080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / Лекции_Математический анализ

РИС. 2.4.2

Определение: Производной по направлению от функции

u = u(x, y, z) называется предел

∂u

=

lim

u(M1 )−u(M )

.

∂

→0

Производная

∂u - это скорость изменения функции u в точке M по

∂

направлению l .

Если направление

совпадает с положительным направлением коорди-

натной оси Ox , то

∂u совпадают с частной производной ∂u и т.п.

∂

∂x

Пусть направление

характеризуется направляющими

косинусами

cosα, cosβ, cos γ. Тогда можно показать, что

∂u =

∂u cosα +

∂u

cosβ +

∂u cos γ .

(5)

∂l

∂x

∂ y

∂l

41

2.4.5.1. Свойства градиента и производной по направлению

1. Производная по направлению

∂u в фиксированной точке

M равна

∂

проекции grad u в этой точке на направление .

2. Наибольшее и наименьшее значения производной по направлению в

данной точке

max

∂u

=

gradu

, min ∂u = −

gradu

.

∂

∂

Пример. Найти

наибольшую

скорость

возрастания

функции

u = x2 + y2 + z2 в точке M (1,1,1).

Решение.

Найдем gradu в точке M

∂u (M )= 2x

M

= 2; ∂u (M )= 2y

M = 2; ∂u (M )= 2z

M =

2 ,

∂x

∂y

∂z

gradu

M = 2i + 2 j + 2k .

По второму свойству градиента наибольшее значение

∂u

равно

∂

max ∂u

=

gradu (M )

=

4 + 4 + 4 = 2

3 .

∂

M

Полным приращением

функции z = f (x, y) называется

разность

z = f (x + x, y + y) − f (x, y)

Геометрический смысл

z. Полное приращение функции

z = f (x, y) -

это приращение ординаты z, соответствующее приращениям x,

y

аргумен-

тов x, y.

z

f (x + x, y + y)

f (x, y)

z

y

x

(x, y)

y

(x +

x, y + y)

Пример. z = x y ,

z =(x + x)(y + y)− xy = x y + y x + x y.

Теорема. Если функция

z = f (x, y)

имеет непрерывные частные произ-

водные fx′(x, y)и fy′(x, y), то полное приращение функции равно

z = fx′(x, y)

x + fy′(x, y)

y + α x +β y,

где

бесконечно

малые величины α

и β зависят от x, y то есть

lim α = 0, lim β = 0.

x→0

x→0

y→0

y→0

ствами:

1)

dz линейно зависит от

x,

y.

2)

Полный дифференциал dz

отличается от полного приращения

z на

бесконечно

малую величину

более высокого

порядка малости,

чем

ρ= (

x)2 + (

y)2 .

Благодаря свойствам (1),

(2)

дифференциал dz

называется главной ли-

нейной частью приращения z.

Определение. Функция z = f (x, y), имеющая непрерывные частные про-

изводные ∂z ,

∂z называется дифференцируемой.

∂x

∂y

x : u =u(x),v = v(x).

Функции

z = f (u,v);

u =u (x)

и v = v(x) −дифференциру-

емы.

Тогда

z = f (u(x)), v(x)). является сложной функцией от одной незави-

симой переменной x.

Необходимо найти производную

dz .

dx

Для отыскания

dz

используется формула полного приращения

dx

z =

∂z

u + ∂z

v + α u + β v;

∂u

∂v

α,β−бесконечно малые при

Далее

z

=

∂z

u

+

∂z

v

+ α

u

+ β

v

x

∂v

x

x

∂u

x

x

в пределе при

x → 0 получим

dz = lim

z

=

∂z

lim

z

+

∂z

lim

v

+

∂v

x

dx

x→0

x

∂u

x→0

x

x→0

+ lim α

lim

u

+

lim β

lim

v

=

x

x→0

x→0

x

x→0

x→0

=

∂z

du

+ ∂z

dv

+ 0 du

+ 0 dv .

dx

dx

∂u

∂v

dx

dx

x2

′

2

z =(sin 0) ,

.

zx − ? Пусть u =sin x, v = x

Тогда z = u

v

.

∂z

= u

v−1

v;

∂z

= u

v

ln u

∂u

∂u

dz = vuv−1 cos x + uv ln u 2x = x2 (sin x)x2 −1 + (sin x)x2 ln (sin x) 2x.

dx

2.4.8.2. Дифференцирование сложной функции двух переменных с двумя

промежуточными.

