Предел и непрерывность функций многих переменных Дифференцируемость функции многих переменных

Экстремум функции многих переменных Метод наименьших квадратов

4.1.Предел и непрерывность функций многих переменных

На случай функций нескольких переменных можно распространить многие понятия и утверждения, установленные выше для функций одной переменной.

4.1.1. Понятие функции многих переменных.

Определение 4.1. Если каждой точке M (x1 , x2 ,..., xn )

некоторой области D из пространства Rn соответствует

Множество D называется областью определения функции и обозначается D( f ) . Обычно под областью определения аналитически заданной функции подразумевается ее естественная область определения.

z = f (x, y) .

С геометрической точки зрения данное множество

В некоторых случаях наглядное представление о функции двух переменных может дать картина ее линий уровня.

называется множество точек (x, y) плоскости x0 y, удовлетворяющих равенству f (x, y) = C , где C − постоянная, т.е. такая линия плоскости x0 y, в точках которой функция принимает одно и то же значение z = C .

Пусть, например, y = f (x1 , x2 ) есть производственная функция, зависящая от двух факторов x1 и x2 . Линии уровня задаются уравнением f (x1 , x2 ) = C , где C ― постоянная. Эти

линии в экономической литературе называют изоквантами (кривые постоянного выпуска).

Таким образом, изокванта ― это геометрическое место точек (x1 , x2 ) из R2 , которым соответствует один и тот же

уровень продукции. Иногда эти линии называют кривыми

взаимозаменяемости ресурсов.

Линию уровня можно построить, спроектировав на плоскость x0 y множество точек пространства R3 , лежащих в пересечении поверхности z = f (x, y) и плоскости z = C . Придавая постоянной C различные значения, C1 , C1 + h, C1 + 2h,.., получим ряд линий уровня, которые дают

наглядное представление о поведении рассматриваемой функции. Там, где линии расположены гуще, поверхность, изображающая функцию, будет круче (это означает, что функция изменяется быстрее), а там, где линии реже, функция изменяется медленнее.

Лекция № 3 Функции многих переменных проф. Дымков М. П. 4

4.1.3. Предел функции двух переменных в точке.

Определение 4.4. Говорят, что последовательность точек

Пусть функция z = f (x, y) определена в некоторой окрестности точки M 0 , за исключением быть может самой точки M 0 .

Определение 4.5. Число A называется пределом функции

f (x, y) в точке M 0 , если для любой последовательности

точек M1 , M 2 ,...M n ,..., сходящейся к точке M 0 ,

соответствующая последовательность значений функции f (M1 ), f (M 2 ),… f (M n ),…, сходится к числу А :

A = lim f (M ).

M →M0

Важно, что предел функции существует, если он не зависит от пути устремления точек M1 , M 2 ,...M n ,..., к

точке M 0 .

Лекция № 3 Функции многих переменных проф. Дымков М. П. 5

Поскольку пределы последовательностей различны, то данная

выполняется неравенство f (M ) − A < ε.

Теорема 4.1 (арифметические операции над пределами).

Теорема 4.2 (ограниченность функций, имеющих предел). Если функция z = f (M ) имеет в точке M 0 конечный предел, то существует окрестность точки M 0 , в которой функция ограничена.

Теорема 4.3. Если функция z = f (M ) имеет в точке M 0

4.1.3.Непрерывность функции двух переменных.

Определение 4.7. Функция z = f (x, y) называется непрерывной в точке M 0 (x0, y0 ), если она определена в самой точке M 0 и некоторой ее окрестности и выполняется

равенство lim f (M ) = f (M 0 ), т.е. предел функции в точке

M →M0

равен значению функции в этой точке.

Теорема 4.4. Сумма, разность и произведение

непрерывная функция, при условии, что знаменатель в точке

Замечание. Можно говорить о непрерывности f (x, y) по каждой переменной и по совокупности двух переменных. Взаимотношение этих понятий сложное. Например, может быть непрерывность по каждой переменной в отдельности, а по совокупности переменных нет.