Замечание. Частное от деления любых двух многочленов является производящей функцией некоторой возвратной последовательности, порядок которой равен степени знаменателя.

Пример 4. Применим доказанную теорему к решению рекуррентного уравнения u_n+2 = 5 u_n+1  6 u_n , при начальных условиях u₀ = u₁ = 1. Здесь K(x)=1  5x + 6x² . Вычислим D(x) = K(x)u(x) = (15x+6x²)(u₀ + u₁x + ∙ ∙ ∙ ) = 14x . Получаем . Следующий шаг – разложение знаменателяK(x) в произведение (1  ₁x) (1 ₂x). В данном случае это можно сделать с помощью формулы Виета. Поскольку

₁ + ₂ = 5, ₁ ₂ = 6,

то ₁ и ₂  корни квадратного уравнения ²  5  +6 =0, и  . Приходим к формуле

.

Теперь найдем разложение в сумму простых дробей методом неопределенных коэффициентов . Получим систему линейных уравненийA+B =1, 3A+2B=4. Ее решение A=2, B= 1. Отсюда . Это приводит к ответуu_n = 2ⁿ⁺¹3ⁿ .

В общем случае числа _I в разложении K(x) = (1  ₁x) (1 ₂x) ∙ ∙ ∙ (1  _rx) являются корнями уравнения F()=^r c₁^{r 1}  ∙ ∙ ∙  c_r-1  c_r =0 , ибо K(x)= .

Если все корни уравнения F()=0 действительны и различны, то получаем

,

откуда _.

Это позволяет составить систему линейных уравнений для нахождения A_i с помощью известных значений u₀ , u₁ , ∙∙∙, u_r-1 . Если существуют кратные корни, то, пользуясь формулами для производных от геометрической прогрессии, можно доказать, что решение будет дополняться слагаемыми , где k – кратность корня _I .

§3.5. Упражнения Свойства производящих функций

1. Сколько делителей, включая само число и 1, имеет число 720?

2. Доказать, что n > 0 имеют место соотношения

(1) ;

(2) ;

3. Найти производящую функцию последовательности a_n = 10ⁿcos(2n).

4. Найти производящую функцию последовательности a_n = 10ⁿsin(2n).

5. Найти производящую функцию последовательности a_n = 10ⁿn.

6. Найти производящую функцию последовательности a_n = 10ⁿn.

7. Найти производящую функцию последовательности a_n = 10ⁿn(n+1).

8. Найти производящую функцию последовательности a_n = 10ⁿn² .

9. Найти производящую функцию последовательности a_n = 10ⁿ/(n+1).

10. Найти производящую функцию последовательности a_n = 10ⁿ/(n+1)(n+2).

11. Доказать рекуррентное соотношение для производящих функций последовательностей n^k

3. Найти производящие функции последовательностей a_n=n^k , при k = 1,2,3,4.

Решение рекуррентных уравнений

3. u_n+2 = u_n+1 + 2u_n , u₀ = 1, u₁ = 1 ;

4. u_n+2 = u_n+1 + 2u_n , u₀ = 0, u₁ = 1 ;

5. u_n+2 = 3u_n+1 – 2u_n , u₀ = 1, u₁ = 1 ;

6. u_n+2 = u_n+1 + 6u_n , u₀ = a, u₁ = b ;

7. u_n+2 – 4u_n+1 – 5u_n = 0, u₀ = 8, u₁ = 10 ;

Ответ: u_n = 7+3ⁿ

3. u_n+3 – 3u_n+2 +u_n+1– 3u_n = 0, u₀ = 1, u₁ = 3, u₂ = 8 ;

Ответ: u_2n= (93²ⁿ+(-1)ⁿ)/10, u_2n+1= (93²ⁿ⁺¹+3(-1)ⁿ)/10, n≥0.

3. u_n+3 + u_n+2 – u_n+1– u_n = 0, u₀ = 1, u₁ = 2, u₂ = 3 ;

Ответ: u_n=(-1)ⁿ(n-1)+2

3. u_n+2 – 4u_n+1 + 4u_n = 0, u₀ = a, u₁ = b ;

4. u_n+2 = 2u_n+1 – 2u_n , u₀ = 1, u₁ = 2 ;

Указание: Производящая функция последовательность u_n

u(x)=

Ответ:

3. u_n+3 = 3u_n+2 – 3u_n+1+ u_n , u₀ = 1, u₁ = 3, u₂ = 3 ;

Указание: Искать решение в виде u_n=A+Bn+Cn² .

3. u_n+3 = – 3u_n+2 – 3u_n+1– u_n , u₀ = 0, u₁ = 1, u₂ = –2 ;

4. u_n+2 = u_n+1 – u_n , u₀ = 1, u₁ = 9 ;

5. u_n+2 = 2u_n+1 – 4u_n , u₀ = 1, u₁ = 2 ;

Глава 4. Теория графов

Основатель теории графов – Леонардо Эйлер (1707 – 1783), крупней-ший математик 18 века. Эйлер работал в Санкт-Петербурге в 1725-1741 годах и в 1766-1783. История теория графов хорошо описана в [11]. По теории графов рекомендуем книги [3], [4], [7], [9], [13].

§4.1. Эйлеровы графы

Эйлер (1736) : Задача о Кенигсбергских мостах . На рисунке 4.1 изобра-жена часть реки Прейгель, находящейся в Кенигсберге, ныне - Калининграде. Буква Л обозначает левый берег, П – правый, А и Б – острова.

Требуется найти маршрут пешехода, проходящий через все мосты, через каждый мост пешеход должен пройти ровно один раз. Эйлер доказал, что эта задача не имеет решений.

Рис. 4.1. Схема мостов и соответствующий ей граф

Обобщим определение простого графа.

Определение 1. Графом называется тройка (V, E, ), состоящая из множеств V, E и функции : E P₂(V), сопоставляющей каждому eE неупорядоченную пару {u,v}. Элементы из E называются ребрами, элементы из V – вершинами. Если (e)={u,v} вершины u и v называются концами ребра e. В этом случае u и v называются смежными вершинами и инцидентными ребру e. Если концы ребра e равны, то ребро e называется петлей. Степенью вершины v называется число инцидентных ей ребер. Ребро, являющееся петлей, учитывается два раза. В частности, петля дает степень 2. Для графа, соответствующего схеме Кенигсбергских мостов, степени вершин равны 3, 3, 3 и 5. Путем в графе называется последовательность вершин и ребер v₀₁v₁₂v₂ ∙∙∙ v_n-1_nv_n , таких что v_i и v_i+1 инцидентны ребрам _i+1 , для всех i{1,2, ∙ ∙ ∙ , n}. Граф, допускающий путь, не содержащий кратных ребер и содержащий все ребра, называется эйлеровым. Такой путь тоже называется эйлеровым.

На рис. 4.1 справа изображен граф, ребра которого соответствуют мостам, а вершины – частям суши.