Определение 2.

• Атрибут A_k функционально зависит от множества атрибутов ,если для любых элементов x, y R  A₁  A₂    A_n из равенства их компонент следует равенство.

• Если атрибут A_k функционально зависит от множества атрибутов ,но не зависит функционально ни от какого строго содержащегося в нем подмножества , то A_k называется функционально полно зависящим от множества атрибутов .

• Множество атрибутов называется ключом записи файла, если для всех k{1, 2, , n} атрибуты A_k функционально зависят от . Во множестве всех ключей можно отметить некоторые ключи. Эти ключи называются выделенными. Остальные – не выделенными.

• Первичным ключом называется произвольный выделенный ключ. Ключ, не являющийся первичным, называется возможным.

Определение 3. (2nf) Файл с первичным ключом находится во второй нормальной форме, если он находится в первой нормальной форме, и для любого атрибут Ak функционально полно зависит от атрибутов .

Поскольку множество записей для файла в первой нормальной форме совпадает с отношением, определенном этим файлом, то можно говорить о второй нормальной форме отношения.

Пример 2. В приведенной выше таблице определим первичный ключ как множество атрибутов {ВУЗ, Номер зачетки}. Год поступления зависит от номера зачетки. Поэтому зависимость года поступления от первичного ключа не является функционально полной. Стало быть, файл не находится во второй нормальной форме. Разобьем этот файл на два файла, находящиеся во второй нормальной форме. Первый файл не будет содержать года поступления

ВУЗ	Номер зачетки	ФИО
АмГПГУ	10802	Иванов Павел Сергеевич
КнАГТУ	10802	Петрова Галина Сергеевна

Второй содержит номер зачетки и год поступления. Он состоит из одной записи

Номер зачетки	Год поступления
10802	2010

Третья нормальная форма

Определение 4. Атрибут A_k транзитивно зависит от множества атрибутов ,если существует множество, состоящее из атрибутов ,каждый из которых функционально зависит от ,такое, что A_k функционально зависит от .

Определение 5. (3NF) Файл с первичным ключом находится в третьей нормальной форме, если он находится в первой нормальной форме, и для любого функциональная зависимость атрибута A_k от атрибутов не является транзитивной.

Произвольный ключ отношения можно выделить как первичный. Если с помощью выделения любого ключа как первичного мы получаем отношение, находящееся в третьей нормальной форме, то заданное отношение называется находящимся в нормальной форме Бойса-Кодда. В частности, отношение будет находиться в нормальной форме Бойса-Кодда, если оно допускает единственный ключ.

§1.6. Упражнения

1. Задано подмножество AÍU. Найти все подмножества XÍU, для которых A ÇX= .

2. Решить систему уравнений

Ответ: , при условии .

3. Решить уравнения

(1)

(2)

(3)

(4)

4. Пусть - множество всех функций B® A. Установить биекции между множествами

(1) A ´ B и B ´ A;

(2) (A ´ B)^С и A^C ´ B^C;

(3) (A^B)^C и A^B´C;

(4) A^BÈC и A^B ´ A^C, если B Ç C = Æ.

5. Построить бинарное отношение

(1) рефлексивное, симметричное, не транзитивное

(2) рефлексивное, антисимметричное, не транзитивное

(3) рефлексивное, транзитивное, не симметричное;

(4) антисимметричное, транзитивное, не рефлексивное.

6. Доказать, что пересечение семейства отношений эквивалентности на заданном множестве является отношением эквивалентности.

7. Построить пример частично упорядоченного множества, имеющего ровно один минимальный элемент, но не имеющего наименьшего элемента.

8. Доказать, что если R – отношение порядка, то R^-1 – отношение порядка.

9. Доказать, что пересечение отношений порядка является отношением порядка. Всегда ли объединение отношений порядка является отношением порядка?

10. Найти число рефлексивных отношений на множестве из n элементов.

11. Найти число симметричных отношений на множестве из n элементов.

12. Будет ли множество функций X  R решеткой относительно отношения порядка

fg  f(a) g(a) ?

13. Сколько подмножеств множества A={1,2,∙∙∙,300} содержат по крайней мере одно число кратное 5, и ни одного – кратного 10.

14. Сколько подмножеств множества A={1,2,∙∙∙,300} не содержат ни чисел кратных 4, ни чисел кратных 6?

15. Сколько подмножеств множества A={1,2,∙∙∙,300} состоят из чисел кратных 4, но не содержат чисел кратных 6?

16. Сколько подмножеств множества A={1,2,∙∙∙,300} состоят из чисел кратных 4 и, сверх того, содержат по крайней мере одно число кратное 6 ?