- •Оглавление
- •Глава 1. Множества и отношения
- •§1.1. Способы задания множеств
- •§1.2. Операции
- •§1.3. Перечисление подмножеств
- •Замечание 1.
- •§1.4. Отношения и функции
- •Отношения и графы.
- •Операции над бинарными отношениями. Бинарным отношением между элементами множеств a и b называется произвольное подмножество r ab. Запись aRb (при a a, b b ) означает, что (a,b) r .
- •Обозначим IdA через Id.
- •Теорема 3. Пусть X – конечное множество. Множество отношений эквивалентности на X является решеткой относительно включения.
- •Функции. Функцией или отображением называется тройка, состоящая из множествA и b и подмножества fab (графика функции), удовлетворяющего следующим двум условиям
- •§1.5. Математическое моделирование баз данных
- •Определение 1. (1nf) Файл находится в первой нормальной форме, если для него задано некоторое положительное целое число n и последовательность множеств (a1, , An) таких, что
- •Определение 2.
- •Определение 3. (2nf) Файл с первичным ключом находится во второй нормальной форме, если он находится в первой нормальной форме, и для любого атрибут Ak функционально полно зависит от атрибутов .
- •Глава 2. Комбинаторика
- •§2.1. Размещения
- •§2.2. Сочетания
- •Треугольник Паскаля и бином Ньютона. Теорема 1. Число сочетаний удовлетворяет соотношениям:
- •Теорема 2. Число сочетаний из n по k равно .
- •Лемма 1. Пусть - число сочетаний с повторениями изn по k. Тогда равно числу неубывающих функций{1,2, , n-1} {0,1,2, , n}
- •Теорема 7. .
- •Следствие 1. Равно числу неубывающих функций {1,2, , k} {1,2, , n}.
- •§2.3. Формула включения и исключения Перечисление элементов объединения подмножеств Теорема 1. (Формула включения и исключения)
- •Теорема 2.
- •§2.4. Разбиения
- •Лемма 1.
- •Теорема 1.
- •Пример 2. Число s(4,2) равно 7, ибо все разбиения множества {1,2,3,4, 5, 6, 7} на два блока исчерпываются следующими:
- •Теорема 2. Имеют место следующие свойства чисел Стирлинга второго рода:
- •Теорема 3. ,n 0 .
- •§2.5. Упражнения
- •Упорядоченные разбиения
- •Формула включения и исключения
- •Неупорядоченные разбиения
- •Глава 3. Производящие функции
- •§3.1. Свойства производящих функций
- •Пример 1. Вычислим производящие функции некоторых последова-тельностей. С этой целью сначала вспомним формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии
- •§3.2. Разбиения чисел
- •Лемма 1. Число разбиений p(n) равно количеству решений
- •Замечание. Частное от деления любых двух многочленов является производящей функцией некоторой возвратной последовательности, порядок которой равен степени знаменателя.
- •§3.5. Упражнения Свойства производящих функций
- •Решение рекуррентных уравнений
- •Теорема 1. Граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда нечетную степень имеют не более двух вершин.
- •Пример 1. Закрытое письмо (см. Рис. 4.2) невозможно нарисовать не отрывая карандаш и проходя каждую линию ровно один раз, а открытое – можно.
- •§4.2. Простые графы и их свойства
- •Замечание. Теорема Эйлера имеет место и для графов, не являющихся простыми. §4.3. Хроматическое число графа
- •Теорема 1. Следующие свойства графа равносильны
- •Пример 2. Вычислим хроматическую функцию графа, состоящего из двух имеющих общую сторону треугольников
- •Теорема 3. Хроматическая функция f(q) конечного графа с n вершинами является многочленом степени n.
- •Число последовательностей из n-2 чисел принадлежащих множеству {1, 2, ∙ ∙ ∙, n} равно nn-2, значит число нумерованных деревьев равно nn-2.
- •Теорема 1. Числа Каталана равны .
- •§4.6. Плоские графы
- •Графы Куратовского. Далее мы рассмотрим следующие две задачи.
- •Следствие 1. Граф k5 не плоский.
- •Следствие 2. Граф k3,3 не плоский.
- •Лемма 2. Пусть (V,e) – плоский конечный граф. Тогда существует вершина VV такая, что d(V)5. Здесь d(V) – степень вершины V.
- •Теорема 4. Для плоского связного графа существует правильная раскраска вершин в 5 цветов.
- •Теорема 5. Пусть p – число вершин, q – число ребер, r – число граней правильного многогранника. Тогда возможен один из следующих случаев:
- •§4.7. Упражнения Свойства графов
- •Хроматическое число и хроматическая функция графа
- •Деревья
- •Глава 5. Конечные частично упорядоченные множества §5.1. Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества
- •Пример 1. На рис. 4. 8 показана диаграмма Хассе множества p({0,1,2}) подмножеств множества {0,1,2}, упорядоченное отношением .
