- •Литература
- •Перечень компьютерных программ, наглядных и других пособий, методических указаний и материалов и технических средств обучения
- •1.2.Операции над множествами
- •1.3. Булева алгебра множеств
- •1.4. Разбиения и покрытия
- •2. Отношения бинарные и n-арные
- •2.1. Декартово произведение
- •2.2. Бинарные отношения (соответствия)
- •2.3. Операции над бинарными отношениями
- •2.4. Функциональные отношения
- •2.5. Бинарные отношения на множестве
- •2.6. Алгебраические системы
- •3. Основные понятия теории графов
- •3.1. Абстрактный граф
- •3.2. Графическое представление бинарного отношения
- •Множеств а и в
- •3.3. Матричные представления графа
- •3.4. Части графа
- •3.5. Достижимость и связность
- •3.6. Доминирующие множества графа
- •3.7. Независимые множества графа
- •3.8. Раскраска графа
- •3.9.Планарность графов
- •3.10. Инварианты графов
- •4. Булевы функции
- •4.1. Способы задания булевой функции
- •4.2. Элементарные булевы функции и алгебраические формы
- •4.3. Интерпретации булевой алгебры
- •4.4. Нормальные формы булевых функций
- •4.4.1. Дизъюнктивные нормальные формы
- •4.4.2. Конъюнктивные нормальные формы
- •4.5 Полнота и замкнутость системы логических функций
- •4.6. Локальные упрощения днф
- •4.6.1. Удаление избыточных элементарных конъюнкций
- •4.6.2. Удаление избыточных литералов
- •4.7. Графическое представление булева пространства и булевых функций
- •4.7.1. Булев гиперкуб
- •4.7.2. Развертка гиперкуба на плоскости. Карта Карно
- •4.8. Минимизация днф
- •4.8.1. Метод Квайна-МакКласки
- •4.8.2. Метод Блейка-Порецкого
- •4.8.3. Визуально-матричный метод минимизации
- •5. Элементы математической логики
- •5.1 Алгебра высказываний
- •Всякое высказывание логично следует из самого себя.
- •2. Закон противоречия:
- •Если из а следует b, а b ложно, то а тоже ложно.
- •5.2. Логические отношения
- •5.3.Проверка правильности рассуждений
- •5.4. Решение логических задач методом характеристического уравнения
- •5.6. Кванторы
- •5.7 Эквивалентные соотношения. Префиксная нормальная форма
- •6. Основы теории алгоритмов
- •6.1. Интуитивное понятие об алгоритме
- •6.2. Три типа алгоритмических моделей
- •6.3. Кризис теории множеств антиномии. Выводы из антиномий
- •6.4. Машины Тьюринга как модели алгоритмов
- •6.5. Алгоритмы решения некоторых задач теории графов на графах
- •7. Конечный автомат и его описание.
- •7.2. Представления автомата
- •7.3. Связь между моделями Мили и Мура
- •7.4. Автомат с абстрактным состоянием. Булев автомат
- •7.5. Понятие о регулярных выражениях алгебры событий.
- •7.6. Задачи абстрактной теории конечных автоматов
- •8. Комбинаторные задачи и методы комбинаторного поиска
- •8.1. Задачи подсчета числа комбинаторных решений
- •8.2. Особенности оптимизационных комбинаторных задач
- •8.3. Вычислительная сложность
- •8.4. Методы комбинаторного поиска
- •8.5. Задача о кратчайшем покрытии и методы ее решения
- •8.5.1. Постановка задачи
- •8.5.2. Приближенные методы решения задачи
- •8.5.3. Точный метод
- •Вопросы к зачету
- •28. Нормальные формы булевых функций. Дизъюнктивные нормальные формы
- •44. Эквивалентные соотношения. Префиксная нормальная форма
- •Практический раздел Контрольная работа Указания по выбору варианта
- •Контрольное задание №1. Используя диаграммы Эйлера-Венна, решить задачу
- •Методические указания
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Контрольное задание №2. Получить сднф, скнф, используя таблицу истинности. Построить днф, кнф, упростив выражение.
- •Методические указания
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Контрольное задание №3. Упростить схему (рис. 2)
- •Методические указания
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Методические указания
- •Задачи для самостоятельного решения
- •Контрольное задание №6. Найти инварианты неориентированного графа, заданного матрицей смежности
- •Методические указания
- •Задачи для самостоятельного решения
Задачи для самостоятельного решения
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10. BCBAC
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
2.21.
2.22.
2.23.
2.24. ABAC
2.25. ABCC
Контрольное задание №3. Упростить схему (рис. 2)
Рис. 2. Релейно-контактная схема
Методические указания
Релейно-контактная схема представляет собой устройство из проводников и контактов, связывающих полюса источников тока. Контакты могут быть размыкающими и замыкающими. Каждый контакт подключен к некоторому реле. Когда реле находиться под током, все подключенные к нему замыкающие контакты замкнуты, а размыкающие - разомкнуты.
Каждому реле можно поставить в соответствие значение 1, если оно находится под током, и 0, если нет. Все замыкающие контакты, подключенные к реле X, будем обозначать X1,..., Xi, а размыкающие - ,..., .
