Ознака Даламбера. Якщо для знакододатного ряду існує

(6.1.5)

(границя відношення наступного члена до попереднього), то

• якщо , то ряд збігається;

• якщо , то ряд розбігається;

• якщо , то про збіжність (розбіжність) ряду нічого сказати не можна (слід скористатися іншими ознаками збіжності рядів).

Цю ознаку рекомендується використовувати, якщо загальний член досліджуваного ряду містить показникові або факторіальні елементи відносно номера .

Радикальна ознака Коші. Якщо для ряду, загальний член якого , існує

, (6.1.6)

то

• якщо , то ряд збігається;

• якщо , то ряд розбігається;

• якщо , то про збіжність (розбіжність) ряду нічого сказати не можна (слід скористатися іншими ознаками збіжності рядів).

Дану ознаку рекомендується застосовувати, якщо загальний член ряду є показниково-степеневою функцією відносно .

Інтегральна ознака Коші. Якщо функція ‑ неперервна, є незростаючою іпри(де), то рядзбігається або розбігається одночасно з невласним інтегралом.

Умовам цієї ознаки до функції задовольняєузагальнений гармонійний ряд . Через те, що невласний інтеграл=,

то ряд збігається при, і розбігається при.

Збіжність знакопереміжних числових рядів досліджують заознакою Лейбніца. Якщо

• розпочинаючи з деякого номера, члени ряду, взяті за абсолютним значенням, зменшуються при зростанні їх номера ;

• ,

то ряд збігається.

Приклад  6.1.1. Дослідити на збіжність числові ряди: 1)  , 2)  , 3), 4), 5), 6).

Розв’язання. 1)  Обчислимо границю загального члена ряду: . Ряд розбігається, бо необхідна умова збіжності (6.1.3) не виконується.

2)  Границя загального члена ряду не існує, тобто необхідна умова збіжності (6.1.3) не виконується. Значить, ряд розбігається.

3)  Ряд є знакододатним, бо загальний член ряду (факторіал, див. також розділ 8). Наступний член, відношення наступного члена до попереднього. Тоді границя (6.1.5): . Отже, ряд розбігається за ознакою Даламбера.

4)  Загальний член ряду . Значить,, і границя (6.1.6): . Отже ряд збігається за радикальною ознакою Коші.

5)  Порівняємо ряд ізгармонійним рядом .;, тоді границя (6.1.4): . Отже, за граничною ознакою порівняння досліджуваний ряд розбігається, оскільки гармонійний ряд розбігається за інтегральною ознакою Коші. (Можна було застосувати інтегральну ознаку Коші зразу до вихідного ряду).

6)  Ряд є знакопереміжним. Оскільки,, то і . Отже, досліджуваний ряд збігається за ознакою Лейбніца.

Література: [1, с. 362 ‑ 376], [2, с. 659 ‑ 673], [4, с. 214 – 246], [15].

6.2. Степеневі ряди

Степеневий ряд

(6.2.1)

(,‑ задані числа) збігається при, де‑ центр інтервалу (в цій точці ряд набуває вигляду, отже завжди збігається), а‑ радіус збіжності. Для знаходження інтервалу збіжності степеневого ряду можна застосовувати ознаку Даламбера, або радикальну ознаку Коші до знакододатного ряду. Наприклад, застосовуючи ознаку Даламбера до цього ряду, отримаємо умову для визначення інтервалу збіжності степеневого ряду (6.2.1):

. (6.2.2)

Розв’язуючи цю нерівність відносно , знаходимо інтервал збіжності . Множина збіжності або співпадає з цим інтервалом, або є одним із проміжків ,,. Якщо степеневий ряд збіжний лише при, то його радіус збіжності. Якщо ряд збіжний при будь-якому, то.

Степеневі ряди є узагальненням багаточленів і широко застосовуються в науці. Це пов’язано з можливістю представлення багатьох функцій, зокрема всіх елементарних функцій у вигляді сум степеневих рядів, що називаються рядами Тейлора (Маклорена, якщо ). Наприклад,

, (6.2.3)

, . (6.2.4)

За допомогою розкладу функцій в ряд Тейлора можна з будь-якою точністю обчислити значення функцій, інтегралів, границь і т.д. Саме на цьому грунтуються всі обчислення, що виконуються компьютерами з елементарними та спеціальними функціями.

Приклад  6.2.1. Знайти множину збіжності степеневих рядів: 1)  , 2)  , 3)  .

Розв’язання. 1)  Тут ,‑ центр інтервалу збіжності.Оскільки ,, то (при) . Значить, за ознакою Даламбера ряд збігається, якщо. Тобто, якщо, або, то степеневий ряд збігається. До того ж за ознакою Даламбера якщо , то ряд розбігається. Залишилось дослідити збіжність ряду на кінцях інтервалу (там, де).

При маємо знакододатний ряд, який збігається за інтегральною ознакою Коші. Примаємо знакопереміжний ряд, який збігається за ознакою Лейбніца. Таким чином, множина збіжності ряду являє собою відрізок. Тобто рядзбігається, якщо, і розбігається, якщо. (Радіус збіжності).

2)  Тут ,.Оскільки ,, то (при) . Отже, за ознакою Даламбера ряд розбігається при всіх , а збігається лише в точці . (Радіус збіжності).

3)  Тут ,.Оскільки ,, то (при) . Отже за ознакою Даламбера ряд збігається при всіх . (Радіус збіжності ).

Література: [1, с. 377 ‑ 380], [2, с. 626 ‑ 676], [4, с. 247 – 262], [15].