Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Казанский кооперативный институт (филиал РУК)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / Лекции_Математический анализ

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

26.02.2016

Размер:

1.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1710 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

]

S =

∫

(x)dx −

∫

∫[

(x)

−

(17)

f (x)dx =

f (x) dx .

= f2

y = f2 (x)

(x)

			O	a	y = f1 (x)	b	x
					y = f1 (x)
O a	y = f1 (x)		-M				X
O a	b	x	-M				X
РИС. 3.5.8				РИС. 3.5.9
Покажем,	что формула	(17)	верна при	любом	расположении		линий

y = f1(x) , y = f2 (x) относительно оси Oy (рис. 3.5.9).

Действительно, сделаем параллельный перенос оси Ox вниз на величину −M . Получим новую систему координат XOY, где X = x , Y = y + M . Число M

подберем так, чтобы уравнения кривых в новой системе координат удовлетворяли условиям:

		Y = F1(x) , F1(x) = f1(x) + M ≥ 0 ;
	Y = F2 (x) , F2 (x) = f2 (x) + M ≥ 0 ;
причем F1(x) ≤ F2 (x) .
Тогда площадь фигуры равна
	b	2	1	b		2		1	]
S =	∫	2	1	∫[	f	2	(x) −	1	]
S =		[F (x) − F (x)]dx =			f		(x) −	f (x) dx.
	a			a

Пример.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями x = 4, y = − x , y = x2 .

Решение.

Построим чертеж (рис. 3.5.10). Тогда

4	2
	2	+
S = ∫ x		+	x dx =
0

y = x2

O	y = −	4 x
	y = −	x
	РИС. 3.5.10

x3			2 x3	4		64		16		80
x3			2 x3	4		64		16		80
=		+			=		+		=		.
=	3	+	3		=	3	+	3	=	3	.
	3		3			3		3		3
				0
				0

3.5.3.Вычисление длин дуг

3.5.3.1.Определение длины дуги плоской кривой

Пусть MN – дуга некоторой плоской кривой		N

(рис. 3.5.11). Впишем в дугу MN произвольную ло-		lk
маную линию. Обозначим длины ее звеньев через	l1,
		M
n
l2 , ..., ln . Длина ломаной линии равна ∑ lk .		РИС. 3.5.11

k=1

Длиной l дуги называется предел периметра вписанной в нее ломаной линии, когда число звеньев неограниченно растет, а длина максимального звена стремится к нулю

			n
l = maxliml →0			∑ lk .
		k	k=1
3.5.3.2. Длина дуги в прямоугольных координатах
Постановка задачи.			Пусть кривая	y		lk		N
задана уравнением	y = f (x) . Предполо-					lk	Mk
задана уравнением	y = f (x) . Предполо-					Mk −1		yk
′		непрерывны на от-		M				yk
′				M	1
жим, что f (x) и f (x)					1
резке [a,b] . Требуется		найти длину дуги
MN кривой y = f (x)	на отрезке [a,b] (рис.			M		xk
MN кривой y = f (x)	на отрезке [a,b] (рис.					xk
3.5.12).				O x0=a x1 xk-1			xk	xn=b x
Решение задачи.						РИС. 3.5.12
Разобьем дугу MN на n частей точками M0 (x0 , f (x0 ))= M ,								M1 (x1, f (x1)),

M2 (x2 , f (x2 )), ..., Mn (xn , f (xn ))= N . Соединим эти точки отрезками прямых.

В результате получим ломаную, вписанную в дугу MN . Обозначим длины зве92

ньев ломаной через			lk , k =		1,n	,	а их проекции на оси Ox и Oy через			xk , yk ,
k =		, соответственно, причем					yk = f (xk ) − f (xk−1) . Тогда
k =	1,n	, соответственно, причем					yk = f (xk ) − f (xk−1) . Тогда
			l	k	= ( x )2 + ( y			k	)2 .
				k			k	k
	Воспользуемся		теоремой				Лагранжа,	по которой на каждом		отрезке
[xk −1, xk ] существует точка ξk , в которой выполняется равенство
или			f (xk ) − f (xk−1 ) = f ′(ξk )(xk − xk −1)
или
					yk = f ′(ξk ) xk .
	Тогда длина k-го звена ломаной отыщется по формуле
		lk = ( xk )2 +[ f ′(ξk ) xk ]2 = 1 +[ f ′(ξk )]2 xk ,
а длина всей ломаной равна
			n			n
			∑ lk = ∑ 1 +[ f ′(ξk )]2 xk .
			k=1		k=1

