Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Zadachni_copy

.pdf
Скачиваний:
44
Добавлен:
23.02.2016
Размер:
1.42 Mб
Скачать

РОЗДІЛ 1. МЕХАНІКА

1. КІНЕМАТИКА

Основніспіввідношення

Механіка вивчає найпростішу форму руху матерії – механічний рух,тобтозмінуположеннятіла (абочастин тіла)в просторівідносноінших тілз плином часу. Класична механіка виходить з того, що властивості простору і часу не залежать від того, які матеріальні тіла беруть участь в русі і від того як вони рухаються. Для того, щоб однозначно задати положення тіла впросторіпотрібномати системувідліку, яка складається з тіла відліку, пов’язаної з ним системи координат і годинника. Для опису руху тіл, в залежності від конкретних умов задачі, часто використовують різні спрощення – фізичні моделі – матеріальна точка, абсолютно тверде тіло,

абсолютно пружне тіло тощо. Найпростішою фізичною моделлю тіла є матеріальна точка – тіло, розмірами і формою якого можна знехтувати у порівнянні з відстанями, які воно проходить.

Положенняматеріальноїточкивпросторізадаєтьсярадіус-

вектором r :

r ix jy kz ,

(1.1)

де i, j,k – орти координатних осей, а

x, y, z – координати

точки.

 

Кінематичне рівняння руху (залежність координат від часу) для матеріальної точки в координатній формі записується так:

 

x x t ; y y t ;

z z t ,

(1.2)

а увекторній формі

 

 

 

r r t .

 

(1.3)

Середня швидкість руху:

 

 

де r

v r / t ,

(1.4)

– переміщення за час t .

 

 

Середньошляхова швидкість:

 

 

 

v S / t ,

 

(1.5)

де S

– шлях, пройдений тілом за час t .

 

11

Миттєва швидкість v :

v lim

r

 

dr

 

dx

 

dy

 

dz

 

 

 

i

j

k

.

(1.6)

 

dt

dt

dt

 

t 0 t

 

 

 

 

dt

 

Модуль миттєвої швидкості можна знайти за формулою:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

2

 

dy

2

 

dz

 

2

 

 

 

2

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

 

vx

vy

vz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

. (1.7)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Миттєве прискорення

а :

dt

 

 

dt

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v

 

dv

 

dv

x

 

 

dvy

 

 

dv

z

 

 

 

 

 

 

 

 

a lim

 

 

 

 

i

 

 

 

j

 

 

 

k

 

 

 

.

 

(1.8)

 

 

 

 

t

dt

 

 

dt

 

 

dt

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

t 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Повнеприскоренняприкриволінійномурусіможнапредставити

як суму нормального an і тангенційного прискорень

a :

a an a .

(1.9)

Модуліцихприскореньвизначаютьсязіспіввідношень:

 

v2

 

dv

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

an

 

, a

 

 

, a a2

a2

,

(1.10)

 

dt

 

R

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

де R – радіус кривизни траєкторіїв даній точці.

Кінематичнерівняннярівномірногорухуматеріальноїточки вздовж осі оX:

x x0

vt,

(1.11)

де x0 – початкова координата, t – час.

 

Прирівномірномурусі

і a 0 .

(1.12)

v const

Кінематичнерівняннярівноприскореногоруху(a const ) вдовж осі оX:

x x0 v0t

at2

 

 

,

(1.13)

2

 

 

 

де v 0 – початкова швидкість.

 

 

 

Швидкістьточки при рівноприскореномурусі:

 

v v0 at .

 

 

(1.14)

12

(t).
Середня кутова швидкість:

Положення твердого тіла, при заданому положенні осі обертання, визначається кутом повороту (або кутовим переміщенням) . Кінематичне рівняння обертального руху:

(1.15)

 

 

 

 

 

t

,

(1.16)

 

 

 

 

де – зміна кута повороту за час

t .

 

Миттєва кутова швидкість:

 

 

 

 

d

.

 

 

(1.17)

 

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

Кутове прискорення:

 

 

 

 

d

 

 

 

 

dt .

 

 

(1.18)

 

 

 

Кінематичнерівняннярівномірногообертальногоруху:

0 t ,

(1.19)

де 0 – початкове кутове переміщення. При рівномірному обертанні

const,

0 .

