Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
УП_ДМ2.doc
Скачиваний:
18
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
1.57 Mб
Скачать

Лемма 1. Пусть - число сочетаний с повторениями изn по k. Тогда равно числу неубывающих функций{1,2,  , n-1}  {0,1,2,  , n}

Доказательство.

Рис. 2.2. Решение уравнения x1 +  +xn = k

Каждому решению x1 +  +xn = k соответствует неубывающая последовательность y1 y2 yn-1 , где y1=x1, y2 = y1+x2,  , yn-1 = yn-2 + xn-1 .

Теорема 7. .

Доказательство. Рассмотрим график неубывающей функции

Рис. 2.3. График неубывающей функции

График задается последовательностью из 0 и 1

0 0 1 1 0 0 … 0 1 0 0 … 1 1 … 1

состоящей из n-1+k разрядов, имеющих k единиц.

Следствие 1. Равно числу неубывающих функций {1,2, , k}  {1,2,  , n}.

Доказательство. Первый способ: транспонировать графики.

Второй способ: число неубывающих функций k  n равно

= =.

Получаем следующую таблицу, содержащую числа конфигураций

функций mn

неубывающих

функций mn

Всех

nm

Инъективных

Сюръективных

?

Биективных

n!, если m=n, иначе 0

1, если m=n, иначе 0

Здесь m = {0,1, , m-1}. Например, число сюръективных функций

{0,1, , m-1} {0,1,  , n-1}

равно .

§2.3. Формула включения и исключения Перечисление элементов объединения подмножеств Теорема 1. (Формула включения и исключения)

Доказательство. По индукции. При n=1, 2 утверждение очевидно. Заметим, что имеет место соотношение . Предположим, что дляn1 множеств утверждение верно. Тогда

= .

Откуда

Следовательно, утверждение верно для n множеств. Что и требовалось доказать.

Задача о встречах. В дождливую погоду n человек пришли в театр. Они сдают зонтики в гардероб. После окончания спектакля получают зонтики обратно, в случайном порядке. Какова вероятность того, что каждый из них получит чужой зонтик?

Задача сводится к нахождению числа перестановок элементов множества {1, 2, ∙ ∙ ∙ , n}, не имеющих неподвижных точек.

Пусть Si состоит из перестановок, оставляющих неподвижной точку i. Вычислим | S1 S2 ∙ ∙ ∙ Sn |.

Искомая вероятность будет равна .

Получаем . Отсюда число перестановок, не имеющих неподвижных точек, равно. Искомая вероятность равна. Числоf(n) будет ближайшим к дроби целым числом. При n вероятность стремится к .

Задача о счастливых билетах. Требуется найти число решений уравнения x1+x2+x3 = y1+y2+y3 , где 0 xi , yi 9.

1) Подстановка x4=9y1 , x5=9y2 , x6=9y3 устанавливает биекцию между решениями этого уравнения и уравнения x1+x2+x3 + x4+x5+x6 = 27, где 0 xi 9.

Найдем число разложений x1+x2+x3 + x4+x5+x6 = 27, где 0 xi 9.

Пусть U1 – число разложений с x110,

U2 – число разложений с x210,

∙∙∙

U6 – число разложений с x610.

Тогда | Ui UjUk | =0 при |{I,j,k}|=3.

Вычислим число разложений, не удовлетворяющих неравенствам 0 xi 9. Оно равно

| U1 U2U3 U4 U5 U6 | = 6|U1|─15|U1U2|,

где | U1| ─ число решений уравнения (x1─10)+x2+x3 + x4+x5+x6 = 27─10,

а |U1U2| ─ число решений уравнения

(x1─10)+(x2─10)+x3 + x4+x5+x6 = 27─10-10.

Получаем | U1 U2U3 U4 U5 U6 | = .

Из числа всех разложений вычитаем разложения с xi ≥10. Получаем окончательный ответ

.

Функция Эйлера. Пусть n – положительное натуральное число, (n) – количество натуральных чисел 0<dn , взаимно простых c n. Например, при n=10, d{1, 3, 7, 9} и (10) = 4 . Функция (n) называется функцией Эйлера.