- •Оглавление
- •Глава 1. Множества и отношения
- •§1.1. Способы задания множеств
- •§1.2. Операции
- •§1.3. Перечисление подмножеств
- •Замечание 1.
- •§1.4. Отношения и функции
- •Отношения и графы.
- •Операции над бинарными отношениями. Бинарным отношением между элементами множеств a и b называется произвольное подмножество r ab. Запись aRb (при a a, b b ) означает, что (a,b) r .
- •Обозначим IdA через Id.
- •Теорема 3. Пусть X – конечное множество. Множество отношений эквивалентности на X является решеткой относительно включения.
- •Функции. Функцией или отображением называется тройка, состоящая из множествA и b и подмножества fab (графика функции), удовлетворяющего следующим двум условиям
- •§1.5. Математическое моделирование баз данных
- •Определение 1. (1nf) Файл находится в первой нормальной форме, если для него задано некоторое положительное целое число n и последовательность множеств (a1, , An) таких, что
- •Определение 2.
- •Определение 3. (2nf) Файл с первичным ключом находится во второй нормальной форме, если он находится в первой нормальной форме, и для любого атрибут Ak функционально полно зависит от атрибутов .
- •Глава 2. Комбинаторика
- •§2.1. Размещения
- •§2.2. Сочетания
- •Треугольник Паскаля и бином Ньютона. Теорема 1. Число сочетаний удовлетворяет соотношениям:
- •Теорема 2. Число сочетаний из n по k равно .
- •Лемма 1. Пусть - число сочетаний с повторениями изn по k. Тогда равно числу неубывающих функций{1,2, , n-1} {0,1,2, , n}
- •Теорема 7. .
- •Следствие 1. Равно числу неубывающих функций {1,2, , k} {1,2, , n}.
- •§2.3. Формула включения и исключения Перечисление элементов объединения подмножеств Теорема 1. (Формула включения и исключения)
- •Теорема 2.
- •§2.4. Разбиения
- •Лемма 1.
- •Теорема 1.
- •Пример 2. Число s(4,2) равно 7, ибо все разбиения множества {1,2,3,4, 5, 6, 7} на два блока исчерпываются следующими:
- •Теорема 2. Имеют место следующие свойства чисел Стирлинга второго рода:
- •Теорема 3. ,n 0 .
- •§2.5. Упражнения
- •Упорядоченные разбиения
- •Формула включения и исключения
- •Неупорядоченные разбиения
- •Глава 3. Производящие функции
- •§3.1. Свойства производящих функций
- •Пример 1. Вычислим производящие функции некоторых последова-тельностей. С этой целью сначала вспомним формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии
- •§3.2. Разбиения чисел
- •Лемма 1. Число разбиений p(n) равно количеству решений
- •Замечание. Частное от деления любых двух многочленов является производящей функцией некоторой возвратной последовательности, порядок которой равен степени знаменателя.
- •§3.5. Упражнения Свойства производящих функций
- •Решение рекуррентных уравнений
- •Теорема 1. Граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда нечетную степень имеют не более двух вершин.
- •Пример 1. Закрытое письмо (см. Рис. 4.2) невозможно нарисовать не отрывая карандаш и проходя каждую линию ровно один раз, а открытое – можно.
- •§4.2. Простые графы и их свойства
- •Замечание. Теорема Эйлера имеет место и для графов, не являющихся простыми. §4.3. Хроматическое число графа
- •Теорема 1. Следующие свойства графа равносильны
- •Пример 2. Вычислим хроматическую функцию графа, состоящего из двух имеющих общую сторону треугольников
- •Теорема 3. Хроматическая функция f(q) конечного графа с n вершинами является многочленом степени n.
- •Число последовательностей из n-2 чисел принадлежащих множеству {1, 2, ∙ ∙ ∙, n} равно nn-2, значит число нумерованных деревьев равно nn-2.
- •Теорема 1. Числа Каталана равны .
- •§4.6. Плоские графы
- •Графы Куратовского. Далее мы рассмотрим следующие две задачи.
- •Следствие 1. Граф k5 не плоский.
- •Следствие 2. Граф k3,3 не плоский.
- •Лемма 2. Пусть (V,e) – плоский конечный граф. Тогда существует вершина VV такая, что d(V)5. Здесь d(V) – степень вершины V.
- •Теорема 4. Для плоского связного графа существует правильная раскраска вершин в 5 цветов.
- •Теорема 5. Пусть p – число вершин, q – число ребер, r – число граней правильного многогранника. Тогда возможен один из следующих случаев:
- •§4.7. Упражнения Свойства графов
- •Хроматическое число и хроматическая функция графа
- •Деревья
- •Глава 5. Конечные частично упорядоченные множества §5.1. Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества
- •Пример 1. На рис. 4. 8 показана диаграмма Хассе множества p({0,1,2}) подмножеств множества {0,1,2}, упорядоченное отношением .
