- •Оглавление
- •Глава 1. Множества и отношения
- •§1.1. Способы задания множеств
- •§1.2. Операции
- •§1.3. Перечисление подмножеств
- •Замечание 1.
- •§1.4. Отношения и функции
- •Отношения и графы.
- •Операции над бинарными отношениями. Бинарным отношением между элементами множеств a и b называется произвольное подмножество r ab. Запись aRb (при a a, b b ) означает, что (a,b) r .
- •Обозначим IdA через Id.
- •Теорема 3. Пусть X – конечное множество. Множество отношений эквивалентности на X является решеткой относительно включения.
- •Функции. Функцией или отображением называется тройка, состоящая из множествA и b и подмножества fab (графика функции), удовлетворяющего следующим двум условиям
- •§1.5. Математическое моделирование баз данных
- •Определение 1. (1nf) Файл находится в первой нормальной форме, если для него задано некоторое положительное целое число n и последовательность множеств (a1, , An) таких, что
- •Определение 2.
- •Определение 3. (2nf) Файл с первичным ключом находится во второй нормальной форме, если он находится в первой нормальной форме, и для любого атрибут Ak функционально полно зависит от атрибутов .
- •Глава 2. Комбинаторика
- •§2.1. Размещения
- •§2.2. Сочетания
- •Треугольник Паскаля и бином Ньютона. Теорема 1. Число сочетаний удовлетворяет соотношениям:
- •Теорема 2. Число сочетаний из n по k равно .
- •Лемма 1. Пусть - число сочетаний с повторениями изn по k. Тогда равно числу неубывающих функций{1,2, , n-1} {0,1,2, , n}
- •Теорема 7. .
- •Следствие 1. Равно числу неубывающих функций {1,2, , k} {1,2, , n}.
- •§2.3. Формула включения и исключения Перечисление элементов объединения подмножеств Теорема 1. (Формула включения и исключения)
- •Теорема 2.
- •§2.4. Разбиения
- •Лемма 1.
- •Теорема 1.
- •Пример 2. Число s(4,2) равно 7, ибо все разбиения множества {1,2,3,4, 5, 6, 7} на два блока исчерпываются следующими:
- •Теорема 2. Имеют место следующие свойства чисел Стирлинга второго рода:
- •Теорема 3. ,n 0 .
- •§2.5. Упражнения
- •Упорядоченные разбиения
- •Формула включения и исключения
- •Неупорядоченные разбиения
- •Глава 3. Производящие функции
- •§3.1. Свойства производящих функций
- •Пример 1. Вычислим производящие функции некоторых последова-тельностей. С этой целью сначала вспомним формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии
- •§3.2. Разбиения чисел
- •Лемма 1. Число разбиений p(n) равно количеству решений
- •Замечание. Частное от деления любых двух многочленов является производящей функцией некоторой возвратной последовательности, порядок которой равен степени знаменателя.
- •§3.5. Упражнения Свойства производящих функций
- •Решение рекуррентных уравнений
- •Теорема 1. Граф является эйлеровым тогда и только тогда, когда нечетную степень имеют не более двух вершин.
- •Пример 1. Закрытое письмо (см. Рис. 4.2) невозможно нарисовать не отрывая карандаш и проходя каждую линию ровно один раз, а открытое – можно.
- •§4.2. Простые графы и их свойства
- •Замечание. Теорема Эйлера имеет место и для графов, не являющихся простыми. §4.3. Хроматическое число графа
- •Теорема 1. Следующие свойства графа равносильны
- •Пример 2. Вычислим хроматическую функцию графа, состоящего из двух имеющих общую сторону треугольников
- •Теорема 3. Хроматическая функция f(q) конечного графа с n вершинами является многочленом степени n.
- •Число последовательностей из n-2 чисел принадлежащих множеству {1, 2, ∙ ∙ ∙, n} равно nn-2, значит число нумерованных деревьев равно nn-2.
- •Теорема 1. Числа Каталана равны .
- •§4.6. Плоские графы
- •Графы Куратовского. Далее мы рассмотрим следующие две задачи.
- •Следствие 1. Граф k5 не плоский.
- •Следствие 2. Граф k3,3 не плоский.
- •Лемма 2. Пусть (V,e) – плоский конечный граф. Тогда существует вершина VV такая, что d(V)5. Здесь d(V) – степень вершины V.
- •Теорема 4. Для плоского связного графа существует правильная раскраска вершин в 5 цветов.
- •Теорема 5. Пусть p – число вершин, q – число ребер, r – число граней правильного многогранника. Тогда возможен один из следующих случаев:
- •§4.7. Упражнения Свойства графов
- •Хроматическое число и хроматическая функция графа
- •Деревья
- •Глава 5. Конечные частично упорядоченные множества §5.1. Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества
- •Пример 1. На рис. 4. 8 показана диаграмма Хассе множества p({0,1,2}) подмножеств множества {0,1,2}, упорядоченное отношением .