- •§5.2. Функция Мебиуса
- •Определение 1. Функцией Мебиуса : XXz называется функция, определенная по формуле
- •§5.3. Формула обращения
- •§5.5. Упражения Диаграмма Хассе
- •Функция Мебиуса
- •Глава 6. Индивидуальные домашние задания
- •§6.1. Множества и отношения
- •§6.1. Комбинаторные объекты
- •Библиографический список
§5.5. Упражения Диаграмма Хассе
Нарисовать диаграмму Хассе множества подмножеств из {0,1,2,3}, упорядоченное отношением включения.
Нарисовать диаграмму Хассе множества делителей числа 1000, упорядоченного отношением делимости.
Нарисовать диаграмму Хассе множества делителей числа 360, упорядоченного отношением делимости.
Нарисовать диаграмму Хассе множества 3разбиений множества {1,2,3}.
Нарисовать диаграмму Хассе множества 4 разбиений множества {1,2,3,4}.
Нарисовать диаграмму Хассе произведения 3 [1].
Функция Мебиуса
Вычислить значения (0, x)непосредственно из определения функции Мебиуса
Вычислить значения функции Мебиуса для множества P({1,2, , n}), упорядоченного отношением.
Пусть a– произвольный элемент частично упорядоченного множества. Доказать, что. Найти значения функций Мебиуса для задачи 1 с помощью этой формулы.
Глава 6. Индивидуальные домашние задания
§6.1. Множества и отношения
Задача 1. Найти множество X, предполагая множества A, B и C известными.
Предполагается, что все множества являются подмножествами некоторого универсума U. При каких условиях заданное уравнение обладает по крайней мере одним решением?
Пример решения задачи 1.
Найти множество X, удовлетворяющее уравнению при заданныхA, B и C известными. Все множества являются подмножествами некоторого универсума U. При каких условиях заданное уравнение обладает по крайней мере одним решением?
Решение.
1 шаг. Уравнение равносильно следующему равенству
.
Пользуясь формулой , приходим к уравнению
С помощью правил де Моргана и соотношенияпреобразуем это уравнение к следующему
.
2 шаг. Обозначим операцию объединения знаком сложения, а операцию пересечения знаком умножения. Получим уравнение
Преобразуем его с помощью закона дистрибутивности (P+Q)R=PR+QR. Приходим к уравнению
Равенства иXX = X , вместе с соотношениями ,иприводят к уравнению
3 шаг. Полученное уравнение равносильно системе двух уравнений
Из первого уравнения получаем , а из второго. Эти соотношения приводят к соотношениям включения.
Ответ: , при условии.
Задача 2. Задано отношение R на множестве E = {1, 2, 3, 4, 5} с помощью матрицы (rij) , где
Представить данное отношение с помощью ориентированного графа, вершинами которого являются элементы множества E. Вершины i и j соединяются стрелкой, если .
Выписать матрицы, соответствующие отношениям
R-1 ,
RºR ,
R R-1 .
Является ли это отношение R
рефлексивным
иррефлексивным
симметричным
антисимметричным
транзитивным
отношением порядка
отношением эквивалентности
Варианты
1)
|
2)
|
3)
|
4)
|
5)
|
6)
|
7)
|
8)
|
9)
|
10)
|
11)
|
12)
|
13)
|
14)
|
15)
|
16)
|
17)
|
18)
|
19)
|
20)
|
21)
|
22)
|
23)
|
24)
|
25)
|
26)
|
27)
|
28)
|
29)
|
30)
|
31)
|
32)
|
33)
|
34)
|
35)
|
36)
|
Пример решения задачи 2.
Выполнить действия, указанные в условии задачи 2, если отношение R на множестве E = {1, 2, 3, 4, 5} задано с помощью матрицы
имеющей коэффициенты rij = 1 при (i,j)R, и rij = 0 в других случаях.
Решение.
Представим отношение с помощью ориентированного графа, с множеством вершин E={1, 2, 3, 4, 5}. Вершины i и j соединяются стрелкой, если .
Рис. 1. Ориентированный граф, соответствующий отношению R
Выпишем матрицы
R-1 = ,R R-1 = ,
RR ==
Ответим на вопросы:
Рефлексивность выполняется, поскольку rii=1 влечет (i,i)R, для всех iE.
Иррефлексивность не выполняется, так как существуют iE , для которых (i,i)R .
(например i=1).
Симметричность имеет место, ибо для всех i, j E выполнено rij= rji .
Антисимметричность не выполняется, так как (1,3)R и (3,1)R, но 13.
Транзитивность вытекает из RR R.
Отношение не является отношением порядка, ибо оно не антисимметрично.
Отношение является отношением эквивалентности, поскольку оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.