Полученная сумма является интегральной. Найдем предел последовательности этих сумм, когда max lk → 0 . Учитывая, что при стремлении max lk к

нулю величина max xk также стремится к нулю, получим

			n
	l = maxliml →0		∑ 1 +[ f ′(ξk )]2 xk =
		k	k=1
		n	b
= lim	→0	∑ 1 +[ f ′(ξk )]2 xk = ∫ 1 +[ f ′(x)]2 dx .
max xk	→0	k=1	a

Таким образом, если кривая задана уравнением y = f (x) , то длина ее дуги

на отрезке x [a,b] вычисляется по формуле

				b		2
				l = ∫ 1 +[ f	′	2	(18)
				l = ∫ 1 +[ f	(x)] dx .		(18)
				a
Найти длину дуги цепной линии					y =	ex + e−x	на отрезке x [0,a].
Найти длину дуги цепной линии					y =	2	на отрезке x [0,a].
						2
Решение.			ex − e−x
Так как y	′	=	ex − e−x	, то
	′		2
			2
					93

1 + y′2	=1 +		ex − e−x 2			e2x − 2exe−x + e−2x
1 + y′2	=1 +			2	=1 +			4	=
				2				4
	=	e2x		+ 2exe−x + e−2x		ex + e−x			2
	=				4	=	2	.
Тогда					4		2
Тогда

a		a ex + e−x		ex − e−x				a	ea − e−a			.
a		a ex + e−x		ex − e−x				a	ea − e−a
l = ∫ 1 + y′2 dx = ∫			2	dx =	2			=			2
0		0	2		2			0			2
0		0						0
Формулу (18) для длины дуги можно преобразовать следующим образом:
b	2		′	2	b	2				2
l = ∫ (dx)	2		′	2	∫ (dx)	2	+ (dy)			2	.
l = ∫ (dx)		+[ f (x)dx] =			∫ (dx)		+ (dy)				.
a					a
Если теперь также заменить пределы интегрирования a и b на точки M и N
– начало и конец дуги, то получим другую форму записи формулы (18):
		N	(dx)2 + (dy)2 .
		l = ∫	(dx)2 + (dy)2 .									(19)

3.5.4.Вычисление объемов тел

3.5.4.1.Вычисление объемов тел по площадям параллельных сечений

Постановка задачи. Пусть дано не-
которое тело T. Предположим, что извест-
на площадь любого сечения этого тела		y	T
плоскостью, перпендикулярной	оси Ox		T
(рис. 3.5.13). Эта площадь зависит от по-
ложения секущей плоскости и, следова-		O a x
тельно, является функцией переменной x:		O a x		b	x
S = S(x), x [a,b] (отрезок [a,b]	– проек-	z
ция тела T на ось Ox). Требуется найти		РИС. 3.5.13
объем тела T.
Решение задачи.

1. Частный случай (рис. 3.5.14).
Пусть тело T – прямой цилиндр с направ-	y
ляющей, параллельной оси x. Тогда пло-		T
щадь поперечного сечения такого тела бу-
дет постоянной величиной при любых зна-	O a
чениях x ( S(x) = S = const ), а его объем	O a	x	b	x
найдется как произведение площади осно-	z
найдется как произведение площади осно-
вания S на высоту h = b − a , то есть		РИС. 3.5.14

V= S h = S(b − a).

2.Общий случай (рис. 3.5.15).

O x =a x	1	x	k-1	ξ	x	k	x	n-1	x =b x
0	1		k-1	k		k		n-1	n

РИС. 3.5.15

Разобьем тело произвольно на n частей (слоев) плоскостями, перпендику-


лярными оси Ox и проходящими через точки x0 = a , x1 ,				x2 , ..., xn =b. Обозна-
чим длины полученных отрезков [xk −1, xk ], k =		через		xk .
	1,n
Выберем произвольно точки ξk [xk−1, xk ], k =				и проведем через них
			1,n

сечения, площади которых равны Sk = S(ξk ) .

