- •Оглавление
- •Глава 1. Множества и отношения
- •§1.1. Способы задания множеств
- •§1.2. Операции
- •§1.3. Перечисление подмножеств
- •Замечание 1.
- •§1.4. Отношения и функции
- •Отношения и графы.
- •Операции над бинарными отношениями. Бинарным отношением между элементами множеств a и b называется произвольное подмножество r ab. Запись aRb (при a a, b b ) означает, что (a,b) r .
- •Обозначим IdA через Id.
- •Теорема 3. Пусть X – конечное множество. Множество отношений эквивалентности на X является решеткой относительно включения.
- •Функции. Функцией или отображением называется тройка, состоящая из множествA и b и подмножества fab (графика функции), удовлетворяющего следующим двум условиям
- •§1.5. Математическое моделирование баз данных
- •Определение 1. (1nf) Файл находится в первой нормальной форме, если для него задано некоторое положительное целое число n и последовательность множеств (a1, , An) таких, что
- •Определение 2.
- •Определение 3. (2nf) Файл с первичным ключом находится во второй нормальной форме, если он находится в первой нормальной форме, и для любого атрибут Ak функционально полно зависит от атрибутов .
- •Глава 2. Комбинаторика
- •§2.1. Размещения
- •§2.2. Сочетания
- •Треугольник Паскаля и бином Ньютона. Теорема 1. Число сочетаний удовлетворяет соотношениям:
- •Теорема 2. Число сочетаний из n по k равно .
- •Лемма 1. Пусть - число сочетаний с повторениями изn по k. Тогда равно числу неубывающих функций{1,2, , n-1} {0,1,2, , n}
- •Теорема 7. .
- •Следствие 1. Равно числу неубывающих функций {1,2, , k} {1,2, , n}.
- •§2.3. Формула включения и исключения Перечисление элементов объединения подмножеств Теорема 1. (Формула включения и исключения)
- •Теорема 2.
- •§2.4. Разбиения
- •Лемма 1.
- •Теорема 1.
- •Пример 2. Число s(4,2) равно 7, ибо все разбиения множества {1,2,3,4, 5, 6, 7} на два блока исчерпываются следующими:
- •Теорема 2. Имеют место следующие свойства чисел Стирлинга второго рода:
- •Теорема 3. ,n 0 .
- •§2.5. Упражнения
- •Упорядоченные разбиения
- •Формула включения и исключения
- •Неупорядоченные разбиения
- •Глава 3. Производящие функции
- •§3.1. Свойства производящих функций
- •Пример 1. Вычислим производящие функции некоторых последова-тельностей. С этой целью сначала вспомним формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии
- •§3.2. Разбиения чисел
- •Лемма 1. Число разбиений p(n) равно количеству решений
- •Замечание. Частное от деления любых двух многочленов является производящей функцией некоторой возвратной последовательности, порядок которой равен степени знаменателя.
- •§3.5. Упражнения Свойства производящих функций
- •Решение рекуррентных уравнений
- •Теорема 1. Граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда нечетную степень имеют не более двух вершин.
- •Пример 1. Закрытое письмо (см. Рис. 4.2) невозможно нарисовать не отрывая карандаш и проходя каждую линию ровно один раз, а открытое – можно.
- •§4.2. Простые графы и их свойства
- •Замечание. Теорема Эйлера имеет место и для графов, не являющихся простыми. §4.3. Хроматическое число графа
- •Теорема 1. Следующие свойства графа равносильны
- •Пример 2. Вычислим хроматическую функцию графа, состоящего из двух имеющих общую сторону треугольников
- •Теорема 3. Хроматическая функция f(q) конечного графа с n вершинами является многочленом степени n.
- •Число последовательностей из n-2 чисел принадлежащих множеству {1, 2, ∙ ∙ ∙, n} равно nn-2, значит число нумерованных деревьев равно nn-2.
- •Теорема 1. Числа Каталана равны .
- •§4.6. Плоские графы
- •Графы Куратовского. Далее мы рассмотрим следующие две задачи.
- •Следствие 1. Граф k5 не плоский.
- •Следствие 2. Граф k3,3 не плоский.
- •Лемма 2. Пусть (V,e) – плоский конечный граф. Тогда существует вершина VV такая, что d(V)5. Здесь d(V) – степень вершины V.
