = f (u), u = g (x) называются звеньями сложной функции. Го-

ворят, что сложная функция состоит из двух звеньев. Сложная функция может состоять из большего числа звеньев. Например, функция

26

y = f g (ϕ(x)) состоит из трех звеньев.

Например:

y =u2 , u =cosv, v =ln x y =cos2 (ln x)

При дифференцировании сложной функции важно уметь представить ее в виде цепочки звеньев.

Например. y = ctgln x2 y = ctgu, u = ln v, v = x2.

Теорема.

Если функции y = f (u), u = g (x) дифференцируемы, то производная сложной функции y = f g (x) находится по формуле

yx′ = yu′ ux′

(правило цепочки).

Доказательство: Примеры:

1) y =sin(x2 ) y =sin u, u = x2 yu′ = cosu, u′x = 2x, y′x = cosu 2x yx′ = cos(x2 ) 2x.

При решении задач промежуточные переменные стараются не вводить.

2.2.4.Производные неявных функций

2.2.4.1.Неявные функции одной и двух переменных

Пусть значения двух переменных x и y связаны между собой уравнени-

27

Интересно было бы получить формулы дифференцирования неявной функции, которые можно было бы применять, не выражая y из уравнения.

Пусть уравнение F (x, y) = 0 определяет неявную функцию y = y(x). Для

отыскания производной y′(x) можно поступить следующим образом:

1)Найдем производную функции F (x, y), помня, что y = y(x).

2)Из полученного равенства найдем выражение производной y′(x) .

Пример 5.

Найти производную неявной функции x2 + y2 = 4 в точке M ( 2, 2).

Решение. Чтобы найти функцию F (x, y) перенесем число 4 в левую

часть уравнения. Тогда x2 + y2 − 4 = 0.

Найдем производные обеих частей равенства

2x + 2 y y′ = 0 .

Производная от первой производной (y′)′ называется производной вто-

рого порядка (второй производной) и обозначается

y′′, f ′′(x), d 2 y , d x2

то есть y′′ =(y′)′.

28

Аналогично, производная третьего порядка y′′′ = (y′′)′ обозначается так-

Замечания:

29

1. В формулировке теоремы условие x → x0 можно заменить на условие

x→∞.

2.Правило Лопиталя можно применить несколько раз.

3.Утверждение теоремы остается справедливым, если в условии выполняется равенство

2.3. Приложение производной для исследования функций

При решении многих задач техники и экономики возникает проблема выбора оптимального варианта среди множества возможных решений. Например, требуется найти решение экономической задачи, обеспечивающее наибольшую прибыль или наименьшие издержки производства. В первом случае нам нужно найти точку, в которой достигается наибольшее значение функции прибыли, во втором – наименьшее значение функции издержек. Простейшие задачи оптимизации сводятся к задачам исследования функции одной переменной на экстремум. Поэтому данная тема имеет важное прикладное значение.

На данной лекции мы познакомимся с понятиями возрастающей и убывающей функций, точки максимума и точки минимума, рассмотрим методы исследования на возрастание, убывание и точки экстремума.

Л

2 Знак = означает использование правила Лопиталя.

30