© БГЭУ Лекция № 9 Дифференциальные уравнения 2-го порядка проф. Дымков М.П. 1

Теория линейных уравнений является наиболее простой и разработанной областью дифференциальных уравнений. Именно эти уравнения чаще всего используются в реальных прикладных задачах.

1. Задачи Коши. Общее решение ЛДУ 2-го порядка

Краткие сведения теории ЛДУ 2-го порядка

© БГЭУ Лекция № 9 Дифференциальные уравнения 2-го порядка проф. Дымков М.П. 2

Свойства решений линейных однородных уравнений.

Теорема 1. Если y = y1(x) − решение уравнения (1), то функция y = C y1(x), где C −любое постоянное число, также будет решением уравнения (1).

Теорема 2. Если y = y1(x) и y = y2 (x) −два решения

уравнения (1), то и y = C1 y1(x) +C2 y2 (x), где C1,C2 − произвольные числа, тоже решение уравнения (1).

Док-во—непосредственная подстановка в ДУ !

ЦЕЛЬ—установить вид общего решения ЛДУ-2

Трудность в обеспечении условия 2) в Опр.2 !

Определение1. Два решения y1(x) и y2 (x) уравнения

(1) называются линейно зависимыми на интервале (a, b) , если существуют числа α1,α2 , не равные

называются линейно независимыми.

© БГЭУ Лекция № 9 Дифференциальные уравнения 2-го порядка проф. Дымков М.П. 3

Замечание. Две функции являются линейно независимыми, если их отношение не равно

тождественной постоянной: y1(x) ≠ const . y2 (x)

Как проверить ЛНЗ ?

Важную роль играет определитель Вронского.

Пусть y1(x), y2 (x)—две дифференцируемые функции.

называют определителем Вронского (аналогично n > 2

= −x(sin 2 x +cos2 x) = −x ≠ 0 x (a,b), a ≠ b ЛНЗ !

Упр*. Функции 1, x2 , x3—ЛНЗ ?

Какая связь Вронскиана и ЛНЗ ?

Теорема 3. Если дифференцируемые на(a,b) функции

x (a,b)

Понятие линейной независимости функций позволяет описать множество всех решений ЛДУ.

Теорема 5 (структура общего решения).

1)Всякое ЛДУ (1) имеет ровно два линейно независимых решения.

2)Если решения y1(x) и y2 (x) уравнения (1)

постоянные, является общим решением.

Как построить два ЛНЗ решения для ДУ?

Мы найдем для частных случаев ЛДУ

© БГЭУ Лекция № 9 Дифференциальные уравнения 2-го порядка проф. Дымков М.П. 5

которое называется характеристическим уравнением

(Очевидным образом составляется по коэффициентам

Для квадратного уравнения (3) возможны случаи:

1. Если D = p2 − 4q > 0, т.е. если (3) имеет два различных действительных корня λ1 и λ2, то ДУ (2)

имеет общее решение вида

y = C1eλ1 x +C2eλ2 x ;

Пример1. Найти общее решение для y′′ −5y′+ 6 y = 0 . Решение. Характеристическое уравнение имеет

вид:λ2 −5λ + 6 = 0, D = 25 − 24 +1 > 0.

© БГЭУ Лекция № 9 Дифференциальные уравнения 2-го порядка проф. Дымков М.П. 6

Где взять еще одно частное решение?

Выберем в виде y(x) = x eλ x . Тогда

y′(x) = eλx + λxeλx , y′′(x) = 2λeλx + λ2 xeλx y′′+ py′+ q = xeλx (λ2 + pλ + q) +eλx (2λ + p) = 0

Действительно, y(x) = x eλ x —решение ДУ. Проверим ЛНЗ: Вронскиан:

есть решения ДУ (2). Как выбрать ЛНЗ решения?

© БГЭУ Лекция № 9 Дифференциальные уравнения 2-го порядка проф. Дымков М.П. 7

Упр* Оказывается, что мнимая и действительные части решений: y1 = eαx cos βx и y2 = eαx sin βx

являются ЛНЗ !

Следовательно, общее решение имеет искомый вид

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид:

Вычитая из второго уравнения системы первое