(1.20)

Частота обертання:

 

 

n N /t;

n 1/T ,

(1.21)

де N – кількість обертів, які тіло здійснює за час t; T – період обертання (час одного повного оберту).

Кінематичнерівняннярівноприскореногообертальногоруху

( const )

0 0t

t2

 

 

,

(1.22)

2

 

 

 

де 0 – початкова кутова швидкість.

Кутова швидкість тіла при рівноприскореному обертанні

змінюється за законом:

 

0 t .

(1.23)

13

Зв’язок між лінійними та кутовими величинами для матеріальноїточки:

шлях, пройдений точкою по дузі кола радіусом R: S R , ( – кут на який повернувся радіус-вектор точки);

лінійна швидкістьточки: v R , v [ ,R];

тангенційнеприскорення: a R , a [ ,R];

нормальнеприскорення:an 2R , an 2R.

Методичніпоради

1. Розв’язування задач з кінематики можна значно спростити, якщодотримуватисьнаступнихправил:

проаналізуйтеумовузадачіістворітьфізичнумодельпроцесів, розглядуваних у задачі;

за умовою задачі виберіть систему відліку в якій буде розглядатися рух тіла. Визначте початкові умови руху тіла в цій системі відліку (початкові координати, швидкості, прискорення);

виясніть, як рухається тіло, описане в задачі. Визначте характер руху (рівномірний, рівноприскорений, зі змінним прискоренням)тайоготраєкторію(прямачикривалінія).Такий аналіз допоможе перевірити правильність вибору фізичної моделі, зобразити модель у вигляді графіка чи схеми, а також вірновибративідповіднірівняння(закони)руху.Наприклад,якщо рух тіла рівноприскорений, то закон зміни швидкості можна знайтизіспіввідношення:

a dv const dt

v t

dv adt dv adt v0 0

v v0 at v v0 at,

азакон рухузіспіввідношення:

14

xt

vdx dx vdt dx (v0 at)dt . dt

x0 0

Проінтегрувавши цей вираз, отримаємо:

x x

v

0

t a

t2

x x

0

v

0

t

at2

.

 

 

0

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Схематично зобразіть рух тіла в обраній системі координат. Вкажітьвідомізумовизадачінапрямки переміщень, швидкостей, прискорень, а також відповідні величини, які необхідно знайти. Оскільки практично всі величини, які характеризують рух тіла (окрім часу і шляху), є векторними, необхідно спроектувати всі відомі вектори на координатні осі.

Запишіть відповіднікінематичні рівняння руху спочаткуу векторній формі, а потім у скалярній (координатній) (див. формули (1.2) – (1.10)). Не забувайте, що для однозначного розв’язкузадачікількістьрівняньповиннадорівнюватикількості невідомихвеличин.

3.Для знаходження значення швидкості чи прискорення при складному русі слід скористатись правилом додавання (чи віднімання) векторів, а для визначення модуля результуючого вектора застосувати теорему косинусів.

4.Розв’яжіть отриману систему рівнянь у загальному вигляді, перевірте розмірністьотриманихвеличин, визначтеїх значення та оцініть вірогідність. Визначте фізичними чи

нефізичними виявилисяцізначення.

Прикладирозв’язуваннязадач

1. Тілокинутопід кутом догоризонту. Знайти величину цього кута, якщо горизонтальна дальність польоту тіла S в чотири рази більша за максимальну висоту траєкторії Н. Опір повітряневраховувати.

Розв’язання

Відомо, що тіло, яке кинули під кутом до горизонту, перебуває у складному русі. Через відсутність опору повітря

15

Рис. 7

вздовж осі оХ воно рухається за інерцією – рівномірно зі швидкістю

vx v0 cos .

(1)

Повертикалірухрівнозмінний івідбуваєтьсяпіддієюсили тяжіння з прискоренням вільного падіння g, яке напрямлене вертикальновниз (рис. 7). Томуувертикальномунапрямкурух тіласпочаткурівносповільнений(донайвищоїточкитраекторії), а потім–рівноприскорений.

Час Т, протягом якого тіло знаходилось у польоті можна визначити з основних параметрів рівномірного руху: горизонтальноїдальностіпольотуSігоризонтальноїскладової

швидкості vx – весь шлях тіло пролетить за час

 

T S vx .

