11.5. Пример расчета надежности системы с ограниченным количеством запасных элементов

Рассмотрим применение методов теории массового обслуживания к задаче анализа показателей надежности систем, имеющих запасные элементы. Будем рассматривать объекты, работающие в составе про­мышленных установок, являющихся источниками повышенного риска.

Характерным примером таких установок являются энергоблоки атом­ных электростанций.

Объекты ядерной энергетики имеют особенность, отличающую их от других технических объектов и состоящую в том, что к их показа­телям надежности предъявляются высокие требования. Так коэффици­ент неготовности (или вероятность невыполнения задачи) для каналов системы аварийной защиты должен быть не более чемIO'⁷. Высокие требования предъявляются также к точности проведения расчетов.

Объекты систем ядерных энергетических установок относятся к классу высоконадежных объектов. Отказы их-события редкие. На­работки элементов до отказа сравнимы по порядку с общим временем эксплуатации системы. Высокие требования к точности результатов расчетов приводят к тому, что нельзя пренебрегать временем восста­новления объектов после выявления факта отказа. В связи с вышеиз­ложенным имеются особенности в решении задач анализа надежности указанных объектов.

Рассмотрим постановку задачи.

Требуется провести расчет характери­стик надежности комплекта рабочий эле­мент - запасные элементы.

Стратегия функционирования элемен­та следующая. В начальный момент вре­мени элемент находится в исправном со­стоянии. С интенсивностью X(t) элемент отказывает. В случае отказа элемент за­меняется на резервный. Интенсивность замены элемента Неисправный эле­мент отправляется в ремонт. После ре­монта элемент считается восстановив­шим работоспособность и переходит в резерв. Интенсивность ремонта v(t). Если исправных элементов в резерве не оста­лось, наступает отказ. Описанная страте­гия функционирования может быть пред­ставлена с помощью графа, приведенно­гонарис. 11.8.

Состояние объекта на графе обозна­чим двумя символами (к, і), где первый символ означает количество запасных элементов,к= 0...и, второй символ - со­стояние основного элемента, находящего­ся под нагрузкой,і -1 элемент работос­пособен,і = 0 элемент неработоспособен.

Рассмотрим функционирование объекта с запасными элементами более подробно. В начале работы элемент находится с вероятностью 1 в состоянии (и,1) (в наличии имеетсяпзапасных элементов, объект работоспособен). В случайный момент времени с интенсивностью от­казаX(t) элемент переходит в состояние (и,0) (пзапасных элементов, объект в состоянии отказа, начинается замена элемента). С интенсив­ностью восстановленияjui(f) объект переходит в состояние (и -1, 1) ((и -1) запасной элемент, объект работоспособен), из этого состояния возможны переходы в состояние (и,1) с интенсивностью восстановле­нияv(/) (ремонт окончен, в резервеопятьпэлементов)или в состояние (и -1, 0) с интенсивностьюX(t) (ремонт не закончен до наступления следующего отказа) и так далее. Состояние(0, 0) является поглощаю­щим и означает отказ объекта и отсутствие запасных элементов.

Рассмотренная стратегия функционирования может быть описана марковским процессом и представлена в виде системы дифференциаль­ных уравнений

dP_nl(t)/dt = -Х(0Р_ЛД(0+v(0P„-_u (0; dP_n0(t)/dt = -n(t)P„,₀(t) + 4t)P_ni(ty,

dP^oidt = (0+-\W-u (0-(Mo+V(O)P_ii (0; dP_i0(o/dt = X(o P_ii (0-^0^(0; ⁽¹¹ •¹³⁾

dP_v (o/dt = iKO/% (0 - (HO+V(O)P₀,! (0; dP_ofl (0/dt = MOP₀' ,(0.

В большинстве случаев систему (11.13) можно упростить, еслипо­ложить параметры моделиX(t), \i(t), \(t) постоянными величинами. Для электронных блоков и элементов после завершения периода приработ­ки параметр потока отказов можно считать константой:X(t) = X.Ана­логичные допущения можно сделать и для величинjll(/) = |i,v(0=v. Тогда система(11.13) может быть записана в виде

dP„₁(t)/dt = ~XP_nl(t) + vP_n__u(t)-, dP_n_₀(t)/dt = -iLP_ni0(t) + XP_n,(t);

dP_tl(0/dt = iiP_M,₀(O+vP._u (0 - (Я+v)F_fJ (0; dP_iB(tVdt = XP_{i x}(t)~ IiP_i ^(t);

dP_u(t)fdt = \iP_w(t)~(X + v)P_0l(ty,

JP_0i0 (Of dt = XP₀₁(I)-,

і =l...n—I.

В общем случае при больших прешение системы вызывает значи­тельные трудности. В частных случаях, задаваясь конкретным значе­ниемп -числа запасных элементов, решение системы можно получить аналитически. Покажем возможность аналитического решения для случая одного запасного элемента. Запишем систему дифференциаль­ных уравнений:

dP_n(t)ldt = -XP_u (0+VP_w (0; dP_lfi(t)!dt = ~\iP_uo(t)+XP_u(ty, dP_0}(t)/dt = цр₁₀(0 -(X+v)P_w(0; dP_os(t)/dt = XP_0l(t),

преобразуем эту систему с помощью преобразований Лапласа (p + X)R(p)_u-VR(P)₀₁= 1; (Р+Ц)«(_Р),,₀-ЩР)_Ц=0;

(p+X+v)R(p)_0i -IiR(P)_{l o} =0; р^(р)₀,₀-^^к(р)и=°; решим данную систему относительноR_iJtp), получим

^R(p)u =

р+(2A+v+fx)p²+(vfx + A²+Xv+2Afx)p+X²fx

ftt_p\ p + A+v

Ад

'’° p³ + (2A+v+|x)p² + (v|x + A² -+-X.v -t-2X.JJ.)/?-t-X.²jj.

p + {Ik +v + fx)p² + (уд + X² +Xv + 2Afx) p + Х²іл

Х²ц

^R(P) 0,1 =

^Л(P) 0,0 =

P(p³+(2A+v+fx)p²+(vfx + A²+Av + 2Afx)p+A²fx)'

Выразим знаменатель данных соотношений в виде произведения

р³+ (2A+v+|X)p² + (v|x+A² + Av + 2A|x)p + A²|x = (p-a)(p-b)(p-c), гдеа, Ъи с являются корнями уравнения

р³+(2A+v+fx)p² -+-(vjj, + X,² +Av +2Afx)p +A²fx = 0.

