© БГЭУ Лекция № 6

Приложения определенного интеграла проф. Дымков М. П. 1

b

c

d

e

S = −∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx − ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx

a

b

c

d

a

x

d

b

c

e

Площадь

плоской

фигуры,

ограниченной

двумя

непрерывными на отрезке [a, b]

функциями

y = f (x) и

y = g(x) ( f (x) ≥ g(x)) и x = a, x = b

вычисляется по формуле

b

S = ∫( f (x) − g(x))dx

a

© БГЭУ

Лекция № 6

Приложения определенного интеграла

проф. Дымков М. П. 2

Пример. Вычислить площадь фигуры, заключенной

между локоном Аньези

y =

1

и параболой

y =

1 x2 .

1 + x2

2

Решение. Найдем точки пересечения кривых

1

= x2

x4

+ x2 − 2 = 0, x2 =1, x = ±1

1 + x2

2

y

g(x) =

1

x

2

2

f ( x) =x

1

1 2

1 + x2

-1

1

1

1

1

2

1

1

1

2

x

3

1

π

1

S = ∫(

−

dx) = 2∫

(

−

x

)dx = 2(arctgx −

)

=

−

+ x2

2

x

2

6

0

2

3

−1 1

0

1 + x2

Площадь плоской фигуры, заданной в

полярных

координатах

ρ = ρ(ϕ),

ϕ [α, β]

вычисляется по

формуле

1

β

S =

ρ2 (ϕ)dϕ

∫

2

α

Площадь

плоской

фигуры,

ограниченной

линией

y = y(x), x [a,b], которая

представлена в параметрической

форме

x = x(t), y = y(t),

t [t0 , t1 ] вычисляется формулой

b

t1

′

S = ∫ ydx = ∫ y(t)x (t)dt

a

t0

S = 6

1

π / 6

r

2

(θ)dθ = 6

a2 π / 6

2

3θdθ =

2

∫

2

∫ cos

0

0

= 3a

2

π / 6

1 + cos6θ

dθ =

∫

2

0

= 3a

2

π

+

sin 6θ

π / 6

=

π a2

[

12

0

]

4

12

Пример.

Найти площадь эллипса

x2

+

y2

=1

a2

b2

до a , когда t убывает от 0 до

π .

Тогда

2

π

0

0

S = 4 ∫ y xt′ dt

= 4 ∫bsin t(−a sin t)dt = 4ab 2∫sin2tdt =

π / 2

π / 2

0

π

1 − cos 2t

π

sin 2t

π / 2

2

= 4ab ∫

dt = 4ab[

−

0

] =πab

2

4

4

0

© БГЭУ Лекция № 6

Приложения определенного интеграла проф. Дымков М. П. 4

b

′

2

dx

l = ∫ 1 + ( f (x))

a

Под

длиной

дуги

понимается

предел, к которому стремится

длина

ломаной линии,

вписанной в

эту дугу.

Пример Вычислить длину линии

y = ln cos x от x = 0

до x = a,

0 < a < π

.

2

1

Решение.

Находим

y′ =

(ln(cos x))′ =

(−sin x),

cos x

′ 2

2

1

1 + ( y )

= 1

+ tg

x = cos x

sin x −1

a

a

1

a

d (sin x)

a d (sin x)

1

l = ∫

dx = ∫

=− ∫

= −

ln

=

1 −sin 2 x

x −1

2

sin x +1

0

0 cos x

0

0 sin2

β

ϕ′2 (t) +ψ′2 (t)dt

то ее длина l вычисляется по формуле l = ∫

α

«Формула Пифагора» для дифференциала дуги

t

′ 2

′ 2

dt l

′

=

′2

+ y

′2

dl

2

= dx

2

+ dy

2

l = ∫ (x )

+ ( y )

x

t0