Всей схеме также можно поставить одно из двух значений: 1, если схема проводит ток, и 0, если не проводит. Это значение есть функция переменных Xi, (i,j = ), т.е. логическая функция. Эту функцию называют функцией проводимости электрической цепи.
Всякая формула алгебры высказываний может быть реализована некоторой релейно-контактной схемой, имеющей соответствующую функцию проводимости. И, наоборот, для некоторой схемы можно указать функцию проводимости, логическую функцию, а затем построить для нее некоторую формулу алгебры высказываний. При этом основные логические связки моделируются следующими элементарными схемами:
2.
3. ХY
4. XY
т.е. дизъюнкция моделируется параллельными соединениями проводников, конъюнкция - последовательным.
Решение.
Построим функцию проводимости данной схемы, которая будет задаваться таблицей (табл. 4)
Таблица 4
Таблица истинности для релейно-контактной схемы
x |
y |
z |
f |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
По данной логической функции построим СКНФ
СКНФ =
Упростим это выражение
=
Построим более простую схему, имеющую ту же функцию проводимости, что и исходная.
Рис. 3. Упрощенная релейно-контактная схема
Чтобы упростить релейно-контактную схему, не обязательно строить ее функцию проводимости. Можно написать соответствующую данной схеме формулу и упростить.
Построим схему электрической цепи, приведенной в примере, и упростим ее
Задачи для самостоятельного решения
3.1.
3.2.
3.3.
3 .4.
3.5.
3.6.
3.7.
3.8.
3.9.
3.10.
3.11.
3.12.
3.13.
3.14.
3.15.
3.16.
3.17.
3.18.
3.19.
3.20.
3.21.
3.22.
3.23.
3.24.
3.25.
Контрольное задание № 4. Выяснить, каким из пяти замкнутых классов принадлежит функция, заданная своим характеристическим множеством(или представленная в табличной форме). Построить полином Жегалкина.
Методические указания
Алгебра над множеством логических функций с двумя бинарными операциями и, двумя константами 1,0 называется алгеброй Жегалкина, если в ней выполняются следующие законы:
; ;;;
xy = yx; x(yz) = (xy)z; xx = x
В алгебре Жегалкина дизъюнкция выражается формулой, из которой видно, чтотогда, когда xy = 0 (когда x и y ортогональны).
Всякую формулу алгебры Жегалкина можно представить в виде полинома Жегалкина.
Для всякой логической функции существует единственный полином Жегалкина.
Алгоритм построения полинома Жегалкина логической функции состоит из следующих шагов:
1) построить формулу с использованием связок или построить СДНФ функции;
2) заменить всюду на . Если построена СДНФ, заменить в ней все операциина операции, т.к. для ортогональных элементарных конъюнкций имеет место соотношение , если
3) раскрыть скобки, пользуясь дистрибутивным законом и привести подобные члены, используя правило алгебры Жегалкина
Рассмотрим логические функции ,. Будем считать, что функциизависят от одних и тех же аргументов. Это можно достигнуть, добавив при необходимости к аргументам некоторых функций фиктивные переменные (аргументы).
Некоторый класс А логических функций назовём замкнутым, если для всяких функций ,изА их суперпозиция
содержится в А.
Перечислим пять замкнутых классов логических функций:
1. Класс функций , сохраняющих константу 0, содержит функции, обладающие свойством f(0,0,...,0) = 0
2. Класс функций , сохраняющие константу 1, содержит функции, обладающие свойством f(1,1,...,1) = 1
3. Класс линейных функций L, для которых полином Жегалкина линеен
, .
4. Класс самодвойственных функций S, для которых выполняется условие , т.е. на всех инверсных наборов значения функции различны.
5. Класс монотонных функций M, для которых выполняется условие монотонности f(A)≥f(A`) при А>А`. Здесь и- двоичные наборы. Набор А больше набора А`, если каждый элементнабора А больше или равен соответствующему элементунабора А`.
Рассмотрим совокупность R всех логических функций от n переменных. Система функций называетсяполной в классе R (базисом), если любую функцию из этого класса можно представить суперпозицией функций . Базис, для которого удаление любой из функций превращает полную систему в неполную, называетсяминимальным.
Теорема о функциональной полноте (критерий полноты системы логических функций). Система функций является полной тогда и только тогда, когда она целиком не содержится ни в одном из пяти замкнутых классов .
Решение
Строим таблицу истинности для функции.
Таблица 5
x1 x2 x3 |
f |
0 0 0 |
0 |
0 0 1 |
1 |
0 1 0 |
0 |
0 1 1 |
1 |
1 0 0 |
0 |
1 0 1 |
1 |
1 1 0 |
0 |
1 1 1 |
1 |
Исходя из определения функций, сохраняющих константу 0 (ноль), сохраняющих константу 1 (единица), самодвойственных выясняем, что
Исходя из определения монотонности функций, следует, что функция , гдеМ - класс монотонных функций.
Построив для функции полином Жегалкина
==
убеждаемся в том, что он имеет линейный вид. Следовательно, , гдеL - класс линейных функций.