(2)

Знайдемозаконзмінишвидкостіувертикальномунапрямку.

Для цьогоспроектуємовекторпочаткової швидкості v0

на вісь

оY (див. рис. 7 ):

 

vy v0 sin gt .

(3)

Тобто в напрямку осі оY тіло рухатиметься рівносповільнено з початковою швидкістю v0y v0 sin і у найвищій точці траєкторіїзупиниться.Оскільки вданій задачіми невраховуємо опір повітря, то першу половину часу тіло буде підніматися, а другу – опускатися. Підставивши у (3) vy 0, знайдемо час польоту:

 

T

 

T

 

v0 sin

2v0 sin

 

v0 sin g

 

0

 

 

 

 

T

 

. (4)

 

2

 

g

2

 

 

 

 

g

 

16

Підставимо (1) і (4) в (2) і отримаємо:

2v0 sin

 

S

g

 

 

v0 cos .

Запишемо систему рівнянь для визначення кута:

 

2v0 sin

 

S

 

 

 

 

 

 

 

g

 

 

v0 cos

 

 

 

 

4H S

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v02y

 

 

 

 

 

 

.

H

 

2g

 

 

 

 

 

 

 

v

 

 

sin

v

0y

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5)

(6)

Ізданоїсистеми, підставившичетвертеітретєрівнянняудруге,

визначимо S :

S 4v02 sin2 2g .

Далі, підставляємоотриманий виразупершерівняннясистеми

(6) і отримуємо:

2v2 sin cos

4v 2sin2

 

 

0

 

0

 

 

 

g

2g

.

(7)

 

З рівняння (7) випливає, що cos sin або tg 1. З отриманоготригонометричногорівняннякут arctg1 45o .

Відповідь:45o .

2. Прискорення тіла змінюється за законом a(t) A Dt.

Знайти закон руху, якщо тіло рухається прямолінійно вздовж осі оХ .

Розв’язання

За визначенням, прискорення – це перша похідна від

dv

швидкості за часом a dt , тому:

17

dv

A Dt .

(1)

 

dt

 

Ми одержали диференційне рівняння зі змінними, що розділяються. Перепишемо його у вигляді dv Adt Dtdt і проінтегруємо отримане рівняння, важаючи, що при t 0 швидкість дорівнює v0 . Перепозначимо змінні інтегрування, щоб не плутати їх з межами інтегрування:

v

t

t

t

dv Adt Dt dt Adt Dt dt ;

v0

0

0

0

v v0 At Dt2 / 2.

Отже швидкість тіла змінюється за законом:

v v0

At D

t

2

.

(2)

 

 

 

2

 

 

Миттєва швидкість за визначенням є першою похідною від

координати за часом v

dx

, тому

 

 

 

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

t2

 

D

2

 

 

 

 

v0

At D

 

dx v0dt Atdt

 

t

 

dt.

(3)

 

 

2

2

 

 

dt

 

 

 

 

 

 

 

Проінтегруємоотриманерівняння, важаючи, щопри t 0

координата тіла дорівнює x0 :

x

t

 

 

t

 

 

 

 

t

 

D

 

2

 

 

 

dx v0dt

 

 

 

 

 

 

2 t

dt

;

 

At dt

 

 

 

 

 

x0

0

 

 

0

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x x0

v

0t

A

t

2

 

D

t

3

.

 

 

 

(4)

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Отже, залежність координати тіла від часу має вигляд:

 

x x v

0

t

 

A

t2

D

t

3

.

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

 

2

 

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Відповідь:

x x v

0

t

A

t2

 

D

t

3

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

2

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

18

Задачідлясамостійногорозв’язування

1.1. Дві прямі дороги перетинаються під кутом 60o . Відперехрестяпонихвіддаляютьсяавтомобілізішвидкостями v1 60км/год і v2 80км/ год.Визначитишвидкості v і v , з якими автомобілі віддаляються один від одного. Перехрестя автомобіліпроїхали одночасно.

1.2.Тричвертісвогошляхуавтомобільпроїхавзішвидкістю

v1 60км/год, а рештушляху–зішвидкістю v2 80км/ год. Знайти середню швидкість v автомобіля.

