2.2. Диференціальне числення функцій однієї змінної

Диференціювання функцій є найбільш ефективним методом їх дослідження. Вихідним моментом в оволодінні технікою диференціювання є засвоєння таблиці похідних основних елементарних функцій:

1)	5)	9)
2)	6)	10)
3)	7)	11)
4) ,	8)	12)

Основні правила диференціювання:

, (2.2.1)

, (2.2.2)

, (2.2.3)

, (2.2.4)

, (2.2.5)

, або , (2.2.6)

тобто похідна складної функції (або , ) дорівнює добутку похідної функції по проміжному аргументу на похідну проміжного аргументу по кінцевому аргументу х.

Диференціалом функції називається добуток похідної на диференціал змінної:

. (2.2.7)

Приклад 2.2.1. Знайти похідну функцій: ,.

Розв’язання. Похідна складної функції і, якщо , то .

Функція також є складною, тому згідно (2.2.6) маємо:

, або записуємо відразу:

.

Похідна неявної функції. Якщо функція задана рівнянням, то для знаходження похідноїпотрібно продиференціювати обидві частини цього рівняння, розглядаючияк функцію від, а потім отримане рівняння розв'язати відносно.

Інколи доцільно перед диференціюванням функції спочатку логарифмувати, а потім знайти похідну отриманої неявної функції. Такий спосіб називається логарифмічним диференціюванням. Завдяки йому значно спрощується знаходження похідних показниково-степеневих функцій .

Диференціювання функцій, заданих параметрично, тобто функцій виду , здійснюється за формулою

. (2.2.8)

Приклад 2.2.2. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Похідну параметрично заданої функції знайдемо за формулою (2.2.8): .

Приклад 2.2.3. Знайти похідну функції.

Розв’язання. Щоб знайти похідну неявної функції, продиференціюємо спочатку обидві частини цього рівняння, розглядаючи як функцію від : . Тоді. Звідси знайдемо : , або (якщо помножити чисельник і знаменник на).

Приклад 2.2.4. Знайти похідну функції .

Розв’язання. Спочатку логарифмуємо: , тобто.

Диференціюємо по ліву і праву частини одержаної рівності (враховуємо, що справа – добуток функцій):, звідки, або, тому що.

Зауважимо, що приклади  2.2.1, 2.2.3, 2.2.4 відповідають завданню  2.2 контрольної роботи.

Література: [1, с. 147 ‑ 169], [2, с. 160 ‑ 182], [3, с. 305 – 339], [8].

2.3. Застосування похідних для дослідження функцій

Дослідження функцій методами диференціального числення можна проводити у відповідності з такою схемою:

1. Знаходження області визначення функції і точок розриву.

2. Визначення парності або непарності функції, її періодичності.

3. Визначення точок перетину графіком функції осей координат та інтервалів знакосталості функції.

4. Уточнення поведінки функції в околах точок розриву, та при . Знаходження асимптот графіка функції.

5. Визначення інтервалів монотонності, екстремумів функції.

6. Визначення інтервалів опуклості та угнутості, точок перегину.

7. Побудова графіка функції.

Зупинимося на деяких пунктах дослідження докладніше.

Пряма називається асимптотою графіка функції , якщо відстань від точки на графіці до цієї прямої прямує до нуля при віддаленні точкиуздовж кривої в нескінченність. Розрізняють три види асимптот: вертикальні, горизонтальні, похилі. Якщо , то‑вертикальна асимптота (функція має розрив при ). Якщо (або ), то пряма (або ) є горизонтальною асимптотою. Похила асимптота має вигляд , де

, , (2.3.1)

якщо зазначені границі існують.

Точки області визначення функції, в яких похідна дорівнює нулеві або не існує, називаються стаціонарними (критичними). Інтервал, на якому похідна від’ємна, є інтервалом спадання; інтервал, на якому похідна додатна, є інтервалом зростання. Знайдені стаціонарні точки потрібно нанести на числову пряму і встановити знак першої похідної зліва і справа від стаціонарної точки. Так визначають проміжки монотонності і наявність екстремуму функції. Екстремуми мають місце лише в тих критичних точках, де виконується достатня умова існування екстремума: якщо при переході через стаціонарну точку похідна змінює свій знак, то в стаціонарній точці є екстремум. Це максимум, якщо знак змінюється з плюса на мінус, і мінімум, якщо знак змінюється з мінуса на плюс.

Якщо друга похідна (тобто похідна від першої похідної) на інтервалі додатна, то графік функції угнутий, якщо друга похідна – від’ємна, то графік функції опуклий. Точки (де функція визначена), що розділяють інтервали опуклості й угнутості, називаються точками перегину. Друга похідна (якщо вона існує) в точці перегину дорівнює нулю.

Приклад 2.3.1. Знайти інтервали монотонності та екстремуми функції , а також інтервали опуклості і точки перегину.

Розв’язання. Маємо . Стаціонарна точка: . Щоб знайти інтервали, де (або ) скористаємось методом інтервалів розв’язання нерівностей. Для цього нанесемо на вісь стаціонарні точки і (наприклад, за допомогою підстановки у контрольних точок) з’ясуємо знак похідної на кожному інтервалі:

– +

2

Рис. 2.3.1 – Знаки похідної за методом інтервалів

При (контрольна точка, ) , а при(контрольна точка, ) . Отже, функція спадає на интервалі та зростає на интервалі.

При переході через точку знак похідної змінюється з“ - ” на “ + ”, отже ‑ точка мінімуму. При цьому .

Знайдемо інтервали опуклості графіка функції: , отже фунція є угнутою приі не має точок перегину.

Приклад 2.3.2. Засобами диференціального числення дослідити функцію та побудувати її графік.

Розв’язання. 1. Область визначення функції: . – точка розриву функції.

2. Функція – не парна (бо ) і не непарна (бо). Функція – не періодична.

3. Функція перетинає осі координат в точці . при , і при .

4. Оскільки , то – вертикальна асимптота. Оскільки , то горизонтальної асимптоти немає.Знайдемо похилі асимптоти графіка функції:

; , таким чином, – похила асимптота.

5. Знайдемо проміжки зростання, спадання і точки екстремуму.

Похідна (за (2.2.5)):

.

В точці похідна функції не існує, а в точкахі похідна .Точки розбивають область визначення функції на інтервали,,і.

при , значить функція зростає на цих інтервалах.

на інтервалах і , значить функція спадає на цих інтервалах.

–точка максимуму і .

–точка мінімуму і .

6. Знайдемо проміжки опуклості, угнутості і точки перегину.

Друга похідна:

.

в усіх точках з області визначення функції. Точка розриву функції розбиває область визначення на два інтервали і .

Якщо , то – графік функції є опуклим.

Якщо , то– графік функції є угнутим.

Точок перегину немає.

Всі дані заносимо в таблицю 2.3.1.

Таблиця 2.3.1 – Дослідження функції

	+	0	–	не існує	–	0	+
	–	–	–	не існує	+	+	+
	< 0	= ‑ 8 max	< 0	не існує	> 0	= 0 min	> 0

7. Побудуємо графік функції:

Рис. 2.3.2 – Графік функції

Зауважимо, що приклад  2.3.2 відповідає завданню  2.3 контрольної роботи.

Література: [1, с. 170 ‑ 196], [2, с. 191 ‑ 216], [3, с. 401 – 416], [9].