§2.2. Сочетания

Сочетанием элементов множества X называется подмножество конечного множества AX. Если |A|=k, |X|=n, то подмножество X называется сочетанием из n по k . Например, сочетания трех цветов семицветной радуги будут описываться подмножествами, состоящими из трех элементов.

Треугольник Паскаля и бином Ньютона. Теорема 1. Число сочетаний удовлетворяет соотношениям:

; ( при 0 <k < n ) .

Доказательство. Число сочетаний, не содержащих n-й элемент, равно , а содержащих –.

Следующая таблица строится на основе теоремы 1 и называется треугольником Паскаля:

n k	0	1	2	3	4	5
0	1
1	1	1
2	1	2	1
3	1	3	3	1
4	1	4	6	4	1
5	1	5	10	10	5	1
6	1	6	15	20	15	6

Теорема 2. Число сочетаний из n по k равно .

Доказательство. По индукции по n. Или, сопоставляя каждой инъекции ее образ и учитывая, что число инъекций с одинаковым образом равно k!, получаем Þ .

Теорема 3. (Бином Ньютона).

Доказательство. По индукции по n. Можно предложить также другое доказательство: Рассмотрим произведение n сомножителей (1+x) (1+x) × × × (1+x). Сомножители будем рассматривать как ящики. Произведение равно сумме степеней x^k, причем при каждом k слагаемые x^k получаются выбором из ящиков k элементов, равных x. Отсюда коэффициент при x^k будет равен количеству содержащих k элементов подмножеств множества, состоящего из n элементов.

Применение сочетаний. Сочетание можно интерпретировать как размещение неразличимых предметов.

Пример 1. Найдем вероятность угадать 7 номеров из 49 (игра спортло-то). Количество вариантов равно числу сочетаний из 49 элементов по 7. Су-ществует единственный благоприятный вариант. Отсюда вероятность равна .

Теорема 4. Число возрастающих функций {1,2,  ,k}  {1,2,  ,n } равно .

Теорема 5. Число последовательностей натуральных чисел (x₁ , x₂ ,  , x_k) , x_i1 , удовлетворяющих уравнению

x₁ + x₂ +  + x_k = n ,

равно .

Теорема 6. Число неубывающих сюръекций {0,1,  , n –1}  {0, 1,  , k–1 } равно .

Доказательство. Каждая сюръекция задает разбиение множества {0, 1,  , k–1 } на подмножества f ^─1(0) , f ^─1(1),  , f ^─1(n –1). Пусть m₀ – наибольший в f ^─1(0), m₁ – наибольший в f ^─1(1) ,  , m_n-2 – наибольший в f^─1(n –2) . Тогда m_n-1 = k – 1. Следовательно,

0 ≤ m₀ < m₁ <  < m_n-2 ≤ k-2 .

Число таких последовательностей равно – количеству возрастающих функцийn–1  k–1.

Пример 2. Число неубывающих сюръекций n  1 равно .

Число неубывающих сюръекций 3  2 равно .

Сочетания с повторениями. Сочетанием с повторением из множества { e₁ , e₂ ,  , e_n } называется линейная комбинация x₁e₁ + x₂e₂ +  +x_n e_n , состоящая из x₁ элементов e₁ , из x₂ элементов e₂ , , из x_n элементов e_n , где x_i ≥ 0 – неотрицательные целые числа. Если x₁ +  +x_n = k , то оно называется сочетанием с повторениями из n по k.

Пусть, например, имеется 3 цвета: красный, зеленый, синий. Интенсивности этих цветов равны. Сколько смесей суммарной интенсивности 10 можно получить, смешивая x₁ красных, x₂ зеленых и x₃ синих цвета?