Найдем объем Vk каждого k-го слоя приближенно, считая его прямым цилиндром с площадью основания S(ξk ) и высотой xk : Vk ≈ S(ξk ) xk .

Тогда для объема всего тела имеем приближенную формулу

V = ∑Vk

k=1

≈ ∑S(ξk ) xk .

k=1

Полученная сумма является интегральной. Перейдя к пределу при стремлении max xk → 0 получим точную формулу для вычисления объема тела

		n
	V = maxlimx →0	∑S(ξk ) xk .
	k	k=1
Если теперь вспомнить определение определенного интеграла, то оконча-
тельно получим, что объем V тела T с известной площадью S(x)				поперечных
сечений находится по формуле
	b
	V = ∫S(x)dx .			(20)
	a
		y
Найти объем тела, ограниченного эллиптиче-
z2	y2
ским параболоидом 2 +	8 = x и плоскостью x =1. O		x	1 x

Решение. Построим чертеж (рис. 3.5.16).

РИС. 3.5.16

В сечении тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, получим плоскую

фигуру, ограниченную эллипсом		z2	+	y2		=1 с полуосями a =		2x и b = 2 2x .
фигуру, ограниченную эллипсом		2x	+	8x		=1 с полуосями a =		2x и b = 2 2x .
		2x		8x
Площадь этой фигуры вычисляется по формуле S = πab = π2								2x 2x = 4πx . То-
гда
1	1				x2		1
1	1						1
V = ∫S(x)dx = 4π∫xdx = 4π							= 2π (куб.ед.).
V = ∫S(x)dx = 4π∫xdx = 4π							= 2π (куб.ед.).
0	0					2	0
0	0						0

3.5.4.2. Вычисление объемов тел вращения

Постановка задачи. Пусть криволинейная трапеция с основанием [a,b] , ограниченная кри-

вой y = f (x) вращается вокруг оси Ox (рис. 3.5.17). Найти объем полученного тела вращения.

Решение задачи. Рассмотрим сечение тела плоскостью, проходящей через точку x оси Ox, перпендикулярно этой оси. В таком сечении тела вращения получается круг радиуса R = f (x) .

Следовательно, его площадь равна

y = f (x)

O a

b x

РИС. 3.5.17

S (x) = πR2 = π[ f (x)]2 .

Используя формулу (20), для объема тела по известным площадям параллельных сечений, получим:

V = π∫[ f (x)]2 dx –

объем тела вращения криволинейной трапеции с основанием [a,b] , ограни-

ченной графиком функции y = f (x) .

Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox кривой y =1 − x2 на отрезке x [−1,1].

Решение. Построим чертеж (рис. 3.5.18). Из

y
1	y =1− x2

него видно, что							-1	O	1 x
него видно, что
1	1
V = π∫(1 − x2 )2 dx = π∫(1 − 2x2 + x4 )dx =
−1	−1							РИС. 3.5.18
								РИС. 3.5.18
	2x3	+	x5 1	=	16	π	(куб.ед.).
= π x −		+		=		π	(куб.ед.).
	3		5 −1		15

3.6.Несобственные интегралы

3.6.1.Понятие несобственных интегралов

При введении понятия определенного интеграла ∫ f (x)dx считалось, что

отрезок [a,b] конечный, а функция f (x) непрерывна на [a,b] и, следовательно,

ограничена. Если нарушено хотя бы одно из перечисленных условий, то определить интеграл, как предел последовательности интегральных сумм нельзя. Однако имеется другой способ обобщить понятие определенного интеграла на случаи, когда:

1)интервал интегрирования бесконечный,

2)подынтегральная функция неограниченная.

Такие интегралы называются несобственными интегралами.

3.6.2. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

3.6.2.1. Определение несобственных интегралов

Пусть функция y = f (x) непрерывна на участке [a,∞) оси Ox. Выберем произвольное значение t [a,∞) и рассмотрим определенный интеграл

∫ f (x)dx на конечном отрезке [a,t].

Несобственным интегралом от функции y = f (x) на промежутке [a,∞)

называется

lim ∫ f (x)dx

t→∞ a

∞

и обозначается ∫ f (x)dx . Если указанный предел существует, то несобственный интеграл называется схо-

дящимся, а если не существует, то – расходящимся.

