Похибки вимiрювань, обробка та подання результатiв вимiрювань
Вимiрювання будь-якої фiзичної величини супроводжується похибками вiдхиленнями результату вимірювань вiд дiйсного значення вимiрюваної величини.
Чисельно похибки виражаються абсолютними ΔА й вiдносними А величинами:
,
,
де А – дiйсне значення вимiрюваної величини; Ах – результат вимiрювань.
Похибки виникають внаслiдок недосконалих методiв вимiрювання, обмеженої точностi засобiв вимiрювань, iндивiдуальних особливостей експериментатора.
У першому випадку похибки називають методичними. Вони є наслiдком недостатньо розробленої теорiї фiзичних явищ, якi закладено в основу методу вимiрювання, неточностi спiввiдношень, якi використовуються для знаходження вимiрюваної величини, впливу на режим роботи об'єкта пiд'єднаних приладiв тощо.
У другому випадку похибки називають iнструментальними, тобто похибками засобiв вимiрювання.
I нарештi, у третьому випадку похибки називають суб'єктивними. Вони пов'язанi, як правило, з особливостями органiв чуття експериментатора, його тренованiстю i досвiдом.
Будь-яка з перелiчених похибок вимiрювання мiстить систематичну й випадкову, адитивну й мультиплiкативну складовi.
Обробка результатiв вимiрювань має на метi дати оцiнку дiйсному значенню вимiрюваної величини й визначити ступiнь достовірності цiєї оцiнки.
Найбiльш точним значенням вимiрюваної величини А при наявностi тiльки випадкових похибок i багатократному її вимiрюваннi є середнє арифметичне, яке визначається так:
,
де a1, a2,…, an – результати окремих вимірювань; n – кількість вимiрювань.
Оцiнити точнiсть вимiрювання при цьому можна, знаючи закон розподiлу випадкових похибок.
Закон нормального розподiлу випадкових похибок, найбiльш розповсюджений у практицi вимiрювань, математично описується виразом:
,
де Р(Δ)
– густина
ймовiрностi випадкової абсолютної
похибки
Δ;
– середньоквадратичне вiдхилення;
– випадкове вiдхилення результату вiд
середнього арифметичного значення.
Величина σ характеризує ступiнь розкиду результату вiдносно середнього арифметичного, величину σ2 називають дисперсiєю. Оскiльки середнє арифметичне Асер володiє деякою випадковою похибкою, то вводять поняття середньоквадратичної похибки середнього арифметичного значення:
,
яке характеризує похибку результату вимiрювання. З даного виразу видно, що збiльшення кiлькостi повторних вимірювань приводить до зменшення середньоквадратичної похибки σAсер результату вимiрювань. А величина σAсер дозволяє зробити кiлькiсну оцiнку точностi результату вимiрювань.
Коли вiдомий закон розподiлу випадкових похибок, визначають iмовiрнiсть Р появи похибок, яка не виходить за деякi межi. Цi межi визначають iнтервал, який називають довiрчим iнтервалом, а iмовiрнiсть, яка його характеризує, називають довiрчою iмовiрнiстю.
Враховуючи, що кiлькiсть вимірювань n обмежена, для пiдвищення точностi результату необхiдно користуватися коефiцiєнтами Стьюдента tn.
Кiнцевий результат вимiрювання записують у виглядi
.
Часто доводиться мати справу з такими випадками, коли присутнi i випадкова середньоквадратична σAсер, i систематична похибки. Якщо одна з них у декiлька разiв більша, нiж друга, то вказують тiльки бiльшу похибку. Коли обидвi похибки можна порiвняти, дати точне визначення сумарної похибки досить важко. На практицi користуються поняттям верхньої межi сумарної похибки Σ, яка визначається виразом
.
При цьому можна стверджувати, що результати вимiрювань будуть вiдрiзнятися вiд дiйсного значення не бiльше нiж на Σ.
При непрямих вимiрюваннях, коли шукана величина є функцiєю вiд отриманих прямими вимiрюваннями величин, загальнi правила обчислення середньоквадратичної похибки визначають за допомогою диференцiальних рiвнянь.
Похибку вимiрювання величини А, яка є функцiєю змiнних В, С, D,..., записують у виглядi:
.
Так, якщо А=ВС, то середньоквадратична похибка
.
Похибку частки А=В/С обчислюють за формулою
.