Э/(0,О

<Я(0,

Э0³

Эв

, 9 - вектор параметров функции F( 9, t), і-I, п.

где а, = -M

Метод максимального правдоподобия широко используется при оце­нивании параметров сложных систем. Этот метод служит основой про­цедур проверки статистических гипотез и доверительного интерваль­ного оценивания. Оценки характеристик, получаемые методом макси­мального правдоподобия, обладают рядом важных свойств, таких как несмещенность, асимптотическая эффективность, состоятельность [35].

Рассмотрим применение метода максимального правдоподобия для решения задач оценивания параметров законов распределения. Вид закона распределения исследуемой случайной величины будем предпо­лагать известным.

Определим функцию правдоподобия параметра 9 как неотрицатель­ную вещественную функцию L(9, t), заданную на множестве QxT, про­порциональную функции плотности распределения:

WO = Ylf(BJ_i), і = й, (7.1)

где 0 - область определения вектора параметров Q; T- область опре­деления наблюдаемой случайной величины t, по результатам наблюде­ния .за которой про-изводится оценивание параметров 9; T_j - реализа­ция случайной величины V, 9 - в общем случае вектор параметров за­кона распределения.

Оценкой максимального правдоподобия для заданной функции прав­доподобия L(9, t) является функция Q(T), удовлетворяющая соотноше­нию [36]:

£{0(7-),7} = sup L(Q,T).

Єє©

Для нахождения оценки 9 решают уравнение

= 0. (7.2)

эе

Поскольку In L(9, t) при фиксированных T_vT₂, ...,T_n достигает макси­мума при том же значении 9, что и L(9, t), значения 9 можно опреде­лять, решая уравнение

Э1пЦЭ,7-)_₀

Э0

Для величины In L(9, 0 используют обозначение /(9, /)•

7.2. Использование метода максимального правдоподобия для оценивания параметров законов распределения

где Z⁷₁(Z), F₂(t), H(f) - некоторые функции, удовлетворяющие следую­щим условиям:

• F₁(I), F₂(I) интегрируемы на (-«>, °°) и интеграл J H(t)f(Q,t)dt < P,

причем р не зависит от 9;

• для каждого 9 из 0 интеграл

конечен и положителен.

Используя метод максимального правдоподобия при наличии боль­ших объемов выборки, можно произвести оценивание дисперсий век­тора оценок 9. Для этого составляется информационная матрица Фи­шера

Одним из важных достоинств метода максимального правдоподо­бия является то, что он позволяет получить асимптотически нормаль­ные и эффективные оценки параметров функции распределения случай­ной величины t. Для этого необходимо, чтобы выполнялся ряд условий, называемых условиями регулярности [32].

Для каждого 9, принадлежащего некоторому невырожденному ин­тервалу 0, существуют производные

Э In /(0,0. Э² In/(0,0. Э³ In/(0,о.

Э0 ^: Э0² ’ Э0³

для каждого 9 из 0 имеем

Э² InL

159,30, J

Э³ In /(0,0

<^0);

Э0²

Дисперсии и ковариации оценок 9.и 9 определяются из ковариаци­онной матрицы V, которая является обратной матрице I:

/=1

^:0.

ЭХ.

V= I¹=

(7.3)

(7-4)

(7.5)

(7-6)