- •§5.2. Функция Мебиуса
- •Определение 1. Функцией Мебиуса : XXz называется функция, определенная по формуле
- •§5.3. Формула обращения
- •§5.5. Упражения Диаграмма Хассе
- •Функция Мебиуса
- •Глава 6. Индивидуальные домашние задания
- •§6.1. Множества и отношения
- •§6.1. Комбинаторные объекты
- •Библиографический список
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное агентство по образованию
Федеральное государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Амурский гуманитарно-педагогический государственный университет»
А.А. Хусаинов
Дискретная математика
Комсомольск-на-Амуре 2010
Печатается по решению редакционно-издательского совета ФГОУ ВПО «Амурский гуманитарно-педагогический государственный университет»
ББК
Рецензенты: Одиноков В.И. доктор технических наук, профессор,
заведующий кафедрой прикладной математики и информа - тики ГОУ ВПО «КнАГТУ»
Дегтяренко В.А. кандидат физико-математических наук, доцент ФГОУ ВПО «АмГПГУ»
Хусаинов А.А. Дискретная математика: Учебное пособие. – Комсомольск-на-Амуре: Изд-во ФГОУ ВПО «АмГПГУ», 2010. – 70 с.
В пособии изложены основы дискретной математики: конечные множества и отношения, комбинаторный анализ, производящие функции и рекуррентные соотношения, деревья, хроматические функции графов, функции Мебиуса на конечных частично упорядоченных множествах.
Оглавление
Введение ………………………………………………………………………4
Глава 1. Множества и отношения ………………………………………….. 4
§1.1. Способы задания множеств ……………………………………..... 4
§1.2. Операции ……………………………………………………………5
§1.3. Перечисление подмножеств ……………………………………….5
§1.4. Отношения и функции ……………………………………………..5
§1.5. Математическое моделирование баз данных …………………...10
§1.6. Упражнения ……………………………………………………….12
Глава 2. Комбинаторика ……………………………………………………14
§2.1. Размещения ………………………………………………………..14
§2.2. Сочетания ………………………………………………………….17
§2.3. Формула включения и исключения ……………………………...20
§2.4. Разбиения ………………………………………………………….22
§2.5. Упражнения ……………………………………………………….24
Глава 3. Производящие функции ………………………………………….28
§3.1. Свойства производящих функций ………………………………28
§3.2. Разбиения чисел …………………………………………………..29
§3.3. Числа Фибоначчи …………………………………………………31
§3.4. Решение рекуррентных уравнений ……………………………....31
§3.5. Упражнения ……………………………………………………….33
Глава 4. Теория графов ……………………………………………………..34
§4.1. Эйлеровы графы …………………………………………………..34
§4.2. Простые графы и их свойства ……………………………………36
§4.3. Хроматическое число графа ……………………………………...36
§4.4. Деревья …………………………………………………………….37
§4.5. Числа Каталана ……………………………………………………39
§4.6. Плоские графы …………………………………………………….41
§4.7. Упражнения ……………………………………………………….45
Глава 5. Конечные частично упорядоченные множества ………………...49
§5.1. Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества ……….49
§5.2. Функция Мебиуса …………………………………………………50
§5.3. Формула обращения ………………………………………………51
§5.4. Теорема о произведении ………………………………………….52
§5.5. Упражнения ……………………………………………………….52
Глава 6. Индивидуальные домашние задания …………………………….54
§6.1. Множества и отношения ..………………………………………...54
§6.2. Комбинаторные объекты .…………………………………………59
Библиографический список ………………………………………………...69
Введение
Под математической моделью мы будем подразумевать множество с заданной на нем математической структурой. Например, математическими моделями являются группы, частично упорядоченные множества, топологические пространства.
Конечной математической моделью называется конечное множество, на котором задана математическая структура. Дискретная математика изучает конечные математические модели.
Наш курс состоит из разделов:
Множества и отношения
Комбинаторный анализ
Производящие функции
Теория графов
Частично упорядоченные множества
К каждой главе прилагается список несложных упражнений. Более сложные задачи читатель может найти в Более сложные задачи читатель может найти в [4] и [5]. Последняя глава посвящена индивидуальным домашним заданиям.
Глава 1. Множества и отношения
Эта глава посвящена множествам и отношениям. Ниже мы будем применять следующие стандартные обозначения:
N – множество неотрицательных целых чисел 0, 1, 2, 3, …
Z – множество целых чисел
Q – множество рациональных чисел , гдеm – целое число, а n – положительное целое число
R – множество вещественных чисел
C – множество комплексных чисел
Для знакомства с отношениями и их приложениями рекомендуем книгу [1]. Лучше всего описывается связь отношений с базами данных описана в [6].