Теорема 3. Пусть X – конечное множество. Множество отношений эквивалентности на X является решеткой относительно включения.

Доказательство. Множество отношений эквивалентности является нижней полурешеткой, ибо точной нижней гранью отношений эквивалентностей будет их пересечение. Оно будет иметь наибольший элемент XX. Стало быть, оно будет решеткой, по лемме 1.

Замечание. Поскольку разбиения множества X взаимно однозначно соответствуют отношениям эквивалентности на X, то множество разбиений легко превратить в решетку. Отношение порядка между разбиениями определяется как имеющее место тогда и только тогда, когда верна импликация

Упражнение 1. Пусть (X,R) – конечное частично упорядоченное множество. Доказать, что множество отношений порядка R, упорядоченное отношением  , будет решеткой.

Функции. Функцией или отображением называется тройка, состоящая из множествA и b и подмножества fab (графика функции), удовлетворяющего следующим двум условиям

1. Для любого xA существует такой yf, что (x,y) f.

2. Если (x, y)f и (x, z) f, то y=z

Легко видеть, что fAB будет тогда и только определять функцию, когда для любого xA существует единственный yf, что (x,y) f. Этот y обозначим через f(x).

Функция называется инъекцией, если для любых xx’ имеет место f(x)f(x’). Функция называется сюръекцией, если для каждого yB существует такой xA, что f(x)=y. Если функция является инъекцией и сюръекцией, то она называется биекцией.

Теорема 4. Для того, чтобы функция была биекцией, необходимо и достаточно существования такой функции, чтоfg=Id_B и gf=Id_A.

Пусть - функция.Образом подмножества XA называется подмножество f(X) = {f(x): xX} B. Для YB подмножество f^-1(Y)={xA: f(x)Y} называется прообразом подмножества Y.

§1.5. Математическое моделирование баз данных

Первая нормальная форма файла. Записью называется конечная последовательность x= (x₁, , x_n) элементов x_iA_i , 1  i  n. Число n называется длиной записи. Для каждого i множество A_i называется доменом i-го атрибута, элемент x_i называется i-м атрибутом или i-й компонентой записи x.

Файлом мы будем называть конечную последовательность записей.

База данных состоит из файлов, связанных между собой некоторыми условиями.

Определение 1. (1nf) Файл находится в первой нормальной форме, если для него задано некоторое положительное целое число n и последовательность множеств (a1, , An) таких, что

• файл состоит из записей (x₁, , x_n) A₁ A_n

• среди этих записей (x₁, , x_n) A₁ A_n нет одинаковых

Пример 1. Записи файла расположим в таблице. В “шапке” таблицы будут выписаны имена, обозначающие домены атрибутов. Эти имена мы будем называть атрибутами.

ВУЗ	Номер зачетки	ФИО	Год поступления
АмГПГУ	10802	Иванов Павел Сергеевич	2010
КнАГТУ	10802	Петрова Галина Сергеевна	2010

Данная таблица содержит две записи. Эти записи отличаются значениями первого и третьего атрибутов. Стало быть, файл, состоящий из этих записей, находится в первой нормальной форме.

Замечание. Мы видим, что записи в файле являются в точности элементами декартового произведения доменов атрибутов. Если файл находится в первой нормальной форме, то он является упорядоченным набором различных записей. В то время как отношение является неупорядоченным набором этих записей.

Вторая нормальная форма. Рассмотрим файл, находящейся в первой нормальной форме. Его записи x=(x₁, , x_n)  A₁ A₂   A_n будут составлять некоторое отношение R  A₁ A₂   A_n . Файл будет состоять из всех элементов множества R.