- •Теорема 4. Для плоского связного графа существует правильная раскраска вершин в 5 цветов.
- •Теорема 5. Пусть p – число вершин, q – число ребер, r – число граней правильного многогранника. Тогда возможен один из следующих случаев:
- •§4.7. Упражнения Свойства графов
- •Хроматическое число и хроматическая функция графа
- •Деревья
- •Глава 5. Конечные частично упорядоченные множества §5.1. Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества
- •Пример 1. На рис. 4. 8 показана диаграмма Хассе множества p({0,1,2}) подмножеств множества {0,1,2}, упорядоченное отношением .
- •§5.2. Функция Мебиуса
- •Определение 1. Функцией Мебиуса : XXz называется функция, определенная по формуле
- •§5.3. Формула обращения
- •§5.5. Упражения Диаграмма Хассе
- •Функция Мебиуса
- •Глава 6. Индивидуальные домашние задания
- •§6.1. Множества и отношения
- •§6.1. Комбинаторные объекты
- •Библиографический список
Операции над бинарными отношениями. Бинарным отношением между элементами множеств a и b называется произвольное подмножество r ab. Запись aRb (при a a, b b ) означает, что (a,b) r .
Определены следующие операции над отношениями R AA :
R -1={(a,b): (b,a)R},
R S={(a,b): ( xA)(a,x)R & (x,b)R},
Rn=R(Rn-1),
.
Пусть IdA = {(a,a): aA} – тождественное отношение. Отношение R XX называется
рефлексивным, если (a,a)R для всех a X,
антирефлексивным, если (a,a)R для всех a X,
симметричным, если для всех a, b X верна импликация aRb bRa,
антисимметричным, если aRb & bRa a=b ,
транзитивным, если для всех a, b, c X верна импликация aRb & bRc aRc ,
линейным, для всех a, b X верна импликация ab aRb bRa .
Обозначим IdA через Id.
Теорема 2. Отношение R XX
рефлексивно Id R ,
антирефлексивно RId= ,
симметрично R = R-1 ,
антисимметрично R R-1 Id ,
транзитивно RR R
линейно R Id R-1 = X X .
Отношения порядка и эквивалентности. Разбиения.
Определение 3. Пусть X – множество. Бинарное отношение R XX называется отношением порядка на X, если оно рефлексивно, антисимметри-чно и транзитивно. Таким образом, R – отношение порядка, если
(a,a)R для всех a X,
aRb & bRa a=b ,
для всех a, b, c X верна импликация aRb & bRc aRc ,
Пара (X,R), состоящая из множества X и отношения порядка R на X.
Отношение порядка обычно обозначается символом .
Определение 4. Частично упорядоченное множество (X,) называется нижней полурешеткой, если для любых множество
имеет наибольший элемент, который мы обозначим через 1in ai . Если для любых множествоимеет наименьший элемент1in ai , то оно назывется верхней полурешеткой. Если (X,) является нижней и верхней полурешеткой, то оно называется решеткой.
Лемма 1. Если конечное частично упорядоченное множество (X,) является нижней полурешеткой и имеет наибольший элемент, то оно является решеткой.
Доказательство. Пусть . В этом случае множество
S=
непусто и конечно. Поскольку X – нижняя полурешетка, то существует
xS x. Положим z=xS x. Для всех i=1, …, n имеет место z ai . И z – наименьший среди обладающих этим свойством. Стало быть, z = 1in ai .
Определение 5. Пусть X – множество. Бинарное отношение R XX называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. Таким образом, R – отношение эквивалентности на X, если
(a,a)R для всех a X,
aRb bRa
для всех a, b, c X верна импликация aRb & bRc aRc ,
Определение 6. Разбиением множества X называется множество {Xi : iI} попарно непересекающихся подмножеств Xi X таких, что . С каждым разбиением{Xi : iI} можно связать отношение эквивалентности ~ на X, полагая x ~ y, если x и y являются элементами некоторого Xi .
Каждому отношению эквивалентности ~ на X соответствует разбиение {Xi : iI}, элементами которого являются подмножества, состоящие из эквивалентных элементов. Эти подмножества называются классами эквивалентности. Разбиение {Xi : iI} называется фактор-множеством множества X по отношению эквивалентности ~ и обозначается: X/~.