1.3.Тілопройшлопершуполовинушляхуза час t1 2с , а другу– за час t2 8с. Визначити середньошляховушвидкість

тіла, якщодовжина шляху S 20 м.

1.4.Закон прямолінійногорухумаєвигляд x At Bt2 ,де A 3 м/с; B 0,25 м/с2 . Побудувати графік залежності координати від часу.

1.5. Закон прямолінійного руху має вигляд x A Bt3 . A 5 м, B 0,125 м/с3 . Побудувати графіки залежності шляху, швидкостіта прискорення від часу.

1.6. Рух матеріальної точки відбувається за законом x At Bt2 , де A 4 м/с ; B 0,05 м/с2 . Визначити момент часу, в який швидкість точки v дорівнюватименулеві. Знайти кординату і прискорення в цей момент. Побудувати графікизалежностікоординати,шляху,швидкостітаприскорення від часу.

1.7.Два тіла, рухаючисьрівноприскорено, проходятьдеяку точку, причому друге через 2 с після першого. В момент проходження початку відліку перше тіло мало швидкість

v1 1м/с і прискорення a1

2 м/с2 , а друге – швидкість

v2 10 м/с іприскорення a2

1м/с2 .Черезякийчасінаякій

відстані від початкового положення друге тіло наздожене перше?

1.8. Рух двохматеріальнихточоквідбувається за законами

x A B t C t2

і

x

2

A B

t C

t2,де A 20 м; A 2 м;

1

1

1

1

 

 

2

2

C

 

2

1

2

B B

2 м/с; C

4 м/с2 ;

2

0,5 м/с2

.У який момент

1

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

часу t швидкості точок будуть однаковими? Знайти швидкості і прискорення точок у цей момент.

19

1.9. Дві матеріальні точки рухаються за законами

x At B t2

C t3 і

x

2

A t B

t2 C

t3

,

де A 4 м/c ;

1

1

1

1

 

2

 

2

2

 

 

1

A 2 м/c ;

B 8 м/с2

; B

2

4 м/с2 ;

 

C 16 м/с3 ;

2

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

C2

1м/с3 . У який момент часу t

прискорення точок будуть

однаковими? Знайти швидкості точок у цей момент.

1.10.З якоївисоти Н впалотіло, якщоостанній метр свого шляху воно пройшло за час t 0,1с?

1.11.Рух матеріальної точки відбувається за законом

x At Bt2 , де

A 2 м/с; B 0,5 м/с2 . Знайти середню

швидкість v

точки в інтервалі часу від t1 1с до t2 3с.

1.12.Рух матеріальної точки відбувається за законом

xAt Bt3 , де A 6 м/с ; B 0,125 м/с3 . Знайти середню

швидкість v точки в інтервалі часувід t1 2с

до t2 6с .

1.13. Закон прямолінійного руху має вигляд

x A Bt2 ,

де A 3 м,

B 0,25 м/с2 .

Визначити середньошляхову

швидкість v між другою і шостою секундами.

1.14. Точка рухається

за законом x At Dt3 , де

A 6 м/c ,

D 0,125 м/с3 .

Визначити середньошляхову

швидкість v в інтервалі часу від t1

12с до t2 16с.

1.15. Точка рухається за законом

x At Bt2 Ct3 , де

A 6 м/с ;

B 2 м/с2 ;

C 0,125 м/с3 .

Визначити

середньошляхову швидкість v в інтервалі часу від t1 2с

до t2 6с .

1.16. Прискорення тіла змінюється за законом a(t) A Dt. Записати закон, за яким змінюється з часом швидкість та координата цього тіла.

1.17. Швидкість тіла змінюється за законом v(t) A Dt2 .Знайтизалежністькоординативідчасу.Описати рухцьоготіла, якщо відомо, що A 0,5 м/c , а D 0,5 м/с3 .

1.18.Тіло рухається прямолінійно вздовж осі оХ і його прискорення змінюється за законом a(t) At Dt2 . Знайти закон рухутіла.

1.19.Рухоме тіло проходить n однакових проміжків шляху

зрізною швидкістю. Знайти v .

1.20.Рухометілопроходить n проміжківшляхуза однакові проміжки часу. Визначити v .

1.21.Тіло рухалось протягом часу . При цьому його

20

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]