© БГЭУ Лекция № 9 Дифференциальные уравнения 2-го порядка проф. Дымков М.П. 1

Краткие сведения теории ЛНДУ 2-го порядка

Определение Дифференциальное уравнение вида y′′+ py′+ qy = f (x), (1)

где p, q—константы, f (x)—заданная функция называется линейным неоднородным дифференциаль-

ным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.

Как устроено общее решение ЛНДУ ?

Теорема (структура общего решения ЛНДУ).

Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения ЛНДУ (1) есть сумма

некоторого частного решения y *(x) неоднородного ДУ

Как искать частное решение неоднородного ДУ?

Укажем для специального вида правой части f (x)!!

© БГЭУ Лекция № 9 Дифференциальные уравнения 2-го порядка проф. Дымков М.П. 3

в) Пусть число λ = 0 является корнем (двухкратным !)

(в этом случае оно имеет вид λ2 = 0)!

Тогда частное решение для неоднородного уравнения

Далее используется процедура пункта а).

Пример. Найти общее решение дифференциального

уравнения y′′− 2 y′+ 2 y = x2.

Решение. 1)Ищем общее решение для y′′− 2 y′+ 2 y = 0.

Значит, общее решение однородного уравнения есть yобщ = ex (C1 sin x +C2 cos x).

2) Для нахождения частного решения неоднородного уравнения используем специальный вид правой части

Pn (x) = x2 , n = 2.

Так как среди корней характеристического уравнения нет λ = 0, то множители x и x2 отсутствуют, значит, ищем частное решение y в виде многочлена второй степени с неопределенными коэффициентами

© БГЭУ Лекция № 9 Дифференциальные уравнения 2-го порядка проф. Дымков М.П. 5

Возможны случаи:

а) k ≠ λi

Тогда частное решение ищем в виде y*(x) =ekx Rn(x)

где Rn (x)— многочлен n-ой степени с неизвестными

коэффициентами.

б) число k является простым корнем (кратности один) характеристического уравнения,

т.е. k = λ1 или k = λ2

Частное решение ищем в виде y*(x) =x ekx Rn(x) где Rn (x)— многочлен n-ой степени с неизвестными коэффициентами.

в) число k является двукратным корнем характеристического уравнения, т.е. k = λ1 = λ2 = λ

Частное решение ищем в виде y*(x) =x2 ekx Rn(x)

где Rn (x)— многочлен n -ой степени с неизвестными коэффициентами.

Пример. Найти общее решение дифференциального

уравнения y′′− 2 y′+ y = xex.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид

© БГЭУ Лекция № 9 Дифференциальные уравнения 2-го порядка проф. Дымков М.П. 6

ex (ax3 −2ax3 + ax3 +bx2 −2(b +3a)x2 +(b +6a)x2

−4bx +(4b +6a)x + 2b) = xex .

Приравнивая коэффициенты при x3, x2 , x и x0в левой и правой частях последнего уравнения, получаем систему для нахождения неопределенных коэффициентов a и b:

© БГЭУ Лекция № 9 Дифференциальные уравнения 2-го порядка проф. Дымков М.П. 7

3. Трудный случай представляет правая часть вида

f (x) =ekx(Pn(x) cospx+Qm(x) sinpx)

где Pn (x) — многочлен n-ой степени, Qm (x) —

многочлен m-ой степени.

а) Пусть комплексное число µ = k ± p i не является корнем характеристического уравнения

λ2 + pλ + q = 0

Тогда частное решение ищем в виде

y*(x) =ekx(Rq(x) cospx+Tq(x) sinpx)

где степень q = max{m, n}

б) Пусть комплексное число µ = k ± p i является корнем характеристического уравнения

λ2 + pλ + q = 0

Тогда частное решение ищем в виде

y*(x) =x ekx(Rq(x) cospx+Tq(x) sinpx)

где степень q = max{m, n}

Пример. Найти решение ДУ

y′′+ y′− 2 y = cos x −3sin x,

удовлетворяющее начальным условиям y(0) =1, y′(0) = 2.