Итак, по определению

∞ t

∫ f (x)dx = tlim→∞ ∫ f (x)dx .
a	a
	98

			y
Геометрический	смысл	несобствен-
Геометрический	смысл	несобствен-
ного интеграла.	∞				y = f (x)
	∞				y = f (x)
Если f (x) ≥0 , то	∫ f (x)dx	– это пло-
	a
щадь бесконечной криволинейной тра-			O
щадь бесконечной криволинейной тра-				a	x
пеции с основанием [a,∞) (рис. 3.6.1).				a	x
					РИС. 3.6.1

Аналогично определяется несобственный интеграл от функции y = f (x)

на промежутке (−∞,b]

b	b
∫	f (x)dx = t→−∞lim ∫ f (x)dx .
−∞	t

Если функция y = f (x) непрерывна на всей числовой оси (−∞,∞) , то

∞

можно определить несобственный интеграл ∫ f (x)dx . Для этого выберем про-

−∞

извольную точку c, а несобственный интеграл по промежутку (−∞,∞) опреде-

лим по формуле

∞	c	∞
∫	f (x)dx = ∫	f (x)dx + ∫ f (x)dx .	(21)
−∞	−∞	c
	∞

Несобственный интеграл ∫ f (x)dx называется сходящимся, если схо-

−∞

дятся оба интеграла, стоящие в правой части формулы (21), и расходящимся, если расходится хотя бы один из них.

3.6.2.2. Вычисление несобственных интегралов

Пусть F(x) – первообразная для функции f (x) . Тогда, используя опреде-

ление несобственного интеграла и формулу Ньютона-Лейбница, получим

∞	t	f (x)dx = lim F(x)	t	[	F (t) − F (a)	]

∫	f (x)dx = lim		= lim				=
	t→∞ ∫	t→∞	a t→∞
a
	a

= lim F (t) − F (a) = F (∞) − F (a) ,

t→∞

где F(∞) = lim F(t) .

t→∞

Таким образом, для вычисления несобственного интеграла получена формула Ньютона-Лейбница

∞

∫ f (x)dx = F (x) ∞a = F (∞) − F(a) .

Аналогично,

b		b
∫	f (x)dx = F (x)		= F (b) − F (−∞),	F (−∞) = lim F (t) ,
	f (x)dx = F (x)		= F (b) − F (−∞),	F (−∞) = lim F (t) ,
		−∞		t→−∞
		−∞		t→−∞
−∞

∞

∫ f (x)dx = F (x) ∞−∞ = F(∞) − F (−∞) .

−∞

Примеры.

∞dx

1.Найти ∫a x2 + a2 .

Решение.

∞

(arctg ∞ − arctg1)=

1 π

arctg

−

∫a x2

+ a2

a 2

Интеграл сходится.

∞

2. Найти ∫sin xdx .

Решение.

∞

∫sin xdx = −cos x ∞0 = −cos∞ + cos0 .

Интеграл расходится, так как cos∞ не существует.

∞ dx 3.6.2.3. Исследование сходимости интеграла ∫a x p

При дальнейшем изучении курса высшей математики часто будут исполь-

∞ dx

зоваться несобственные интегралы вида ∫a x p . Поэтому проведем исследование

его сходимости в зависимости от величины параметра p. 1. Пусть p =1. Тогда

100

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 910 / 1710 11 12 13 14 15 16 17 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке 080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра)

#
26.02.2016483.32 Кб28ЗаданияСР_ЛА_080100.pdf
#
26.02.2016690.03 Кб18ЗаданияСР_МА_080100.pdf
#
26.02.2016516.27 Кб24Лекции_Линейная_алгебра.pdf
#
26.02.20161.35 Mб37Лекции_Математический анализ.pdf
#
26.02.201623.29 Mб178Линейная алгебра_080100_заоч_1_курс_экз_паспорт.pdf
#
26.02.2016753.52 Кб33Математика_Словарь терминов.pdf
#
26.02.201620.68 Mб57Математический анализ_080100_заоч_1_курс_экз_паспорт.pdf
#
26.02.2016630.28 Кб19ПланыПЗ_ЛА_080100.pdf
#
26.02.2016496.78 Кб16ПланыПЗ_МА_080100.pdf