Zadachni_copy

9. При розрахунку ємності шаруватих конденсаторів (конденсаторів з кількома шарами діелектрика), їх можна замінити еквівалентною схемою послідовно з’єднаних конденсаторів. Справді, якщо між шарами діелектрика розміститиметалевуфольгу, тоємністьконденсатора при цьому незміниться, алейогоможна будеуявити собі як n послідовно з’єднаних конденсаторів (n – кількість діелектричних шарів). Тоді ємність такої батареї простих послідовно з’єднаних конденсаторів можна визначити за співвідношенням(3.34).

Прикладирозв’язуваннязадач

1. Три однакових додатних заряди Q1 Q2 Q3 1нКл, розміщених у вершинах рівностороннього трикутника. Який від’ємний заряд Q4 треба розташувати в центрі трикутника, щобсилапритяганнязйогобокузрівноважилабсиливзаємного відштовхування зарядів, що знаходяться у вершинах?

необхідно розташувати в центрі трикутника, щоб у рівновазі знаходився хоча б один з трьох зарядів, наприклад Q1 .

У відповідностізпринципомсуперпозиціїна цей заряддіє кожен зрешти зарядівнезалежновідінших.Томузаряд Q1 буде знаходитись у рівновазі, якщо векторна сума сил, що на нього діють, дорівнюватименулеві:

101

Післяскороченняоднаковихвеличинрівняння(6)перепишеться:

отримаємо остаточну відповідь: Q4 Q13 0,58(нКл) . Відмітимо,щорівновагацієїсистемизарядівбуденестійкою.

Відповідь: 0,58нКл .

102

2. Тонкий стержень завдовжки l 30см заряджений рівномірно розподіленим по довжині зарядом з лінійною густиною 1мкКл/ м. На відстані r0 20см від стержня знаходиться заряд Q1 10нКл, рівновіддалений від кінців стержня. Визначити силу взаємодії F точкового заряду зі стержнем.

Розв’язання

За умовою задачі один із зарядів неточковий, тому знайти силу взаємодії безпосередньо за законом Кулона не можна. Розіб’ємо стержень на велику кількість нескінченно малих ділянокдовжиною dl ізнайдемо силувзаємодіїоднієїтакоїділянки з зарядом Q1 . Заряд ділянки dQ dl можна розглядати як точковий і застосувати до нього законКулона.

де r – відстань від виділеного

Рис. 31

елемента dl до заряду Q1 . Зрисунка 31 видно, що

де r0 – відстань від заряду Q1 до стержня. Підставивши (2) в (1),

отримаємо:

Відмітимо, що dF – вектор, тому перш ніж інтегрувати, розкладемо його на дві складові (спроектуємо його на осі оХ і oY).

Підставивши в(4) співвідношення(3), отримаємо:

103

відстані r2 10см від другого заряду.

104

Розв’язання

Згіднозпринципомсуперпозиціїелектричнихполів,кожний заряд створюватиме поле незалежно від присутності іншого заряду. Тому напрямок вектора напруженості електричного поля в точціА слід шукати як векторнусуму напруженості E1 інапруженості E2 полів(див. рис.32),створюванихвідповідно

трикутника, у вершинах якого знаходяться точкові заряди Q1, Q2 і точка А. Знайдемо косинус кута Q1AQ2 , застосувавши до цього трикутника теорему косинусів до цього трикутника:

4. Електричне поле створене у вакуумі нескінченною площиною, зарядженою з поверхневою густиною400нКл/ м2 , інескінченноюпрямоюниткою, зарядженою

105

з лінійною густиною 100нКл/ м . На відстані r 10см від нитки знаходиться точковий заряд Q 10нКл . Знайти напруженість поля, яке створюється площиною та ниткою в точці, де розміщений точковий заряд.

Розв’язання

Для того, щоб отримати величину вектора напруженості електричногополя E вточці, дерозташованийточковийзаряд, знайдемоспочаткунапруженостіполівстворених зарядженою ниткою E1 ізарядженоюплощиною E2 ,апотім,скориставшись принципомсуперпозиціїелектричнихполів,знайдемовеличину

E як векторну суму E1 і E2 (Е Е1 E2 ).

