Общим решением дифференциального уравнения (1) (или (2)) обычно называют такое его решение y =ϕ(x, C1, C2 ,...,Cn ) , которое содержит столько независимых произвольных постоянных C1,C2 ,...,Cn , каков порядок этого уравнения.

Заметим, что понятие общего решения будет уточнено позже. Общее решение, заданное в неявной форме Φ(x, y, C1,..., Cn ) = 0 называют общим интегралом уравнения.

Чтобы выделить одно какое-то решение, задают некоторые дополнительные условия. Обычно, этими дополнительными условиями являются так называемые начальные условия

начальным условиям, называется решением задачи Коши для заданных начальных условий.

Задача Коши. Теорема Коши. Понятие общего решения.

© БГЭУ Лекция № 7 Дифференциальные уравнения проф. Дымков М. П. 6

Уравнение (5) всегда можно записать в дифференциалах, где переменные x и y равноправны:

Примеры показывают, что дифференциальные уравнения первого порядка имеют бесчисленное множество решений.

Пример. y′ = 2x y = x2 + C – семейство интегральных кривых.

Определение4. Нахождение решения y =ϕ(x), или x =ψ( y) уравнения (5) или (6) , для которого при заданных начальных условиях (x0 , y0 ) D выполняется равенство y0 = ϕ(x0 ) или x0 =ψ( y0 ), называется решением задачи Коши для начальных условий (x0 , y0 ) D.

Таким образом, геометрическое

содержание задачи Коши состоит в нахождении интегральной кривой, проходящей через заданную точку

M 0 (x0 , y0 ) D .

В некоторых случаях решение задачи Коши является не единственным. Следующая теорема указывает одно из достаточных условий, которое гарантирует существование и единственность решения задачи Коши.

удовлетворяющее условию y(x0 ) = y0 , (x0 , y0 ) D .

y

ВНИМАНИЕ! Отметим, что приведенная теорема носит локальный характер, т.е. она обеспечивает существование и единственность решения лишь в окрестности точкиx0 . При

нарушении условий теоремы через точку M0 могут проходить несколько интегральных кривых.

Неединственность:

Две различные функции y = (x + C)3 и y ≡ 0 решения ДУ.

© БГЭУ Лекция № 7 Дифференциальные уравнения проф. Дымков М. П. 8

Определение5. Пусть в некоторой области D R2 задано дифференциальное уравнение (5) и для любого замкнутого множестваD D выполнены условия теоремы Коши. Тогда однопараметрическое семейство функций

непрерывно дифференцируемых по x и непрерывных по C называется общим решением уравнения (5) в области D, если:

1)функция y =ϕ(x,C) является решением (5) для любого фиксированного C из некоторой области G R , где x (a,b);

2)для любых начальных условий (x0 , y0 ) D существует

C0 G такое, что y0 = ϕ(x0 , C0 ).

Таким образом, общее решение дает возможность решить задачу Коши для любых начальных условий

(x0 , y0 ) D , где в D имеет место теорема Коши.

Определение 6. Любое решение, полученного из общего при фиксированном значении C0 G , называется частным решением.

Пусть функция y = ϕ(x) – решение задачи Коши. Тогда график этой функции называется интегральной линией или интегральной кривой, которая проходит через точку (x0,y0). Интегральная кривая в рассматриваемой точке имеет касательную, угловой коэффициент которой равен

tgα = y′(x0 ) = ϕ′(x0) = f(x0, ϕ(x0)).

Таким образом, в каждой точке области D можно установить положение касательной к графику решения уравнения, проходящему через эту точку.

Можно себе представить, что в каждой

точке области D построен короткий отрезок касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Тогда получится чертеж, который называется

полем направлений, задаваемым Поле направлений

уравнением.

Таким образом, каждое дифференциальное уравнение вида задает на плоскости XY в области D поле направлений.

Интегральные линии этого уравнения касаются направления, задаваемого полем в этой точке.

Если в уравнении y′ = f (x, y) положим y′ = k , где k − fix , то линии вида f (x, y) = k называются изоклинами, так как точки этих кривых имеют одинаковый наклон поля k .

Пример. y′ = x.

Изоклины:

k = 0 y′ = 0 α = 00 x = 0

k =1 y′ =1 α = 450 x =1

k = −1 y′ = −1 α =1350 x = −1

1. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными.

Дифференциальное уравнение первого порядка y′ = f (x, y) или P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно записать в виде:

Для решения уравнений (8) и (9) прибегают к методу разделения переменных, для чего левую и правую часть уравнений (6.8) и (6.9) умножают на такой множитель, чтобы после упрощения при dx стояла функция, зависящая только от x , а при dy стояла функция, зависящая только от y . После умножения получается уравнение с разделяющимися переменными, а именно:

После интегрирования последних уравнений получится решение уравнения (8) и (9), записанное в виде:

Пример. Задача об эффективности агитации.

Пусть некоторой партией ведется предвыборная кампания, в ходе которой она распространяет агитационную информацию о кандидате К. Пусть в момент времени t = 0 в результате агитационных действий информацию о кандидате получили x0 человек из общего числа N

потенциальных избирателей. Далее эта информация распространяется

посредством общения людей, и в момент времени t > 0 число владеющих информацией людей равно x(t).

Сделаем предположение, что скорость роста числа владеющих информацией людей пропорциональна как числу осведомлённых в данный момент избирателей, так и числу неосведомленных избирателей.

Здесь k – положительный коэффициент пропорциональности. Разделим переменные и интегрируем

© БГЭУ Лекция № 7 Дифференциальные уравнения проф. Дымков М. П. 13

Такого вида функция называется логистической, а её график

– логистической кривой.

Если теперь учесть, что х(0) = х0 и положить х0 = N/α, где

α > 0, то можно найти значение константы Е. Логистичеcкая функция примет вид:

x(t) = N − . 1 + (α −1)e Nkt

На рисунке приведены примеры логистических кривых,

полученных при различных значениях α. Здесь величина N условно принималась за 1, а величина k бралась равной 0,5.

С помощью логистической функции описываются многие экономические, социальные, технологические и биологические процессы, например, постоянный рост продаж, распространение слухов, распространение технических новшеств, рост

Логистические кривые популяции определенного вида животных и др.

© БГЭУ Лекция № 8 Основные классы интегрируемых ДУ проф. Дымков М. П. 1

Дифференциальное уравнение вида

Метод : ДУ a ДУ с разделяющимися переменными

© БГЭУ Лекция № 8 Основные классы интегрируемых ДУ проф. Дымков М. П. 3

Функция n переменных y = f (x1, x2 ,..., xn ) называется

однородной функцией степени m, если выполняется тождество f (tx1, tx2 ,...,txn ) ≡ t m f (x1, x2 ,..., xn ).

При n = 2 и m = 0 функция z = f (x, y) называется

однородной нулевой степени, если f (tx,ty) = f (x, y).

Пример: z = x2 + y2 является однородной нулевой

3xy

Для однородной функции нулевой степени верно равенство f (1x x, 1x y) = f (1, xy) =ϕ( xy) =ϕ(u) , x ≠ 0,(*)

Однородным дифференциальным уравнением первого

f (x, y) −однородная функция нулевой степени.

© БГЭУ Лекция № 8 Основные классы интегрируемых ДУ проф. Дымков М. П. 4

Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными.

и замена u = xy даст решение исходного уравнения.

z= f (x, y) = (x − y) y −однородная нулевой степени.

x2

Положим y = ux, y′ = u′x + u . Тогда