Упорядоченные разбиения
Десять человек разбились на 5 групп по 2 человека в каждой. Скольким способами это можно сделать?
Указание. Упорядоченных разбиений 10!/(2!2!2!2!2!), при перестанов ках групп получаются одинаковые разбиения, отсюда искомое число = 10!/(2!2!2!2!2!)/5! = 13579 = 945.
В группе 20 студентов. Одному человеку положено выдать надбавку к стипендии в размере 1000 рублей. Двум – по 500, трем по 300. Сколькими способами это можно сделать?
Сколько существует шашечных позиций, состоящих из 10 белых и 10 черных шашек?
Сколько различных слов можно составить из букв слова МАТЕМАТИКА.
Оценить сверху число шахматных позиций, содержащих все фигуры и пешки?
В урне находится k шаров. Каждый шар может иметь либо белый, либо черный, либо красный цвет. Какова вероятность того, что один шар белый, один – черный ? (А остальные красные.)
Ответ:
k(k-1)/3k.
Найти коэффициент при
в разложении степени
в
сумму однородных одночленов.Найти (x1 + x2 + x3)4.
Сколько путей, составленных из направленных отрезков единичной длины существует в трехмерной решетке из (0,0,0) в (p,q,r). Вектора отрезков равны (1,0,0) , (0,1,0), (0,0,1).
Формула включения и исключения
Сколько чисел из принадлежащих множеству {1, 2, , 1000} не делится ни на 10, ни на 12, ни на 9?
Группа из 20 студентов сдает зачеты по математике, физике и информатике. Множество студентов, сдавших математику и физику совпадает с множеством студентов, сдавших математику и информатику, и совпадает с множеством студентов, сдавших физику и информатику. Каждый студент сдал по крайней мере один зачет. Найти число студентов, сдавших все зачеты, если математику сдали 15, физику – 16, информатику – 17.
Неупорядоченные разбиения
Найти число разбиений множества {1,2,3,4,5,6,7} на 3 блока.
Найти число разбиений множества, состоящего из 8 элементов.
Найти число сюръекций {1,2,3,4,5,6,7}{1,2,3,4}.
Вывести формулу для числа сюръекций {1, 2, , m}{1, 2, , n} с помощью формулы включения и исключения для подсчета числа несюръективных отображений |U1 Un| , где Ui –множество отображений, образ которых не содержит элемент i.
Глава 3. Производящие функции
Пусть
{ak}
– последовательность чисел, где
k0
пробегают неотрицательные целые
значения. Производящей функцией a(x)
последовательности {ak}
называется сумма ряда
.
Иногда сумма берется по всем натуральнымk1.
Это происходит в случаях, когда число
a0
не определено.
Например,
производящая функция для последовательности
(где
приk>n),
будет равна
.
Имеет место обобщение бинома Ньютона
.
Производящие функции применяются для решения рекуррентных уравнений, возникающих при анализе алгоритмов [2]. Для знакомства с решением рекуррентных уравнений рекомендуем небольшую книгу Маркушевича [8]. Для дальнейшего изучения – книги [10] и [12].
§3.1. Свойства производящих функций
Степенные ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать внутри круга сходимости. В частности, дифференцируя бином Ньютона, получаем
,
.
Пример 1. Вычислим производящие функции некоторых последова-тельностей. С этой целью сначала вспомним формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии
.
С
помощью этой формулы найдем производящую
функцию для последовательности an=1,
которая будет равна
. Почленное дифференцирование полученного
равенства
1
+ x
+ x2
+
+ xn
+
=
.
приводит к производящей функции для последовательности an=n+1:
1
+ 2x
+ 3x2
+
+(n+1)xn
+
=
.
Почленное
интегрирование приводит к производящей
функции последовательности
x
+
+
+
+
=
=
ln(1x)
Имеют место следующие свойства производящих функций:
1) Сумме последовательностей соответствует сумма производящих функций;
2) Производящая функция последовательности
cn = a0 bn + a1 bn-1 + + an b0
равна произведению производящих функций последовательностей {an }и {bn}.