2.6. Алгебраические системы

Пусть _i , i=1,2,…m есть операция на множестве М. Множество М вместе с заданной на нем совокупностью операций ={₁,₂,…,_m} называется алгеброй или алгебраической системой и обозначается < M, >. При этом M называется основным множеством алгебры, а -сигнатурой. Вектор арностей операций алгебры называется ее типом. Если специально не оговорена арность операции, то под операцией понимают бинарную операцию.

Различные уточнения свойств операций, входящих в сигнатуру, приводят к широко известным частным случаям алгебраических систем – группы, полугруппы, кольца, поля, тела, решетки, структуры.

Так, алгебра с единственной операцией <M, > называется группоидом. Группоид, в котором операция ассоциативна, называетсяполугруппой. Если операция в полугруппе является коммутативной, такая полугруппа называется абелевой.

Алгебра < R, +, >, где R – множество действительных чисел, «+», «» -операции сложения и умножения, называетсяполем действительных чисел. Обе операции – бинарные потому тип этой алгебры - (2,2).

Система <F(),,,>, где F() – множество всех подмножеств универсального множества , а ,,- операции объединения, пересечения и дополнения, называется алгеброй множеств над .

Алгебраическая система с двумя бинарными операциями и , обладающими свойствами ассоциативности и коммутативности, образует решетку относительно этих операций, если для произвольных элементов основного множества этой алгебры выполняются соотношения:

xx = x, xx = x (закон тождественности),

(x y) x = x, (xy) x = x (закон поглощения).

Решетка называется дистрибутивной, если операции удовлетворяют свойствам дистрибутивности. Если для решетки верно какое-либо утверждение, то из него можно получить так называемое двойственное утверждение, поменяв местами в исходном утверждении операции и . Это свойство решетки называют законом двойственности.Дистрибутивная решетка <M,,> называетсябулевой алгеброй, если в ней выполняется закон дополнения: в М существуют такие элементы 1 и 0, что

а) x1 =1,x1 =x, x0 =x, x0 = 0;

б) для произвольного элемента xM в М найдется такой элемент , чтоx=1,x = 0. Элемент называется дополнением элемента x в множестве М.

Исходя из этого определения, булевой является алгебра множеств <F(),,,>, т.к. операции,обладают свойствами ассоциативности, дистрибутивности, коммутативности, а в качестве элементов 1 и 0 выступают универсальное множество и пустое множество .

Булевой алгеброй является и алгебра логических функций. Дадим определение алгебре логических функций. Пусть Е={0,1}- двухэлементное множество. Обозначим через Р₂ множество всех логических функций от п переменных. Рассмотрим на множестве Е следующие бинарные операции: дизъюнкция (v) и конъюнкция (), а так же унарную операцию дополнение. Зададим эти операции таблицами истинности, а именно:

Тип этой алгебры (2,2,1).

Заметим, что все алгебры типа (2,2,1) являются булевыми, если их операции удовлетворяют законам ассоциативности, коммутативности, дистрибутивности, поглощения и дополнения.

Алгебры с различными типами имеют существенно различное строение. Если же алгебры имеют одинаковый тип, то наличие у них сходства характеризуется с помощью вводимых ниже понятий гомоморфизма и изоморфизма.

Пусть даны две алгебры А = <M, ₁, ₂,…,_m> и В = < К, ₁, ₂,…,_m> одинакового типа. Гомоморфизмом алгебры А в алгебру В называется отображение Г:КМ, при котором независимо от того, выполнена ли сначала операция в А, а затем произведено отображение Г либо сначала произведено отображение Г, а затем в В выполнена соответствующая операция , результат будет одинаковым.Изоморфизмом алгебры А на алгебру В называется взаимно-однозначный гомоморфизм. В этом случае существует обратное отображение Г^-1: МК.

Алгебры называются изоморфными, если существует изоморфизм А на В и изоморфизм В на А.

Примеры

1. Рассмотрим алгебру < Q_N, + > на множестве всех целых чисел и алгебру < Q_2N, + > на множестве всех четных чисел. Эти алгебры изоморфны, причем изоморфизмом является отображение Г: n2n, удовлетворяющее условию: 2(a+b)=2a+2b.

2. Если R – множество действительных чисел, R₊ - множество положительных действительных чисел, то изоморфизмом между алгебрами <R₊, > и <R, + > является отображение Г: аlog(a), обладающее свойством: log(aв) = log(a) + log(в).

Понятие изоморфизма является одним из важнейших понятий в математике. Распространенное выражение «рассматривать объекты с точностью до изоморфизма» означает, что рассматриваются только те свойства объекта, которые сохраняются при изоморфизме. В частности, изоморфизм сохраняет ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность теоретико-множественных операций ,,и логических операций, с которыми будем знакомиться далее.

Понятие изоморфизма используется и в прикладных задачах. В частности, оно облегчает действия над множеством двоичных векторов, с которыми приходится иметь дело программисту.

Рассмотрим множество А = { а₁,а₂,…, а_n }мощности n, элементы которого занумерованы числами от 1 до n. Пусть В_n – множество двоичных векторов длины n, состоящее из символов 1 и 0. Каждому подмножеству А^э А поставим в соответствие вектор v = (v₁,v₂,…,v_n) В_n следующим образом: v_i= 0, если а_i A^э и v_i= ₁, если а_i A^э.