Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
кр одмита.doc
Скачиваний:
180
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
6.17 Mб
Скачать

4.6.2. Удаление избыточных литералов

Рассмотрим второй вид избыточности в ДНФ, когда D = хk  D = k  D. Здесь избыточным является литерал х. Правую часть этого равенства можно представить следующим образом:

k  D = k(х х)  D = хk  D хk = D хk.

Отсюда видно, что литерал х в выражении хk  D является избыточным, если конъюнкция хk является избыточной в выражении D хk. Следовательно, задача определения избыточности литерала в ДНФ сводится к предыдущей задаче – задаче определения избыточности элементарной конъюнкции.

Удаление литерала из ДНФ в матричном представлении выражается в замене нуля или единицы в троичной матрице на значение «–». На основании предыдущих рассуждений это можно сделать, если вектор, полученный из строки, содержащей данный нуль или единицу, заменой этого значения на противоположное ему значение (т. е. 0 на 1 или 1 на 0), является избыточным для рассматриваемой матрицы.

Таким образом, для того, чтобы решить вопрос о том, можно ли заменить 0 (или 1) в i-й строке и j-м столбце на значение «–», надо построить минор, образованный столбцами, где i-я строка имеет значения «–», и строками, не ортогональными вектору, полученному из i-й строки заменой нуля (или единицы) в j-м столбце на противоположное значение. Если полученный минор оказался вырожденной матрицей, то такая замена возможна.

Рассмотрим матрицу

.

Чтобы узнать, является ли 0 в строке 1 и столбце х6 избыточным, построим минор, образованный единственным столбцом х5, где строка 1 имеет значение «–», и единственной строкой 3, не ортогональной вектору (0 1 1 0 – 1). Единственный элемент в этом миноре имеет значение 1. Он является невырожденной матрицей. Следовательно, нуль в строке 1 и столбце х6 нельзя заменить на «–».

Рассмотрим теперь единицу в строке 3 и столбце х3. Минор, образованный столбцами х1 и х4 и строками 2 и 4, не ортогональными вектору (– 1 0 – 1 1), имеет вид

.

Вырожденность этого минора говорит о том, данную единицу можно заменить значением «–». Выполнив такую замену, получим матрицу, эквивалентную исходной матрице:

.

4.7. Графическое представление булева пространства и булевых функций

4.7.1. Булев гиперкуб

Булево пространство М можно представить в виде графа, вершины которого соответствуют элементам пространства, а ребра представляют отношение соседства между элементами пространства. Два вектора являются соседними, если они отличаются друг от друга значением только одной компоненты. Например, векторы (1 0 0 1) и (1 1 0 1), значения одноименных компонент которых, кроме одной второй компоненты, совпадают, являются соседними. Данный граф, представляющий п-мерное булево пространство, имеет 2п вершин и п2п – 1 ребер. Он называется полным булевым графом, или п-мерным гиперкубом. Рассмотрим построение такого гиперкуба для различных значений размерности пространства.

Одномерный гиперкуб состоит из двух вершин, связанных ребром. Одной из этих вершин приписывается константа 0, другой – константа 1, которые являются кодами данных вершин. Чтобы получить двумерный гиперкуб, надо продублировать одномерный гиперкуб и каждую вершину исходного гиперкуба соединить ребром с ее дублем. Коды вершин построенного двумерного гиперкуба получаются добавлением нулей справа к кодам вершин исходного гиперкуба и единиц – к кодам дублей вершин. Аналогично получаются трехмерный гиперкуб, четырехмерный гиперкуб и т. д.

Сформулируем общее правило увеличения размерности гиперкуба: для перехода от т-мерного гиперкуба к (т + 1)-мерному надо исходный т-мерный гиперкуб продублировать и каждую вершину исходного гиперкуба соединить ребром с ее дублем. В полученном гиперкубе к кодам вершин исходного т-мерного гиперкуба добавляются справа нули, а к кодам их дублей – единицы.

В гиперкубе выделяются гиперграни, которые являются порожденными подграфами, представляющими собой гиперкубы меньшей размерности, чем рассматриваемый гиперкуб. Это может быть отдельное ребро, двумерная грань, трехмерный куб и т. п. Подграф, представляющий гипергрань, порождается множеством вершин, составляющих интервал булева пространства.