Лемма 1. Пусть - число сочетаний с повторениями изn по k. Тогда равно числу неубывающих функций{1,2,  , n-1}  {0,1,2,  , n}

Доказательство.

Рис. 2.2. Решение уравнения x₁ +  +x_n = k

Каждому решению x₁ +  +x_n = k соответствует неубывающая последовательность y₁ ≤y₂ ≤ _{  } ≤y_n-1 , где y₁=x₁, y₂ = y₁+x₂,  , y_n-1 = y_n-2 + x_n-1 .

Теорема 7. .

Доказательство. Рассмотрим график неубывающей функции

Рис. 2.3. График неубывающей функции

График задается последовательностью из 0 и 1

0 0 1 1 0 0 … 0 1 0 0 … 1 1 … 1

состоящей из n-1+k разрядов, имеющих k единиц.

Следствие 1. Равно числу неубывающих функций {1,2, , k}  {1,2,  , n}.

Доказательство. Первый способ: транспонировать графики.

Второй способ: число неубывающих функций k  n равно

= =.

Получаем следующую таблицу, содержащую числа конфигураций

	функций mn	неубывающих функций mn
Всех	nm
Инъективных
Сюръективных	?
Биективных	n!, если m=n, иначе 0	1, если m=n, иначе 0

Здесь m = {0,1, , m-1}. Например, число сюръективных функций

{0,1, , m-1}  {0,1,  , n-1}

равно .

§2.3. Формула включения и исключения Перечисление элементов объединения подмножеств Теорема 1. (Формула включения и исключения)

Доказательство. По индукции. При n=1, 2 утверждение очевидно. Заметим, что имеет место соотношение . Предположим, что дляn1 множеств утверждение верно. Тогда

= .

Откуда

Следовательно, утверждение верно для n множеств. Что и требовалось доказать.

Задача о встречах. В дождливую погоду n человек пришли в театр. Они сдают зонтики в гардероб. После окончания спектакля получают зонтики обратно, в случайном порядке. Какова вероятность того, что каждый из них получит чужой зонтик?

Задача сводится к нахождению числа перестановок элементов множества {1, 2, ∙ ∙ ∙ , n}, не имеющих неподвижных точек.

Пусть S_i состоит из перестановок, оставляющих неподвижной точку i. Вычислим | S₁ S₂  ∙ ∙ ∙ S_n |.

Искомая вероятность будет равна .

Получаем . Отсюда число перестановок, не имеющих неподвижных точек, равно. Искомая вероятность равна. Числоf(n) будет ближайшим к дроби целым числом. При n вероятность стремится к .

Задача о счастливых билетах. Требуется найти число решений уравнения x₁+x₂+x₃ = y₁+y₂+y₃ , где 0  x_i , y_i  9.

1) Подстановка x₄=9y₁ , x₅=9y₂ , x₆=9y₃ устанавливает биекцию между решениями этого уравнения и уравнения x₁+x₂+x₃ + x₄+x₅+x₆ = 27, где 0 x_i 9.

Найдем число разложений x₁+x₂+x₃ + x₄+x₅+x₆ = 27, где 0 x_i 9.

Пусть U₁ – число разложений с x₁10,

U₂ – число разложений с x₂10,

∙∙∙

U₆ – число разложений с x₆10.

Тогда | U_i U_jU_k | =0 при |{I,j,k}|=3.

Вычислим число разложений, не удовлетворяющих неравенствам 0 x_i 9. Оно равно

| U₁ U₂U₃ U₄ U₅ U₆ | = 6|U₁|─15|U₁U₂|,

где | U₁| ─ число решений уравнения (x₁─10)+x₂+x₃ + x₄+x₅+x₆ = 27─10,

а |U₁U₂| ─ число решений уравнения

(x₁─10)+(x₂─10)+x₃ + x₄+x₅+x₆ = 27─10-10.

Получаем | U₁ U₂U₃ U₄ U₅ U₆ | = .

Из числа всех разложений вычитаем разложения с x_i ≥10. Получаем окончательный ответ

.

Функция Эйлера. Пусть n – положительное натуральное число, (n) – количество натуральных чисел 0<dn , взаимно простых c n. Например, при n=10, d{1, 3, 7, 9} и (10) = 4 . Функция (n) называется функцией Эйлера.