Пусть z = f (u,v).

Здесь

u,v − промежуточные функции, зависящие от

двух независимых переменных x, y.

Тогда z = f (u(x, y)), v(x, y)) является

сложной функцией от двух переменных x, y.

∂z

=

∂z

∂u

+

∂z

∂v

∂x

∂u

∂x

∂v

∂x

Аналогично вычисляется

∂z

=

∂z

∂u

+

∂z

∂v

∂y

∂u

∂y

∂v

∂y

Пример.

Найти ∂z ,

∂z

при x = 0,

y = 0, z = 2uv + u −3v, u = ex−y , v = x2 + y2

∂x

∂y

∂z

= (2v +1)ex−y + (2u −

3) 2x;

∂x

∂z

= (2v +1)ex−y (−1)+ (

2u − 3) 2 y;

∂z

x=0 =1;

∂z

x=0 = −1.

∂y

∂x

y=0

∂y

y=0

Тогда dz =

∂z +

∂z

dy .

dx

∂x

∂y

dx

Следует различать

∂z −частную производную функции z = f (x, y) и

∂x

dz −производную сложной функции

y = f (x, y(x))

с учетом не только непо-

dx

средственного вхождения x, но и того, что y также зависит от x.

Пример.

z = x2 y2 − x − y, y

= ln x, dz

x = l

− ?

dx

dz

1

dz

1

1

dx = (2xy2 −1)+

(2x2 y −1) x ; y(l )=1; dx = 2l

−1 + (2l2 −1) l

= 4l − l −1.

2.4.9. Экстремумы функции двух переменных

Рассмотрим функцию двух переменных z = f (x, y).

1. Точка M0 (x0 , y0 )

называется точкой максимума функции z = f (x, y) ,

если

f (x, y)< f (x0 , y0 )

для любой точки

M (x, y)

из некоторой окрестности

точки M 0 (Рис. 2.3).

2. Точка M1(x1, y1) называется точкой минимума функции

z = f (x, y) ,

если

f (x, y) > f (x1, y1 )

для любой точки

M (x, y)

из некоторой окрестности

точки M1 (Рис. 2.4).

z

z

O

y0

y

O

y1

y

x0

x1

M0(x0,y0)

M1(x1,y1)

M(x,y)

M(x,y)

x

x

РИС. 2.3

РИС. 2.4

2.4.9.1. Необходимое условие существование экстремума

Теорема.

Необходимое условие экстремума. Если в точке M 0 (x0 , y0 )

функция z = f (x, y) имеет экстремум, то частные производные ∂z ,

∂z в точке

M 0 обращаются в нуль или не существуют.

∂x

∂y

Доказательство.

Пусть

y = y0 . Тогда

z = f (x, y0 )

– функция одной пере-

менной x . По условию теоремы эта функция при x = x0

достигает экстремума и

равна f (x0 , y0 ) .

Необходимое условие экстремума для функции одной пере-

менной

–

это

равенство

нулю

или

не

существование

производной, т.е.

fx′(x, y0 )

x=x

= 0

или

fx′(x, y0 )

x=x

не существует.

0

0

Но

fx′(x0 , y0 ) является в то же время частной производной по x от f (x, y)

в точке M

0

(x , y

0

) . Следовательно, ∂z

x=x

= 0 или не существует. Аналогично

0

∂x

y=y0

0

можно доказать, что

∂z

x=x

= 0 или не существует.

∂ y

y=y0

0

Следует отметить, что указанное условие не является достаточным, т.е. из

условий

fx′(x0 , y0 ) = 0 и

fy′(x0 , y0 ) = 0 не следует, что M 0 (x0 , y0 ) является точ-

кой экстремума.

Точка

M 0 (x0 , y0 ) ,

в которой частные производные функции

z = f (x, y)

′

′

изводные zx = −2x ,

zy = 2y обращаются в нуль. Однако точка O не является

точкой экстремума.

Геометрически в этой точке поверхность имеет сед-

z

лообразную форму (Рис. 2.5). На кривой сечения этой по-

O

верхности плоскостью yOz точка O является самой низ-

y

кой точкой. На кривой сечения поверхности плоскостью

x

xOz точка O – самая высокая точка.

РИС. 2.5

∂2 z

∂2 z

∂2 z

2

=

∂x2

∂y2

−

.

∂x∂y