Теорема 3. ,n  0 .

Доказательство. Множество разбиений X={1,2, , n+1} состоит из классов, зависящих от блока A содержащего n+1. Для таких A будет справедливо включение X\A {1, 2, , n}. Отсюда каждое разбиение можно получить, выбрав блок A  n+1 и разбиение (X\A). Выбор блока A с |A|=k+1, будет осуществляться выбором подмножества из {1,2,  ,n}, состоящего из k элементов. Следовательно, .

§2.5. Упражнения

Размещения

1. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг

из материалов семи цветов. Одна из полос должна быть красной.

Ответ: 7³  6³.

2. Скольким способами можно раскрасить 4 полосы флага в 7 цветов, так, чтобы по крайней мере две полосы имели одинаковый цвет?

Ответ: .

3. Скольким способами можно раскрасить 4 полосы флага в 7 цветов, так, чтобы рядом находящиеся полосы имели различные цвета?

Ответ: 7∙ 6³.

4. Сколько перестановок : {1,2, ∙∙∙, 5}  {1,2, ∙∙∙, 5} удовлетворяют условию (1)2 ?

5. В соревновании принимают участие 8 спортсменов. Сколь­кими способами могут быть разделены медали (золотые, се­ребряные и бронзовые?)

6. Найти число функций {1,2,3}{1,2,3,4,5}.

7. Найти число инъекций {1,2,3}{1,2,3,4,5}.

8. Сколько чисел между 1000 и 10000 состоят из различных цифр?

9. Сколько семизначных чисел (не начинающихся с 0) состоят из различных цифр?

Сочетания

10. Доказать тождества непосредственно из определения числа

(1) ,

(2) ,

(3) .

11. Из содержащей 52 карты колоды вынимают 10 карт. Какова вероятность, что среди них окажется

(1) хотя бы один туз? Ответ:

(2) ровно один туз? Ответ:

(3) не менее двух тузов? Ответ:

(4) ровно два туза? Ответ:

12. Из содержащей 52 карты колоды вынимают 10 карт. Какова вероятность, что среди них окажется

(1) 4 туза, 2 короля, 3 дамы;

(2) 2 туза, 2 короля, 2 дамы;

(3) 1 туз, 1 королm, 2 дамы, 3 десятки;

(4) 4 туза, 4 короля, 2 дамы;

(5) 2 туза, 3 короля, 1 дама, 1 десятка;

(6) 3 туза, 2 короля, 4 дамы;

13. Разложением числа m называется конечная последовательность (x₁, x₂, , x_n) неотрицательных целых чисел, таких что x₁+ x₂+  + x_n = m. Сколько разложений числа 19 состоит лишь из чисел 2 и 3 ?

Указание. Если в разложении p двоек и q троек, то 2p + 3q = 19. Отсюда получаем следующие варианты разложения:

p=2	q=5	число разложений
p=5	q=3	число разложений
p=8	q=1	число разложений

Ответ: .

14. Сколько разложений числа 12 состоит из чисел 2 и 3 ?

Ответ: = 12.

15. Сколькими способами можно разложить число 1024 в произведение трех натуральных чисел, каждое из которых больше 1 ?

Указание. Это число решений уравнения x₁+ x₂,+ x₃ = 10, где x_i >0.

Ответ: = 36.

16. Сколько существует на плоскости непрерывных путей из точки (0,0) в точку (n,n) NN, состоящих из направленных отрезков, вектора которых равны (1,0) или (0,1) ?

17. Найти число непрерывных путей в декартовой плоскости, соединяющих точку (0,0) с точкой (m,n) NN, проходящих через точку (p,q) и состоящих из направленных отрезков, вектора которых равны (1,0) или (0,1) ?

18. Найти число решений уравнения x₁+ x₂+ x₃+ x₄ + x₅ = 20 , где x_i > 0.

19. Найти число решений уравнения x₁+ x₂+ x₃+ x₄ + x₅ = 15 , где x_i  0.

20. Найти число возрастающих функций {1,2,3,4,5}{1,2,3,4,5,6,7}.

21. Найти число неубывающих сюръекций {1,2,3,4,5,6,7}{1,2,3,4,5}.

22. Найти число неубывающих функций {1,2,3,4,5}{1,2,3,4,5}.

23. Найти количество десятичных неотрицательных целых чисел, состоящих из  n цифр, расположенных в неубывающем порядке (цифра 0 не допускается первой для ненулевых чисел). Например, при n=2, такие числа будут равны

0

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 22, 23, ∙ ∙ ∙ , 89, 99.

Ответ: = 36.

24. Найти количество десятичных неотрицательных целых чисел, состоящих цифр, расположенных в возрастающем порядке.

Ответ:

25. Найти количество неотрицательных целых чисел, десятичная запись которых состоит из n разрядов и содержит все цифры, расположенные в невозрастающем порядке.

Ответ: .

26. Какое количество mn–матриц можно составить из неотрицательных целых чисел a_ij  0 , таких что  a_ij = k.

Ответ: .