3.2. Невласні інтеграли

Інтеграли з нескінченними межами інтегрування й інтеграли від розривних функцій називаються невласними. Невласний інтеграл з нескінченною верхньою межею функції (неперервної при ):

. (3.2.1)

Якщо ця границя існує і є скінченною, то невласний інтеграл називається збіжним, у протилежному випадку - розбіжним. Аналогічно визначається невласний інтеграл із нескінченною нижньою межею,

, (3.2.2)

а також із двома нескінченними межами:

. (3.2.3)

Якщо неперервна при і, то

. (3.2.4)

Приклад  3.2.1. Дослідити на збіжність невласні інтеграли: 1)  , 2), 3), 4)  .

Розв’язання. 1)  .

Границя існує і скінченна, тому невласний інтеграл збігається.

2)  . Границя існує і скінченна, тому невласний інтеграл збігається.

3)  . Границі не існують, тому невласний інтеграл розбігається.

4)  . Границя існує, але нескінченна, тому невласний інтеграл розбігається.

Зауважимо, що приклад  3.2.1 відповідає завданню  3.2 контрольної роботи.

Література: [1, с. 253 ‑ 255], [2, с. 375 ‑ 382], [3, с. 559 – 565], [11].

3.3. Застосування визначених інтегралів

Інтеграли (робота змінної силина відрізку), (маса лінійного стержня з неоднорідною густиною на відрізку) і(довжина шляху, який пройшла матеріальна точка, що рухалась прямолінійно із змінною швидкістювпродовж часу) виражають різні аспектифізичного змісту визначеного інтеграла.

Площа фігури, обмеженої знизу і зверху двома неперервними кривими і(), а зліва і справа – відповідно прямими ,, обчислюється за формулою:

. (3.3.1)

Для однорідної (з постійною густиною маси) криволінійної трапеції ‑ фігури, обмеженої неперервною кривою , віссюта двома прямимиі, координатицентра маси:

, , (3.3.2)

де – площа криволінійної трапеції.

При обертанні цієї криволінійної трапеції навколо вісі отримаємо тіло,об'єм якого

. (3.3.3)

Приклад  3.3.1. За допомогою інтегрального числення для обмеженої лініями плоскої фігури: а)  обчислити площу, б)  знайти координати центра ваги, якщо густина маси , в)  обчислити об’єм тіла, що утворюється при обертанні фігури навколо вісі.

Розв’язання. Криволінійна трапеція обмежена зверху – параболою , знизу ‑ віссю та проектується на відрізокосі.

Рис. 3.3.1 ‑ Криволінійна трапеція

а)  Площа згідно (3.3.1):

(кв. од.),

б)  Координати центра мас за формулами (3.3.2): ,

в)  Об’єм тіла обертання згідно (3.3.3): (куб. од.)

Зауважимо, що приклад  3.3.1 відповідає завданню  3.3 контрольної роботи.

Література: [1, с. 256 ‑ 272], [2, с. 339 ‑ 365], [3, с. 577 – 581], [11].

Модуль 4 диференціальні рівняння

4.1. Розв’язання диференціальних рівнянь деяких типів

Рівняння, в яких є незалежні змінні, невідома функція однієї змінної і її похідні (або диференціали), називається звичайним диференціальним. Порядок диференціального рівняння – це порядок найвищої похідної. Диференціальне рівняння першого порядку має вигляд: , або, другого порядку:, або.Розв’язком диференціального рівняння на інтервалі називається диференційовна на цьому інтервалі функція, яка перетворює це рівняння на тотожність при всіх. Відповідноінтеграл – це розв’язок у неявному вигляді. Загальний розв’язок рівняння n-го порядку містить п довільних незалежних постійних.

Диференціальне рівняння

, (4.1.1)

або

(4.1.2)

називається рівнянням з відокремлюваними змінними. Після відокремлення змінних (ураховуючи, що ), тобто отримання рівняння(або) залишається здійснити інтегрування кожної частини за відповідною змінною. Одержимо загальний інтеграл, (або).

Однорідне диференціальне рівняння першого порядку

(4.1.3)

можна привести до рівняння з відокремлюваними змінними за допомогою підстановки

, або ,. (4.1.4)

Лінійне рівняння має вигляд

, (4.1.5)

причому якщо , то лінійне рівняння є однорідним, у протилежному випадку – неоднорідним. Розв’язання лінійного неоднорідного рівняння зводиться до розв’язання двох рівнянь з відокремлюваними змінними за допомогою заміни:

, (4.1.6)

де – допоміжні функції. Тоді, і вихідне рівняння набуває виду:. Одну із допоміжних функцій, наприклад, можна обрати довільно, припустимо такою, щоб вираз в квадратних дужках дорівнював нулеві. Тоді матимемо два рівняння:і. Підстановка частинного розв’язку першого рівняннядозволяє знайти загального розв’язокдругого рівняння з відокремлюваними змінними. Після чого можна записати загальний розв’язок вихідного рівняння:.

Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами має вид:

, (4.1.7)

де і– числа,‑ функція. Структура загального розв’язку цього рівняння залежить від характеру коренівхарактеристичного рівняння.

• Якщо корені різні і дійсні (характеристичне рівняння має дискримінант), то

, (4.1.8)

де – довільні сталі.

• Якщо корені характеристичного рівняння рівні і дійсні (), то

. (4.1.9)

• Якщо , то кореніхарактеристичного рівняння є комплексно-спряженими (дивись розділ 7 та приклад 7.1.7) числами, і тоді

. (4.1.10)

Приклад 4.1.1. Знайти загальний розв’язок (або загальний інтеграл) диференціальних рівнянь першого порядку: 1)  , 2).

Розв’язання. 1)  З рівняння виразимо похідну:. Таким чином, це диференціальне рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними (4.1.2) (у даному випадку,). Враховуючи, що, відокремимо змінні:. Тепер можна інтегрувати:,(бо). Отримаємо: ‑ загальний інтеграл диференціального рівняння. Записуючи довільну постійну у вигляді , маємо:,, тобто ‑ загальний розв'язок.

2)  Рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними (4.1.1) (у даному випадку ,,,). Відокремимо змінні: .Тепер можна інтегрувати: ,,(бо ,). Отримаємо: ,, отже ‑ загальний інтеграл.

Приклад 4.1.2. Знайти загальний розв’язок (або загальний інтеграл) диференціальних рівнянь першого порядку: 1)  , 2)  .

Розв’язання. 1)  Бачимо, що є функцією відношення, тобто рівнянняє однорідним (має вид(4.1.3)). Вводимо нову функцію , тодіі. Вихідне рівняння перетворюється в рівняння звідокремлюваними змінними: , або,, звідки. Змінні відокремлено, отже можна інтегрувати: , . Значить, . Отже, ‑ загальний розв'язок.

2)  Виразимо похідну , тоді рівнянняматиме вигляд:, а після ділення чисельника і знаменника правої частини наматимемо:

. (4.1.11)

Бачимо, що є функцією відношення, тобто дане рівняння – однорідне. Вводимо нову функцію, тодіі. Рівняння(4.1.11) перетворюється на рівняння з відокремлюваними змінними: , або,, звідки,. Після інтегрування кожної частини за своєю змінною одержимо:, або, звідки. Якщо замінити в останній рівностівідношенням, то остаточно знаходимо загальний інтеграл вихідного рівняння:.

Приклад 4.1.3. Знайти загальний розв’язок (або загальний інтеграл) диференціальних рівнянь першого порядку: 1)  , 2)  .

Розв’язання. 1)  Диференціальне рівняння є лінійним неоднорідним рівнянням (4.1.5) (у даному випадку ,). Покладаємо , тоді. Підставляємотау вихідне рівняння:. Після групування маємо:. Обираємо функціютак, щоб вираз у дужках дорівнював нулеві. Дістанемо два рівняння з відокремлюваними змінними:і, абоі. Проінтегруємо:,. Значить,‑ частинний розв’язок (при) першого рівняння. Підставляємо знайдену функціюу друге рівняння:, звідки. Інтегруючи, знайдемо функцію:,,‑ загальний розв’язок другого рівняння. Отже,, і‑ загальний розв’язок лінійного рівняння.

2)  Диференціальне рівняння є лінійним неоднорідним рівнянням (4.1.5) (у даному випадку ,). Покладаємо , тодіі дане рівняння набуває виду:. Обираємо функціютак, щоб вираз у дужках дорівнював нулеві. Дістанемо два рівняння з відокремлюваними змінними:і. Знаходимо частинний розв’язок першого рівняння:,,. Підстановка знайденої функціїу друге рівняння приводить до рівняння:, звідки, або. Інтегрування останнього дає. Тоді шуканий загальний розв’язок вихідного рівняння:, тобто.

Приклад 4.1.4. Знайти загальний розв’язок лінійних однорідних диференціальних рівнянь другого порядку зі сталими коефіцієнтами: 1)  , 2)  , 3)  .

Розв’язання. 1)  Запишемо характеристичне рівняння: . Тоді, і, отже,‑ дійсні різні корені характеристичного рівняння. Значить, згідно (4.1.8)‑ загальний розв’язок диференціального рівняння (– довільні сталі).

2)  Запишемо характеристичне рівняння: ,або . Тоді (), і таким чином за (4.1.9) ‑ загальний розв’язок диференціального рівняння (– довільні сталі).

3)  Характеристичне рівняння: . Тоді, і ‑комплексно-спряжені корені характеристичного рівняння (). Значить, за (4.1.10) ‑ загальний розв’язок диференціального рівняння (– довільні сталі).

Зауважимо, що приклади  4.1.1 – 4.1.4 відповідають завданню  4.1 контрольної роботи.

Література: [1, с. 407 ‑ 457], [2, с. 501 ‑ 580], [4, с. 5 – 121], [12].