(Аналитическое выражение корней через А, |іи V не приводится, в силу своей громоздкости.) После применения операции обратного преобра­зования Лапласа получим следующие результаты:

Для системы дифференциальных уравнений типа (11.14) стационар­ного режима не существует, так как при времени работы, стремящем­ся к бесконечности, вероятность попасть в поглощающее состояние стремится к единице.

(р+Ю(р + А +у)

.2

Однако систему (11.14) можно упростить, если записать условно­стационарное состояние. Для этого положим равным нулю все произ­водные, стоящие в левых частях уравнений, кроме последнего. В ре­зультате такого допущения мы сознательно увеличиваем ошибку ито­гового результата, но такой подход, с одной стороны, позволяет суще­ственно упростить решение, с другой стороны, сохраняет зависимость вероятностей от времени.

В итоге получим систему

^{0 =} -^,i(0+vP„„_u(0;

0. = -^(0+AP_njW;

о = HWO +vP,__u(0 -(A+V)P_U(0;

о =AP_u(O-MVf);

o = |iP₁₀(o-(A+v)P_(u(O;

JP₀₀ (0/л = AP_w (0; і= 1...л-1.

Произведем элементарные преобразования, запишем итоговый ре­зультат

fx(A+v)+afx+a( А + у)+а² bc~ac-ab + a²

P_u =exp(af)

Ц(А+у) + (А + у)6+ці>+£²

с +(A+y)c+[xc+fx(A+y) ^ -bc + ab + c²-ac j

-exp(fo)

+ exp(cf)

—b +ab+bc — ac

■i

~(A + V)-a -bc+ab+ac — a²

^ (X+y)+b -bc-ab+ac+b²

^pi,0 = exp(at)

+exp(6f)

\ (A+v)+c

+exp(cf)

I -ac-bc + ab + c² J

exp(af)

exp (bt)

P_m — Afx

exp(cf)

-+Afx-

(-bc + ab+ac-a²) (-bc-ab + ac+b²) ⁺ ^ (-ac-bc + ab + c²)'

+A²fx-

P_tt 2E<2> *!>„ I^xJX^fe)

a(-bc+ab+ac-a )

b(-bc — ab + ac+b²) А²д

exp(cf)

c(-ac-bc + ab+c²) abc

(X+v)

Из последних соотношений видно, что каждая из вероятностей си­стемы может быть выражена через P₀ ,(f), например

= = ^4,(0;

D /*\ ^ + V _ V

ад=—P_u

P,/') = гР„") «⁽Ц^Р,In

и так далее. Воспользовавшись условием нормировки можно записать

Р„.о (0+Рол (0+^pU (0+^р.,0 (0+... +Р«д (0=1• (11.15)

Поскольку все слагаемые кроме P_{fj 0}выражаются через вероятностьP₀ то выражение(11.15) можно переписать в виде

P_0i0(0+CP₀J(0 = 1 или Р₀₀(0 = 1-сР_0|(0,

где с - некоторая константа, отражающая взаимосвязь вероятности P₀ с другими величинами.

Подставляя выражение для P₀₀ в последнее уравнение системы(11.14), получим

rfP_e.(0

(v + X)² V (X+v)² V X+v X+v _С = 1 -L + - + + + 1,

X² X цХц.X ц.для трех запасных элементов

X+v X+v (X+v)² V (X+v)² V (X+v)³ (X+v)v

C =I+ H—г 1- + —Tl Т ⁺ ~Г2 Ї

д X \іХ \і X^і X X^zH Хц.

(X+v)v (X+v)³ (X+v)v (X+v)v ц.^{2 +} X³ X² цХ

Таким образом, получено простое решение задачи расчета надеж­ности объекта с ограниченным количеством запасных элементов, в случае возобновляемого ЗИП с заданными распределениями наработ­ки до отказа, времени восстановления и ремонта. Рассмотрена страте­гия функционирования системы, имеющей запасные элементы, в кото­рой восстановление отказавшего элемента осуществляется путем его замены из числа запасных, отказавший элемент ремонтируется случай­ное время и после ремонта возвращается в ЗИП. Данная схема функ­ционирования элемента максимально приближена к стратегии, имею­щей место в практике функционирования систем, важных для безопас­ности атомных станций.

В заключение можно отметить, что предложенная стратегия явля­ется обобщением модели «размножения и гибели»; она более объек­тивно отражает процесс функционирования объектов, так как учитыва­ет пребывание системы в неработоспособном состоянии во время за­мены отказавшего элемента. Это обстоятельство является очень важ­ным, когда речь идет об объектах повышенного риска.

—f

с

откуда P₀,, (0 = ехр - Отсюда следует, что

—t

с

^Ро,о (0 = 1-сехр

V

Константа сдовольно просто вычисляется, если известно количество запасных элементов. Так для одного запасного элемента

Aji. +A,² + Xv+[iv Хц.