§3.2. Разбиения чисел
Разбиением натурального числа n на k слагаемых называется класс эквивалентности последовательностей таких положительных натуральных чисел ( b1, b2, , bk ), что
n = b1 + b2 + + bk , k>0, b1, b2, , bk > 0.
Две последовательности считаются эквивалентными, если они отличаются перестановкой элементов bi . Каждый класс эквивалентности можно представить единственным образом как такую невозрастающую последовательность
a1 a2 ak ,
что
a1+
a2,
+
+ ak
= n.
Пусть P(n,k)
– число разбиений n
на k
слагаемых. Тогда число всех разбиений
равно
,n>0.
Полагаем по определению P(0)=P(0,0)=1.
Пример 1. P(5)=7 :
5 = 5,
5 = 4+1,
5 = 3+2 ,
5 = 3+1+1 ,
5 = 2+2+1 ,
5 = 2+1+1+1 ,
5 = 1+1+1+1+1 .
Диаграмма Ферреса для n = a1 + a2 + + ak состоит из k строк, в i-строке содержащих ai точек. Например для Например, для 5 = 2 + 2 + 1 диаграмма Ферреса показана на рисунке 3.1. На этом рисунке показана также сопряженная диаграмма Ферреса.
|
|
|
Рис. 3.1. Диаграммы Ферреса
Лемма 1. Число разбиений p(n) равно количеству решений
(1 , 2 , , n )
уравнения 1 1 + 2 2 + + n n = n .
Доказательство. Если среди чисел a1 a2 ak разбиения числа n имеется 1 единиц , 2 двоек , , n n-ок , то получаем решение уравнения. Ясно, что это соответствие взаимно однозначно.
Обозначим через Ph(n) количество разбиений числа n на слагаемые, не большие чем h .
Теорема
1.
Производящая функция последовательности
чисел разбиений Ph(0),
Ph
(1), Ph
(2),
равна
.
Доказательство. Произведение равно
(1+x+x2+ )(1+x2+x4+ )(1+ x3+ x6+ ) (1+ xh + x2h + )
Если
перемножить содержимое скобок, то
получим многочлен, равный
.
Отсюда коэффициент при xn
равен числу последовательностей (1
, 2
,
, h
),
для которых 1 1 + 2 2 + + h h = n. Он будет равен числу разбиений n на слагаемые, не большие чем h.
Следствие
1.
Производящая функция последовательности
чисел разбиений P(0),
P(1),
P(2),
равна
.
§3.3. Числа Фибоначчи
Вычислим производящую функцию F(x) чисел Фибоначчи F0 = F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn-1 при n 1. Имеют место соотношения:
Приходим
к уравнению F(x)=1
+ x
+ x2
+
x(F(x)-1)
для
.
Решая это уравнение, получаем
, для некоторыхA,
B,
при
,
.
Отсюда мы видим, что рядF(x)
равен сумме геометрических прогрессий.
Находим
,
. Следовательно,
.
Отсюда получаем формулу для вычисленияk–го
числа Фибоначчи,
,
для всехk
= 0, 1, 2, ∙ ∙ ∙
.
§3.4. Рекуррентные соотношения
Рассмотрим обобщение последовательностей Фибоначчи. Формула
un + r = c1 un + r – 1 + c2 un + r – 2 + ∙ ∙ ∙ + cr un
называется однородным линейным рекуррентным уравнением порядка r.
Ее решением является последовательность {un}, однозначно определенная начальными значениями u0, u1, u2, ∙ ∙ ∙ , ur –1 . Решение такого уравнения называется возвратной или рекуррентной последовательностью порядка r.
Пример 1. Геометрическая прогрессия является решением уравнения un+1=qun . Ее члены описываются формулой un= u0qn . Отсюда геометрическая прогрессия является возвратной последовательностью порядка 1.
Пример 2. Арифметическая прогрессия un = u0 + nd удовлетворяет соотношению un+1 un = un+2 un+1 . Получаем однородное рекуррентное уравнение un+2 = 2un+1 un . Начальные данные задаются значениями u0 и u1=u0+d. Отсюда арифметическая прогрессия является возвратной последовательностью порядка 2.
Пример 3. Произвольная периодическая последовательность является возвратной последовательностью порядка p, удовлетворяющей рекуррентному соотношению un + p=un . Здесь p – период последовательности.
Для заданного рекуррентного уравнения
un + r = c1 un + r – 1 + c2 un + r – 2 + ∙ ∙ ∙ + cr un
найдем
производящую функцию
возвратной последовательности {un
}. Обозначим K(x)=1
c1x
c2x2
∙ ∙ ∙
crxr.
Теорема 1. Произведение u(x)K(x) = D(x) является многочленом степени < r.
Доказательство. Вычислим коэффициент ряда D(x) при xn+ r . Он при n ≥ 0 будет равен un + r (c1 un + r – 1 + c2 un + r – 2 + ∙ ∙ ∙ + cr un) = 0. Отсюда D(x) – многочлен степени < n .