Решение. Прежде находим общее решение

однородного уравнения

y′′+ y′− 2 y = 0.

© БГЭУ Лекция № 9 Дифференциальные уравнения 2-го порядка проф. Дымков М.П. 8

Характеристическое уравнение :

λ 2+ λ − 2 = 0, D =1+ 4 2 = 9 = 32 , λ 1= −2, λ 2= +1. (*)

Значит, общее решение однородного уравнения есть y = C1e−2x +C2ex.

Корней вида k + pi = i в уравнении (*) нет.

Значит, частное решение y неоднородного уравнения будем искать в виде y = a cos x + b sin x.

Тогда y ′ = −a sin x + b cos x, y ″ = −acos x − bsin x.

Подставляем y , y ″, y ″ в исходное уравнение и, приводя подобные члены при cos x и sin x, получаем:

−a cos x −b sin x −a sin x +b cos x + a cos x +b sin x

=cos x −3sin x,

(b −3a) cos x + (−3b − a) sin x ≡ cos x −3sin x .

Приравнивая коэффициенты при cos x и при sin x в правой и левой частях последнего уравнения, получим:

Значит, частное решение неоднородного уравнения имеет вид y = sin x, а общее решение неоднородного

Найдем Y ′ = −2C1e−2x + C2ex + cos x.

© БГЭУ Лекция № 9 Дифференциальные уравнения 2-го порядка проф. Дымков М.П. 9

неопределенными коэффициентами, или в таком же виде, но с множителем x или x2 в зависимости от

отсутствуют;

2.если λ1 =α, (или λ2 =α), но λ1 ≠ λ2 , то появляется множитель x ;

3.если λ1 = λ2 = λ, то появляется множитель x2;

4. если ни один их корней λ1,2 =α1 ± β1 i характеристического уравнения не равен α ± β i , то множитель x отсутствует; если λ1 =α, β1 = β , то появится множитель x .

Замечание (принцип суперпозиции решений ДУ)

Тогда

Подставляем y , y ″, y ″ в исходное уравнение,

группируя слагаемые по степеням x и вынося ex за скобки:

e2x (4ax − 4a + a) = 3e2x . a = 3 y *(x) = 3e2x

Общее решение есть y1(x) = (C1 +C2 x)ex +3e2x .

Итак, по принципу суперпозиции общее решение для

C1(x),C2 (x) и тем самым найдем требуемое решение неоднородного ДУ :

y(x) = C1(x) y1(x) +C2 (x) y2 (x)

По методу Лагранжа будем искать частное решение для неоднородного ДУ в виде

y(x) = C1(x) sin x +C2 (x) cos x)

где C1(x),C2 (x) -- подлежащие определению функции.

Система уравнений (**) в этом случае имеет вид

C1′ cos x +C2′ sin x = 0

−C1′ sin x1 +C2′ cos x = tgx

C2 = ∫sin xdx = −cos x + K2

Окончательно, общее решение неоднородного ДУ есть

y(x) = C1(x) sin x +C2 (x) cos x=

=(sin x −ln tg(π4 + 2x) + K1) sin x + (−cos x +K 2) cos x

Если одно дифференциальное уравнение описывает изменение во времени состояния одного объекта, то система подобных уравнений описывает динамику состояния системы взаимосвязанных объектов.

Однородные системы

Однородной называется система следующего вида:

В матричной форме систему можно переписать следующим образом:

вектор постоянных множителей. Подставляя это решение в (0.1), получаем:

bλ eλt = Abeλt ( A −λE)beλt = 0 (eλt ≠ 0) ( A −λE)b = 0

То есть мы получаем так называемую задачу о

собственных числах и собственных векторах матрицы A .

Цель—определить такие λ и b, при которых задача имеет нетривиальное решение (b≠0).

Решая матричное характеристическое уравнение: det(A −λE)= 0 получаем собственные числа λi .

Далее можно обычным способом находить для каждого найденного собственного числа соответствующий ему

собственный вектор bi , (i =1,2,..., n).

Тогда общее решение системы ДУ имеет вид