© БГЭУ Лекция № 2 |
Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. |
28 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В экономических исследованиях часто используется понятие эластичности функциии.
Определение. Эластичностью функции Ex (y) называется предел отношения относительного приращения функции y = f (x) к относительному приращению аргумента х при ∆x →0 :
|
∆y |
|
|
|
|
|
|
|
Ex (y) = lim |
y |
= |
x |
lim |
∆y |
= |
x |
y′. |
∆x |
|
∆x |
|
|||||
∆x→0 |
|
y ∆x→0 |
|
y |
||||
x
Если эластичность функции представить в виде
∆y 100%
Ex (y) = ∆limx→0 ∆yx 100% , x
то легко увидеть, что эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится функция y = f (x) при изменении независимой
переменной х на 1%.
Пользуясьпонятиемдифференциала, эластичность можно представить иначе:
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
Ex (y) = |
x |
dy |
= |
|
y |
|
= d(ln y) . |
|
|||
|
dx |
|
|
||||||||
|
y dx |
|
|
|
|
|
d(ln x) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
Геометрическая интерпретация |
|
||||||||||
Эластичность функции y = f (x) можно найти из графика этой функции. |
|||||||||||
По определению эластичности Ex (y) = |
|
x |
y′ |
= |
x |
tgα , где |
α - угол наклона |
||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
y |
|
|||
касательной к функции y = f (x) в точке
Из треугольника ACD :
CDAC = ACy0 =sin(π −α) =sinα .
Из треугольника BCL:
BCLC = BCx0 = cos(π −α) = −cosα
Откуда, |
|
|
|
|
||||
BC |
|
|
x0 |
|
|
x0 |
|
|
−cosα |
|
|
′ |
|||||
AC = y0 |
|
= − y |
||||||
|
f (x0 ) = −Ex (y) |
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
sinα |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||
С(x0, y0 ) (рис. 20).
|
y |
В |
y = f ( x ) |
|
|
L |
C( x0 , y0 ) |
|
π −α |
α x |
D |
A |
Рис. 20.
© БГЭУ Лекция № 2 Исследование функций с помощью производных проф. Дымков М. П. 29
т.е. эластичность убывающей функции равна отношению расстояний по касательной от точки С с координатами (x0, y0 ) до ее пересечения с осями
ординат и абсцисс, взятому со знаком минус. Таким образом, если аккуратно построить график функции y = f (x) и провести касательную к кривой в
исследуемой точке С(x0, y0 ), можно приблизительно определить величину эластичности функции в этой точке.
Свойства эластичности функции
Пусть функция y = f (x) имеет конечную или бесконечную производную на промежутке. Вспомним, что производная есть отношение дифференциалов
y′= |
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Эластичность есть безразмерная величина |
Ex (y) = Eax (by) . |
|||||||||||||||
|
◄Доказательство очевидно: Eax (by) = ax |
d(by) |
= |
x |
dy = |
x |
y′.► |
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
by d(ax) |
|
y dx |
y |
|||
|
2. Эластичности взаимно обратных функций есть взаимно обратные |
||||||||||||||||
величины |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex (y) = |
1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ey (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
◄Ex (y) = |
x |
dy = |
|
1 |
= |
1 |
.► |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
y dx |
|
Ey (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
x dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
3. Эластичность произведения функций u =u(x) |
и v = v(x) равна сумме их |
|||||||||||||||
эластичностей |
|
Ex (uv) = Ex (u) + Ex (v). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
◄При доказательстве свойства воспользуемся следующим свойством |
|||||||||||||||||||||||||||||||
дифференциала d(uv) = v du +u dv . Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Ex (uv) = |
|
x d(uv) |
= |
x |
vdu +udv = |
x |
du + |
x |
dv |
= Ex (u) + Ex (v) .► |
|||||||||||||||||||||
uv |
dx |
|
uv |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
u dx |
|
|
v dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
4. Эластичность отношения функций |
|
u =u(x) и v = v(x) |
равна разности |
||||||||||||||||||||||||||||
их эластичностей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ex |
= Ex (u) − Ex (v) . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
◄Доказательство аналогично: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
x |
|
d |
|
|
x vdu −udv |
|
x du |
|
x dv |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
E |
x |
( |
) = |
|
v |
= |
= |
− |
= E |
x |
(u) − E |
x |
(v) .► |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
v |
|
u |
|
dx |
|
u |
|
v2dx |
u dx |
v dx |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
© БГЭУ Лекция № 2 |
Исследование функций с помощью производных |
проф. Дымков М. П. |
30 |
5. Эластичность суммы функций u =u(x) и |
v = v(x) равна сумме их |
||
эластичностей, взятых с соответствующими весами:
Ex (u +v) = u u+v Ex (u) + u +v v Ex (v) .
◄Доказательство |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Ex (u +v) = |
|
|
x d(u +v) |
= |
x du u |
+ |
x dv v |
= |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
u +v dx |
u +v dx u |
u +v dx v |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
► |
||||||||||||
|
u |
|
x |
du |
+ |
v |
|
x |
dv |
= |
|
u |
Ex (u) + |
v |
Ex (v) |
||||||
|
u +v |
|
u +v |
|
u +v |
u +v |
|||||||||||||||
|
|
u dx |
|
|
|
v dx |
|
|
|
|
|
||||||||||
Эластичность элементарных функций
Вычислим эластичности некоторых функций.
1. |
Степенная функция y = xα . Ее эластичность: |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
α |
x d(xα ) |
|
|
x αxα−1dx |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Ex (x ) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
=α . |
|
||||
|
α |
|
dx |
|
|
|
|
α |
|
dx |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||
2. |
Показательная функция |
y = ax . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ex (ax ) = |
x |
d(ax ) |
= |
|
|
x |
ax ln a dx = xln a . |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
ax |
dx |
|
|
|
ax |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
Логарифмическая функция y = ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Ex (ln x) = |
|
x |
|
|
d(ln x) |
= |
1 |
|
. |
|
|
|||||||||||
|
ln x |
|
|
dx |
ln x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
Линейная функция y = ax +b . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Ex (ax +b) = |
|
x d(ax +b) |
= |
|
ax |
. |
||||||||||||||||
|
ax +b |
|
|
dx |
|
ax +b |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Функция в зависимости от величины своей эластичности может быть
совершенно эластичная |
|
Ex (y) |
|
= +∞ |
||||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
эластичная |
1< |
|
Ex (y) |
|
< +∞ |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
неэластичная |
0 < |
|
Ex (y) |
|
<1 |
|||||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
||||||||||
совершенно неэластичная |
|
Ex (y) = 0 |
||||||||||
Эластичность функций применяется, например, при анализе спроса и потребления, в процессе анализа проектных рисков в ходе исследования изменений критериев оценки проектной эффективности в зависимости от изменений факторов риска.