Визначимовеличину E1, скориставшись теоремою Остроградського – Гаусса. Дляцьогооточимозаряджену нитку замкнутою (гаусовою) поверхнеюувиглядіциліндра. Такий вибір замкнутої поверхні значно спростить розв’язування цієї частини задачі, бо лінії напруженості електростатичного поля в

кожній точці будуть перпендикулярними до гаусової поверхні. Вектор E1 буде паралельний вектору нормалі до поверхні n , і формула для визначення потоку Е спроститься:

Е E1 cos dS E1dS , боза такихумов cos 1. Отже,

S S

теорема Остроградського – Гаусса перепишеться так:

Урахуємо,щонавідстаніrвідниткинапруженістьполябуде

однаковою у всіх напрямках, тому величину E1 можна винести за знак інтеграла. Інтеграл по поверхні dS SG , де SG –

S

106

площа гаусової поверхні (бічна поверхня циліндра, бо потік вектора E черезосновициліндра,якіпаралельніцьомувектору, дорівнює нулеві). Отже, теорема Остроградського – Гаусса набуде остаточного вигляду:

Визначимо тепер величину E2 . Як гаусову поверхню виберемо паралелепіпед, дві грані якого паралельні до розглядуваної площини. За такого вибору лінії напруженості електричного поля, створюваного зарядженою площиною, будуть перпендикулярними до граней паралелепіпеда, а отже

При цьому SG 2Sпов , ботільки додвохграней паралелепіпеда

перпендикулярні, а отжерезультуючезначення модуля вектора

E можна знайти за теоремою Піфагора:

Підставивши в (6) модулі векторів напруженості полів зі співвідношеннь(5)і(3), отримаємошуканувеличину:

107

або

Зостанньогоспіввідношення:

Підставивши (5)в(1)іпровівши розрахунки, отримаємо:

6. Знайти роботу А поля по переміщенню заряду Q 10нКл з точки 1 в точку 2 відстань l між якими дорівнює 3см, які знаходяться між двома різнойменно зарядженими нескінченнимипаралельнимипластинами.Поверхневагустина заряду пластин 0,4 мкКл/ м2 .

Розв’язання

Можливі два способи розв’язку цієї задачі.

1-й спосіб. Роботу сил поля по переміщенню заряду Q з точки 1з потенціалом 1 в точку2 з потенціалом 2 знайдемо за формулою

Для визначення різниці потенціалів між точками 1 і 2 пригадаємо, що напруженість поля E зв’язана з потенціалом

співвідношенням E d . Оскільки полеміжнескінченними dr

де l – відстань між точками 1 і 2.

Напруженість поля, яку створюють дві різнойменно

109

заряд Q при його переміщенні, буде постійною. Тому робота по переміщенню заряду з точки 1 в точку 2

де F –сила, яка діє на заряд; r –модульпереміщеннязаряду Q з точки 1 в точку 2; – кут між напрямками переміщення ісили. Але

переміщення r на напрям дії сили дорівнює відстані між еквіпотенціальними поверхнями ( r cos l ), отримаємо:

Отже, обидва розв’язки привели до однакових результатів. Підставившиуформулу(7)числовізначеннявеличин,отримаємо:

А Q l / 0

10 8 0,4 10 6 3 10 2 /8,85 10 12 13,6 10 6 (Дж)

Відповідь: 13,6 мкДж .

7. Електричне поле створене довгим циліндром радіусом R 1см , рівномірно зарядженим з лінійною густиною20нКл/ м . Визначити різницю потенціалів між двома точками цього поля, які знаходяться на відстані а1 0,5см і а2 2см відповерхніциліндра навпроти йогосередини.

Розв’язання

Для визначення різниці потенціалів скористаємося співвідношенням між напруженістю поля та потенціалом E grad . Дляциліндра модульнапруженостіелектричного

110