9.2 Коэффициент ранговой корреляции rS спирмена

Назначение критерия ранговой корреляции Спирмена

Метод ранговой корреляции Спирмена позволяет определить тес­ноту (силу) и направление корреляционной связи между двумя призна­камиилидвумя профилями (иерархиями)признаков.

Для подсчета ранговой корреляции необходимо располагать двумя рядами значений, которые могут быть проранжированы. Такими рядами значений могут быть [11]:

1) Два признака,измеренные в одной и той же группе испытуемых.

Здесь ранжируются ин­дивидуальные значения по первому признаку, полученные разными ис­пытуемыми, а затем индивидуальные значения по второму признаку.

Если два признака связаны положительно, то испытуемые, имею­щие низкие ранги по одному из них, будут иметь низкие ранги и по другому, а испытуемые, имеющие высокие ранги по одному из призна­ков, будут иметь по другому признаку также высокие ранги.

В случае отрицательной корреляции низким рангам испытуемых по одному признаку будут соответствовать высокие ранги по другому признаку, и наоборот.

2) Две индивидуальные иерархии признаков,выявленные у двух испы­туемых по одному и тому же набору признаков (например, личност­ные профили по 16-факторному опроснику Р. Б. Кеттелла, иерархии ценностей по методике Р. Рокича, последовательности предпочтений в выборе из нескольких альтернатив и др.).

Здесь ранжируются индивидуальные значения, полученные каждым из 2-х испытуемых по определенному (одинаковому для них обоих) набору признаков. Первый ранг получит признак с самым низким значением; второй ранг – признак с более высоким значением и т.д. Очевидно, что все признаки должны быть измерены в одних и тех же единицах, иначе ранжирование невозможно.

Если индивидуальные иерархии двух испытуемых связаны поло­жительно, то признаки, имеющие низкие ранги у одного из них, будут иметь низкие ранги и у другого, и наоборот. Например, если у одного испытуемого фактор Е(доминантность) имеет самый низкий ранг, то и у другого испытуемого он должен иметь низкий ранг, если у одного испытуемого факторС(эмоциональная устойчивость) имеет высший ранг, то и другой испытуемый должен иметь по этому фактору высокий ранг и т.д.

3) Две групповые иерархии признаков.

Здесь ранжи­руются среднегрупповые значения, полученные в 2-х группах испытуе­мых по определенному, одинаковому для двух групп, набору признаков. В дальнейшем линия рассуждений такая же, как и в предыдущих двух случаях.

4) Индивидуальная и групповаяиерархии признаков.

Здесь ранжируются отдельно индивидуальные значения испытуемого и среднегрупповые значения по тому же набору признаков, которые полу­чены, как правило, при исключении этого отдельного испытуемого, – он не участвует в среднегрупповом профиле, с которым будет сопоставляться его индивидуальный профиль. Ранговая корреляция позволит проверить, насколько согласованы индивидуальный и групповой профили.

Во всех четырех случаях значимость полученного коэффициента корреляции определяется по количеству ранжированных значений N.В первом случае это количество будет совпадать с объемом выборкип. Во втором случае количеством наблюдений будет количество признаков, составляющих иерархию. В третьем и четвертом случаеN –это также количество сопоставляемых признаков, а не количество испытуемых в группах.

Возможны два варианта гипотез. Первый относится к первому случаю, второй – к трем остальным случаям.

Первый вариант гипотез

Н₀: Корреляция междупеременными А и Bне отличается от нуля.

Н₁: Корреляция междупеременными А и Bдостоверно отличается от нуля.

Второй вариант гипотез

Н₀: Корреляция междуиерархиями А и Bне отличается от нуля.

Н₁: Корреляция междуиерархиями А и Bдостоверно отличается от нуля.

(Курсивом в гипотезах выделены и подчеркнуты слова, которые меняются при формулировке гипотез к конкретной задаче.)

Условия для применения коэффициента корреляции Спирмена

1. Сравниваемые переменные должны быть получены в порядковой, интервальной шкалах или в шкале отношений.

2. Характер распределения коррелируемых величин не имеет значения.

3. Число варьирующих признаков должно быть одинаковым и находиться в пределах от 5 до 40.

4. В случае если есть много повторяющихся рангов, то необ­ходимо вносить поправку на одинаковые ранги.

Алгоритм подсчета коэффициента ранговой корреляции Спирмена r_s

1. Определить два признака или две иерархии АиB.

2. Проверить, выполняются ли ограничения, и сформулировать гипотезы.

3. Проранжировать значения переменной А, начисляя ранг 1 наимень­шему значению, в соответствии с правилами ранжирования. Занести ранги в первый столбец таблицы по порядку номе­ров испытуемых или признаков.

4. Проранжировать значения переменной Ви занести ранги во второй столбец таблицы.

5. Подсчитать разности dмежду рангамиАиBпо каждой строке таблицы и занести в третий столбец таблицы.

6. Вычислить d².Эти значения занести в четвертый столбец таблицы.

7. Вычислить d².

8. При наличии одинаковых рангов рассчитать поправки:

(9.1)

(9.2)

где a₁, a₂, … –объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом рядуА,

b₁, b₂, … – объем каждой группы одинаковых рангов в ранговом рядуB.

9. Рассчитать коэффициент ранговой корреляции rпо формуле:

а) при отсутствии одинаковых рангов:

; (9.3)

б) при наличии одинаковых рангов:

. (9.4)

10. Определить по таблице критические значения r_sдля данногоn. Для процесса принятия решения вычертить «ось значимости». Еслиrпревышает критическое значение или по крайней мере равен ему, корреляция достоверно отличается от 0.

Задача 9.1

Психолог выясняет, как связаны между собой индивидуальные показатели готовности к школе, полученные до начала обучения в школе, у 11 первоклассников по 100-бальной шкале и их средняя успеваемость в конце учебного года по 5-бальной шкале.

Решение

Для решения задачи были проранжированы показатели готовности к школе и средняя успеваемость первоклассников. Данные и результаты решения занесены в таблицу 9.2.

Гипотезы к задаче

Н₀: Корреляция между показателем готовности к школе и средней успеваемостью в конце учебного года не отличается от нуля.

Н₁: Корреляция между показателем готовности к школе и средней успеваемостью в конце учебного года статистически значимо отличается от нуля.

Таблица 9.2

Испытуемый	Показатели готовности к школе		Средняя успеваемость в конце учебного года		d	d2
	Значения	Ранг	Значения	Ранг
1	65	3	4,3	2	1	1
2	70	5	4,7	7	-2	4
3	71	6	4,75	8	-2	4
4	50	1	4,35	3	-2	4
5	68	4	4,5	4	0	0
6	83	11	4,68	6	5	25
7	78	9	5	11	-2	4
8	62	2	3,5	1	1	1
9	75	8	4,9	10	-2	4
10	72	7	4,6	5	2	4
11	80	10	4,8	9	1	1
Суммы	774	66	50,08	66	0	52

Значение эмпирического критерия находим по формуле (9.3):

.

Определим критические значения r_sприn = 11 по таблице 2 Приложения 1:

.

Подчеркнем, что в таблице критических значений все величины коэффициентов корреляции даны по абсолютной величине. Знак коэффициента учитывается только при его интерпретации.

«Ось значимости»

Ответ

r_{s эмп} =0,76, нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная гипотеза (=0,01). Корреляция между показателем готовности к школе и средней успеваемостью в конце учебного года отличается от нуля. Можно утверждать, что показатели школьной готовности и итоговые оценки первоклассников связаны положительной корреляционной зависимостью – чем выше показатель школьной готовности, тем лучше учится первоклассник.