Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
УП_ДМ2.doc
Скачиваний:
54
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
1.57 Mб
Скачать

74

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное агентство по образованию

Федеральное государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Амурский гуманитарно-педагогический государственный университет»

А.А. Хусаинов

Дискретная математика

Комсомольск-на-Амуре 2010

Печатается по решению редакционно-издательского совета ФГОУ ВПО «Амурский гуманитарно-педагогический государственный университет»

ББК

Рецензенты: Одиноков В.И. доктор технических наук, профессор,

заведующий кафедрой прикладной математики и информа - тики ГОУ ВПО «КнАГТУ»

Дегтяренко В.А. кандидат физико-математических наук, доцент ФГОУ ВПО «АмГПГУ»

Хусаинов А.А. Дискретная математика: Учебное пособие. – Комсомольск-на-Амуре: Изд-во ФГОУ ВПО «АмГПГУ», 2010. – 70 с.

В пособии изложены основы дискретной математики: конечные множества и отношения, комбинаторный анализ, производящие функции и рекуррентные соотношения, деревья, хроматические функции графов, функции Мебиуса на конечных частично упорядоченных множествах.

Оглавление

Введение ………………………………………………………………………4

Глава 1. Множества и отношения ………………………………………….. 4

§1.1. Способы задания множеств ……………………………………..... 4

§1.2. Операции ……………………………………………………………5

§1.3. Перечисление подмножеств ……………………………………….5

§1.4. Отношения и функции ……………………………………………..5

§1.5. Математическое моделирование баз данных …………………...10

§1.6. Упражнения ……………………………………………………….12

Глава 2. Комбинаторика ……………………………………………………14

§2.1. Размещения ………………………………………………………..14

§2.2. Сочетания ………………………………………………………….17

§2.3. Формула включения и исключения ……………………………...20

§2.4. Разбиения ………………………………………………………….22

§2.5. Упражнения ……………………………………………………….24

Глава 3. Производящие функции ………………………………………….28

§3.1. Свойства производящих функций ………………………………28

§3.2. Разбиения чисел …………………………………………………..29

§3.3. Числа Фибоначчи …………………………………………………31

§3.4. Решение рекуррентных уравнений ……………………………....31

§3.5. Упражнения ……………………………………………………….33

Глава 4. Теория графов ……………………………………………………..34

§4.1. Эйлеровы графы …………………………………………………..34

§4.2. Простые графы и их свойства ……………………………………36

§4.3. Хроматическое число графа ……………………………………...36

§4.4. Деревья …………………………………………………………….37

§4.5. Числа Каталана ……………………………………………………39

§4.6. Плоские графы …………………………………………………….41

§4.7. Упражнения ……………………………………………………….45

Глава 5. Конечные частично упорядоченные множества ………………...49

§5.1. Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества ……….49

§5.2. Функция Мебиуса …………………………………………………50

§5.3. Формула обращения ………………………………………………51

§5.4. Теорема о произведении ………………………………………….52

§5.5. Упражнения ……………………………………………………….52

Глава 6. Индивидуальные домашние задания …………………………….54

§6.1. Множества и отношения ..………………………………………...54

§6.2. Комбинаторные объекты .…………………………………………59

Библиографический список ………………………………………………...69

Введение

Под математической моделью мы будем подразумевать множество с заданной на нем математической структурой. Например, математическими моделями являются группы, частично упорядоченные множества, топологические пространства.

Конечной математической моделью называется конечное множество, на котором задана математическая структура. Дискретная математика изучает конечные математические модели.

Наш курс состоит из разделов:

  1. Множества и отношения

  2. Комбинаторный анализ

  3. Производящие функции

  4. Теория графов

  5. Частично упорядоченные множества

К каждой главе прилагается список несложных упражнений. Более сложные задачи читатель может найти в Более сложные задачи читатель может найти в [4] и [5]. Последняя глава посвящена индивидуальным домашним заданиям.

Глава 1. Множества и отношения

Эта глава посвящена множествам и отношениям. Ниже мы будем применять следующие стандартные обозначения:

  • N – множество неотрицательных целых чисел 0, 1, 2, 3, …

  • Z – множество целых чисел

  • Q – множество рациональных чисел , гдеm – целое число, а n – положительное целое число

  • R – множество вещественных чисел

  • C – множество комплексных чисел

Для знакомства с отношениями и их приложениями рекомендуем книгу [1]. Лучше всего описывается связь отношений с базами данных описана в [6].