Операции над бинарными отношениями. Бинарным отношением между элементами множеств a и b называется произвольное подмножество r  ab. Запись aRb (при a  a, b  b ) означает, что (a,b)  r .

Определены следующие операции над отношениями R AA :

R ^-1={(a,b): (b,a)R},

R S={(a,b): ( xA)(a,x)R & (x,b)R},

Rⁿ=R(R^n-1),

.

Пусть Id_A = {(a,a): aA} – тождественное отношение. Отношение R  XX называется

1. рефлексивным, если (a,a)R для всех a  X,

2. антирефлексивным, если (a,a)R для всех a  X,

3. симметричным, если для всех a, b  X верна импликация aRb bRa,

4. антисимметричным, если aRb & bRa  a=b ,

5. транзитивным, если для всех a, b, c  X верна импликация aRb & bRc aRc ,

6. линейным, для всех a, b  X верна импликация ab  aRb  bRa .

Обозначим IdA через Id.

Теорема 2. Отношение R  XX

1. рефлексивно  Id  R ,

2. антирефлексивно  RId=  ,

3. симметрично  R = R^-1 ,

4. антисимметрично  R  R^-1  Id ,

5. транзитивно  RR R

6. линейно  R Id  R^-1 = X  X .

Отношения порядка и эквивалентности. Разбиения.

Определение 3. Пусть X – множество. Бинарное отношение R  XX называется отношением порядка на X, если оно рефлексивно, антисимметри-чно и транзитивно. Таким образом, R – отношение порядка, если

1. (a,a)R для всех a  X,

2. aRb & bRa  a=b ,

3. для всех a, b, c  X верна импликация aRb & bRc aRc ,

Пара (X,R), состоящая из множества X и отношения порядка R на X.

Отношение порядка обычно обозначается символом  .

Определение 4. Частично упорядоченное множество (X,) называется нижней полурешеткой, если для любых множество

имеет наибольший элемент, который мы обозначим через _1in a_i . Если для любых множествоимеет наименьший элемент_1in a_i , то оно назывется верхней полурешеткой. Если (X,) является нижней и верхней полурешеткой, то оно называется решеткой.

Лемма 1. Если конечное частично упорядоченное множество (X,) является нижней полурешеткой и имеет наибольший элемент, то оно является решеткой.

Доказательство. Пусть . В этом случае множество

S=

непусто и конечно. Поскольку X – нижняя полурешетка, то существует

_xS x. Положим z=_xS x. Для всех i=1, …, n имеет место z a_i . И z – наименьший среди обладающих этим свойством. Стало быть, z = _1in a_i .

Определение 5. Пусть X – множество. Бинарное отношение R  XX называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Таким образом, R – отношение эквивалентности на X, если

1. (a,a)R для всех a  X,

2. aRb  bRa

3. для всех a, b, c  X верна импликация aRb & bRc aRc ,

Определение 6. Разбиением множества X называется множество {X_i : iI} попарно непересекающихся подмножеств X_i  X таких, что . С каждым разбиением{X_i : iI} можно связать отношение эквивалентности ~ на X, полагая x ~ y, если x и y являются элементами некоторого X_i .

Каждому отношению эквивалентности ~ на X соответствует разбиение {X_i : iI}, элементами которого являются подмножества, состоящие из эквивалентных элементов. Эти подмножества называются классами эквивалентности. Разбиение {X_i : iI} называется фактор-множеством множества X по отношению эквивалентности ~ и обозначается: X/~.