080100Экономика(МатАнализ и ЛинАлгебра) / Лекции_Математический анализ

x =ϕ(t) . Тогда функция F(x) станет сложной функцией переменной t. Следо-

вательно,

[F (x)]′t =[F (x)]x′ xt′ = f (x)ϕ′t = f [ϕ(t)]ϕ′(t) .

Проинтегрировав правую и левую части полученного равенства по t, получим

обычно выбирают t =ψ(x) , а затем выражают x =ϕ(t) ) и по формуле (7) пере-

ходят к новому интегралу по переменной t. Этот интеграл вычисляют, а затем возвращаются к старой переменной x, подставляя в ответ t =ψ(x) .

Решение. Положим x =t x =t2 dx =(t2 )′ dt = 2tdt .

Тогда

3.2.3. Интегрирование простейших рациональных дробей

Простейшими рациональными дробями называются дроби следующих двух типов:

61

Покажем способы интегрирования этих дробей. I тип.

a) k =1.

Решение.

Вычислим дискриминант знаменателя дроби в подынтегральной функции:

D = p2 − 4q = 4 − 20 = −16 < 0 . Значит, дробь относится к типу II. Для вычисле-

ния интеграла приведем его к виду, рассмотренному выше. Сначала выделим полный квадрат в квадратном трехчлене знаменателя

x2 + 2x + 5 = (x2 + 2x +1) + 4 = (x +1)2 + 4 .

Тогда в исходном интеграле можно сделать замену t = x +1, x = t −1, dx = dt . В результате получим

62

Далее решаем как в частном случае

Возвращаясь к старой переменной x, окончательно получим

б) k >1.

Интегрирование простейших дробей II типа при k >1 требует сложных вычислений и здесь не рассматривается.

3.2.4. Интегрирование рациональных функций

Рациональной функцией или рациональной дробью называется отно-

шение двух многочленов

где m > 0 и n > 0 – целые числа. Если m < n , то дробь называется правильной, если m ≥ n – непра-

вильной.

Если дробь неправильная, то ее можно записать как сумму многочлена (целой части) и правильной дроби

Представление (8) называется выделением целой части.

Правильную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей двух типов, если воспользоваться следующей теоремой.

R (x)

Теорема 9. Для правильной дроби Q (x), знаменатель которой имеет вид

Qn (x) = (x − a)k (x2 + px + q)l ,

где p2 − 4q < 0 справедливо следующее разложение в сумму простейших дро-

бей

стейших дробей, соответствующих данному множителю, равно показателю степени, с которым множитель входит в разложение знаменателя на множители.

Это правило остается справедливым и при любом конечном числе линейных и квадратичных множителей, входящих в разложение знаменателя.

Следовательно, интеграл от рациональной функции равен сумме интегралов от многочлена (целой части) и интегралов от простейших дробей, рассмотренных в п. 3.2.3.

Таким образом, интегрирование рациональных функций будем проводить по следующей схеме:

1)если дробь неправильная, то выделим целую часть;

2)правильную дробь разложим в сумму простейших дробей;

3)проинтегрируем простейшие дроби и целую часть.

Пример. Найти ∫ x4 +1 dx . x3 − x

Решение. Подынтегральная функция – неправильная дробь. Выделим целую часть. Для этого поделим многочлен, стоящий в числителе, на многочлен знаменателя.

Тогда дробь запишется в виде

64

Для отыскания неопределенных коэффициентов A, B, C приравняем числители исходной и полученной дробей

x2 +1 = A(x2 −1) + Bx(x +1) + Cx(x −1) .

Полученное равенство должно выполняться при любых значениях x. В качестве таких значений удобно брать корни знаменателя:

x = 0 1 = −A A = −1, x =1 2 = 2B B =1, x = −1 2 = 2C C =1.

Итак, получаем

3.3.Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций

3.3.1.Интегрирование функций, рационально зависящих от тригонометрических функций

Рассмотрим интеграл вида

∫R(sin x,cos x)dx ,

где R(sin x,cos x) – функция, рационально зависящая от sin x и cos x . Покажем,

что с помощью подстановки t = tg 2x рассматриваемый интеграл можно свести к интегралу от рациональной функции. Действительно,

65

Кроме того, так как x = 2arctgt , то dx = 12+dtt2 .

Подставив выражения для sin x , cos x и dx в интеграл, получим

Следовательно, подынтегральная функция является рациональной функцией переменной t.

Таким образом, с помощью подстановки t = tg 2x можно проинтегрировать любую функцию вида R(sin x,cos x) . Поэтому данную подстановку (см. также

(10)) называют универсальной тригонометрической подстановкой.

Примеры.

1. Найти ∫5 − 3cosdx x .

Решение.

С помощью универсальной тригонометрической подстановки t = tg 2x

находим

2. Найти ∫sindxx .

Решение.

На практике универсальная тригонометрическая подстановка приводит к громоздким рациональным дробям, поэтому применяется не часто. В частных случаях лучше использовать другие методы.

3.3.2. Интегрирование некоторых частных видов тригонометрических функций

3.3.2.1. Интегралы вида ∫R(sin x)cos xdx , ∫R(cos x)sin xdx

Подстановка t = sin x , dt = cos xdx дает

∫R(sin x)cos xdx = ∫R(t)dt ,

аподстановка t = cos x , dt = −sin xdx дает

∫R(cos x)sin xdx = −∫R(t)dt .

Таким образом, данные интегралы сводятся к интегралам от рациональных дробей.

Пример. Найти ∫(sin2 x − sin x)cos xdx .

Решение.

Введем подстановку t = sin x , dt = cos xdx . Тогда

67

3.3.2.2. Интегралы вида ∫R(tg x)dx , ∫R(sin2 x,cos2 x)dx

Данные интегралы сводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью подстановки t = tg x .

=1 arctg tg x + C . 2 2

3.3.2.3.Интегралы вида ∫sinm x cosn xdx , (m, n – целые положитель

ные числа)

Рассмотрим два случая:

1. Среди чисел m, n хотя бы одно нечетное. Пусть n = 2k +1, тогда применим метод «отщепления», состоящий в «отщеплении» от нечетной степени первой степени:

∫sinm x cosn xdx = ∫sinm x cos2k+1 xdx =

68

= ∫sinm x cos2k x cos xdx = ∫sinm x (1 − sin2 x)k cos xdx =

2. Числа m и n – четные, то есть m = 2l , n = 2k .

В этом случае используются формулы понижения степени

Возведя в степени и раскрыв скобки, получим интеграл, содержащий cos 2x в четных и нечетных степенях. К этому интегралу применяются те же приемы интегрирования.

Примеры.

1. Найти ∫cos3 x sin2 xdx .

Решение.

∫cos3 x sin2 xdx = ∫cos2 x sin2 xcos xdx =

3.3.3. Интегрирование простейших иррациональных функций

Иррациональная функция – это функция, которая содержит аргумент под знаком корня.

69

Для интегрирования таких функций применяются подстановки, приводящие интеграл от иррациональной функции к интегралам от рациональных дробей. Рассмотрим два случая.

Для вычисления интегралов такого вида найдем наименьшее общее кратное (НОК) n показателей всех корней, присутствующих в интеграле. Тогда каждый из корней будет целой степенью корня n x . Введем затем подстановку