- •§5.2. Функция Мебиуса
- •Определение 1. Функцией Мебиуса : XXz называется функция, определенная по формуле
- •§5.3. Формула обращения
- •§5.5. Упражения Диаграмма Хассе
- •Функция Мебиуса
- •Глава 6. Индивидуальные домашние задания
- •§6.1. Множества и отношения
- •§6.1. Комбинаторные объекты
- •Библиографический список
Пример 1. На рис. 4. 8 показана диаграмма Хассе множества p({0,1,2}) подмножеств множества {0,1,2}, упорядоченное отношением .
Рис. 4.8. Диаграмма Хассе множества подмножеств
Предполагаются, что ребра направлены сверху вниз.
Пример 2. Для целого неотрицательного числа n0 будем обозначать через [n] множество {0, 1, ∙ ∙ ∙, n}, с отношением 0 < 1< ∙ ∙ ∙ < n. Его диаграммой Хассе будет ориентированный граф
Частично упорядоченные множества (X, ) и (Y, ) называются изоморфными, если существуют неубывающие отображения f: XY и g: YX такие, что f(g(y))=y и g(f(x))=x (xX, yY).
В этом случае f называется изоморфизмом, а g – обратным отображением для f.
Рассмотрим множество делителей (Dn, | ) натурального числа n1, упорядоченное отношением делимости a | b a – делитель числа b (в этом случае говорят, что a – делит b).
Пример 3. Пусть p и q – различные простые числа >1. Диаграмма Хассе множества ( Dn, | ) с n=p2q показана на рисунке
Рис. 4.9. Диаграмма Хассе множества делителей
В общем случае диаграмма Хассе частично упорядоченного множества (Dn ,| ) состоит из ребер m-мерного параллелепипеда, где m – число различных простых делителей числа n.
Теорема 1. Пусть n>0 – положительное натуральное число, n = его разложение в произведение попарно не равных простых множителей pi>1. Тогда частично упорядоченное множество ( Dn , | ) будет изоморфно декартовому произведению [1] [2] [m] линейно упорядоченных множеств.
Доказательство. Каждый делитель числа n = будет равен числу , для некоторых 011, 022 , , 0mm . Изоморфизм определяется как отображение, ставящее в соответствие числу элемент (1, 2, , m).
§5.2. Функция Мебиуса
Пусть (X, ) – конечное частично упорядоченное множество. Рассмотрим последовательность функций Pn: XX Z , определенных при n=0 и n=1 по формулам:
А при n≥2:
Pn(x,y) = |{( x1 , x2 , , xn-1) : x< x1 < x2 < < xn-1 <y}|.
Определение 1. Функцией Мебиуса : XXz называется функция, определенная по формуле
.
Определение 2. Пусть X={ x1 , x2 , , xn} – конечное частично упорядоченное множество, матрицей смежности называется матрица A, имеющая коэффициенты
Лемма 1. Пусть X={ x1 , x2 , , xn} – конечное частично упорядоченное множество, A – матрица смежности. Тогда матрица M, коэффициенты которой равны значениям (xi, xj), будет обратной к матрице A.
Доказательство. Пусть Id – единичная матрица. Положим Q=AId. Тогда A=Id+Q. Откуда
A-1 = Id Q + Q2 Q3 + = .
Легко видеть, что коэффициенты матрицы Qk равны Pk(xi,xj) , откуда , в силу . Что и требовалось доказать.
Пример 1. X=[n].
Отсюда получаем (i,i)=1, (i,i+1)=1. Остальные значения функции Мебиуса равны 0.
§5.3. Формула обращения
Теорема 1. Пусть (X, ) – конечное частично упорядоченное множество. Тогда для любых функций f, g: X R равносильны следующие свойства
(1) ;
(2) .
Доказательство. Пусть A – матрица смежности частично упорядоченного множества (X, ). Тогда выполнение равенства (1) равносильно соотношениям g(xi)= j aij f(xj) . Поскольку это равносильно равенству g=Af, эквивалентного равенству f=A-1g , то получаем, что (1) верно тогда и только тогда, когда верно (2).
Рассматривая частично упорядоченное множество с двойственным отношением порядка, получаем следующую теорему:
Теорема 2. Пусть (X, ) – конечное частично упорядоченное множество. Тогда для любых функций f, g: X R равносильны следующие свойства
(1) ;
(2) .
§5.4. Теорема о произведении
Теорема 1. Пусть (X,) и (Y,) – конечные частично упорядоченные множества, X: XX Z и Y: YY Z – их функции Мебиуса. Тогда, для любых x1, x2 X и y1, y2 Y имеет место равенство
XY ( (x1, y1) , (x2 , y2 ) ) = X (x1, x2) Y (y1, y2).
Доказательство. Введем дзета-функцию X : XX Z, с помощью формулы X ( x1, x2 ) = 1 x1 x2 . Достаточно доказать формулу
,
где a,b – символ Кронекера. Вычислим левую часть доказываемой формулы
Получили, что она равна правой части. Что и требовалось доказать.
Пример 1. Вычислим в частично упорядоченном множестве делителей числаn ≥ 1. По доказанной теореме, в случае разложения n =в произведение степеней различных простых чиселpi>1, будет иметь место соотношение. Поскольку
то имеем
(1,n) = 0, если существует i такой, что i >1 ,
(1,n) =(1)m, если n = p1p2 pm .