Хроматическое число и хроматическая функция графа

18. Вершинами графа перестановокявляются перестановкиnчисел {1, 2, 3,,n}. Вершины, отличающиеся транспозицией, содединяются ребрами. Будет ли граф перестановок плоским приn≥3? Найти хроматическое число графа перестановок чисел {1, 2, 3,,n}.

19. Булев куб B_nразмерностиnсостоит из вершин (₁ ,₂ ,,_n ),_i {0, 1}, где две вершины смежны если они отличаются одной компонентой_i . Найти хроматическое число графаB_n .

20. Найти хроматическую функцию графа A_n:

21. Найти хроматическую функцию полного графа K_n.

22. Найти хроматический многочлен графа, изображением которого является буква ‘A’.

23. Найти хроматический многочлен графа C₅.

Ответ: f(q) =q⁵– 5q⁴+ 10q³– 10q²+ 4q

24. Найти хроматические многочлены и хроматические числа графов

25. Соседние области флага имеют различные цвета. Сколькими способами можно раскрасить в семь цветов изображенный ниже флаг?

26. Соседние области флага должны иметь различные цвета. Сколькими способами можно раскрасить в qцветов флаг:

27. Найти число раскрасок граней куба, при которых соседние грани имеют

различные цвета. Число цветов не превосходит 7.

28. Построить рекуррентное соотношение для хроматических многочленов и найти эти многочлены.

29. Найти хроматическое число графа, полученного удалением одного ребра из полного графа K_n . Двух ребер. Трех ребер, составляющих треугольник.

Ответ: n-1, n-1, n-2.

Деревья

30. Является ли дерево двудольным графом?

31. Код Прюфера нумерованного дерева с n вершинами состоит из последовательности n-2 чисел, принимающих значения от 1 до n. Упаковка. Код Прюфера нумерованного дерева с n вершинами строится следующим образом. В цикле находится висячая вершина с наименьшим номером. Номер вершины смежной с найденной записывается в последовательность. Цикл повторяется n2 раза. Распаковка. Выписываем множество B={1, 2, 3, ∙ ∙ ∙, n}, где n = длина кода+2. Устанавливаем начальное множество ребер дерева T= . Далее выполняются действия:

for (i=1; i<n1; i++)

{

b= min { kB: ka_j  j ≥ i} ;

добавить к T ребро {b,a_i} ;

B = B \ {b} ;

}

Распаковать и упаковать следующие коды:

1. 4445577

2. 24446

3. 77321

4. 12579213

32. Найти число максимальных поддеревьев графа K₄ .

33. Найти все максимальные поддеревья графа, полученного удалением одного ребра из графа K₄ . Результат должен быть следующим:

Глава 5. Конечные частично упорядоченные множества §5.1. Диаграмма Хассе частично упорядоченного множества

Напомним, что ориентированным графом называется пара (V,A), состоящая из множества V и подмножества AVV. Элементы из A называются стрелками, а из V – вершинами. Для стрелки (u,v) вершина u называется началом, а из v – концом.

Пусть (X,) – частично упорядоченное множество. Множество ]x,y[ = {vX: x<v<y} называется открытым интервалом с концами x и y.

Диаграммой Хассе называется ориентированный граф (V,A) с V=X и A={(u,v): u<v и ]u,v[ = }.