Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
кр одмита.doc
Скачиваний:
180
Добавлен:
24.02.2016
Размер:
6.17 Mб
Скачать

8.5.2. Приближенные методы решения задачи

Существуют приближенные методы решения данной задачи. Например, ее можно решать с помощью жадного алгоритма, представляющего собой многошаговый процесс, где на каждом шаге выбирается и включается в покрытие строка заданной матрицы, покрывающая наибольшее число из еще не покрытых столбцов. Этот процесс заканчивается, когда все столбцы матрицы оказываются покрытыми. Применение жадного алгоритма иногда дает точное решение, но гарантии этому нет. Например, если задана матрица

,

первой для включения в формируемое решение жадный алгоритм выберет строку В1, после чего для покрытия оставшихся столбцов должны быть включены в решение обе строки В2 и В3. Кратчайшее же покрытие данной матрицы составляют только две строки – В2 и В3.

Более близкое к кратчайшему покрытие получается чаще всего с помощью «минимаксного» алгоритма. Он представляет собой многошаговый процесс, на каждом шаге которого выбирается столбец с минимальным числом единиц и из покрывающих его строк для включения в решение выбирается та, которая покрывает максимальное число непокрытых столбцов. Пусть, например, задана матрица

.

Одним из столбцов с минимальным числом единиц является столбец а6. Из покрывающих его строк максимальное число столбцов покрывает строка В6. Включим эту строку в решение и удалим ее и столбцы, которые она покрывает, в результате чего получим

.

Из оставшихся столбцов минимальное число единиц имеет столбец а10. Покрывающие его строки В4 и В9 имеют одинаковое число единиц, т. е. одинаковое число покрываемых ими, но еще не покрытых столбцов. Включаем в решение первую по порядку строку В4 и получаем матрицу

.

В полученной матрице столбцом с минимальным числом единиц является столбец а2, а из покрывающих его строк строка В7 имеет максимальное число единиц. Включение этой строки в решение завершает процесс, в результате которого полученным покрытием является {B4B6B7}. Как будет показано ниже, это решение является точным.

8.5.3. Точный метод

Точный метод нахождения кратчайшего покрытия представляет собой обход дерева поиска. Текущая ситуация, соответствующая некоторой вершине дерева поиска, представляется переменной матрицей Х, которая показывает, какие столбцы еще не покрыты и какие строки можно использовать для их покрытия. В этой ситуации выбирается первый из столбцов с минимальным числом единиц – так минимизируется число вариантов продолжения поиска. Очередной шаг процесса состоит в выборе покрывающей строки для этого столбца и пробном включении ее в получаемое решение. Таким образом, вершины дерева поиска соответствуют некоторым столбцам исходной матрицы, а дуги – выбираемым для их покрытия строкам.

Начальное значение матрицы Х совпадает с исходной матрицей. Последующие значения получаются удалением строк, включаемых в решение, и столбцов, покрытых этими строками. Кроме того, выполняются следующие правила редукции.

1. Если столбец k имеет единицы везде, где имеет единицы столбец l, то столбец k можно удалить. Любая строка, покрывающая столбец l, покрывает также столбец k. Поэтому при поиске покрытия столбец k можно не рассматривать. Достаточно, чтобы в покрытие была включена какая-либо из строк, покрывающих столбец l.

2. Если строка i имеет единицы везде, где имеет единицы строка j, то строку j можно удалить. Действительно, пусть в некотором кратчайшем покрытии имеется строка j. Очевидно, данное покрытие останется кратчайшим, если в нем строку j заменить строкой i.

Продемонстрируем описанный процесс на матрице из предыдущего примера:

.

На первом шаге выбираем столбец а6, содержащий две единицы. Среди покрывающих ее строк выбираем такую, которая покрывает наибольшее число столбцов. Такой строкой является строка В6. Удалив эту строку и покрываемые ею столбцы, получим следующее значение матрицы X:

.

После удаления строк В1, В2 и В8 согласно второму правилу редукции матрица Х будет иметь следующий вид:

.

Одним из столбцов, обладающих минимальным числом единиц, является столбец а2. Обе покрывающие его строки В3 и В7 содержат по три единицы. Выбираем первую по порядку строку В3 и включаем ее в формируемое покрытие. Теперь имеем множество {B3B6}. Этот шаг приводит к матрице

.

После удаления строки В7 по второму правилу редукции получим матрицу, каждая строка и каждый столбец которой содержат ровно две единицы. Выбрав строку В4, покрывающую столбец а4, и проведя аналогичные преобразования, получим матрицу с одним столбцом а7 и двумя строками В5 и В9, любая из которых покрывает оставшийся столбец. Таким образом, получено покрытие {В3В4B5В6}, но пройдена пока только одна ветвь дерева поиска, и до совершения полного обхода дерева неизвестно, является ли это покрытие кратчайшим.

Возвращаемся к ситуации, когда очередным столбцом для покрытия взят а2. Теперь вместо строки В3 возьмем для покрытия столбца а2 строку В7. Действуя дальше аналогичным образом, получаем очередное покрытие {В4B6В7}, которое вытесняет предыдущее, так как оно оказалось лучше, однако и его пока нельзя назвать кратчайшим.

а6 –––В6––– а2 –––В3––– а4 –––В4––– а7 –––В5–––

––––В7––– а8 –––В4––– решение

–––В2–––

Рис. 8.1. Дерево поиска кратчайшего покрытия

Возвратившись к начальной вершине дерева поиска и следуя по дуге, соответствующей строке В2, убеждаемся, что длина покрытия не может быть меньше трех. На этом поиск можно закончить и выдать в качестве решения множество {В4B6В7}. На дереве поиска, обход которого совершался в процессе решения данного примера (рис. 8.1), вершинам приписаны столбцы, а дугам – строки.