Глава 7 параметрические методы обработки экспериментальной информации

урЫа

^f (х-т)² ^ 2а²

dx.

' (х-т)²^ 2 а²

dx.

л/2ла о

Вычислим частные производные:

dP_N(t,m,o) _ 1

dm

dP_N (t, т, О) _ да²

г г \ т

2о²

\ /-J

2л/2жт³

то и вычисление характеристик системы будет также осуществляться с ошибкой.

Точность оценивания показателей сложных систем характеризует­ся величиной дисперсии. Пусть необходимо произвести оценивание не­которого показателя R(t). Покажем, как определяется дисперсия в его оценке. Будем считать, что показатель R(t) определяется через функ­цию распределения. Пусть функция распределения зависит от двух па­раметров аир. Примерами двухпараметрических функций являются нормальное распределение, усеченное нормальное, логарифмически нормальное, гамма-распределение, распределение Вейбулла и ряд дру­гих. Итак, пусть F(t) = F(t, а, р). Соответственно оцениваемый показа­тель сложной системы можно представить как функционал от F(t) = F(t, а, р):

K(r) = K[F(f,a,p)] = K(f,a,p).

Разложим оценку R(t) в ряд Тейлора в точке а, р и ограничимся тре­мя членами:

i(0 = K(0+^®(a-a)+^®(p-p).

Эа Эр

К обеим частям данного выражения применим операцию вычисле­ния дисперсии

ДЯ(0]2

P[p] + 2^⁽⁰^^r)cov(a,p), da Эр

Определим один из показателей надежности - вероятность безот­казной работы:

Соответственно функция распределения записывается следующим об­разом:

л/2ла

(t-m) ехр

(t-m)²

Ia²

-т ехр

Нормальное распределение

Плотность нормального закона распределения имеет вид

Y ¹

P_n (t, m, о) = 1 —7=- J ехр

F_n (t, т, о) = -у=- J ехр

(t-m)

2о²

2 \

dt.

(t-m)² 2 a²

Одностороннее усеченное нормальное распределение

Плотность распределения усеченного нормального закона с одно­сторонним усечением слева в точке 0 имеет вид

^/ (t-m)² ^ 2 а²

exp

\І2по

, х>0;

(X - т)² 2а²

dx

1-

\І2по{

Выражения для частных производных имеют вид

dX_N(t,m,a) _ f_N(t,m,a)'_m(l—F_N(t,m,o))—f_N(t,m,o)[l—F_N(t,m,o)]'_{m m}

[I-F_N(t,m,a)]²

где

dm

с = -

(*-Ю² 2 Ъ

ы

dx

exp

о yj2nb

, ., t-m I (t-m)²

f_H(fWO_ra =Ir=-T^exPV

л/2лі

no

2a

[I -F_N(t,m,a)1 =-jL

V2na

Соответственно функция распределения запишется как

Перейдем к определению вероятностных показателей. Вероятность бе­зотказной работы вычисляется по формуле

dX_N(t,m,a) _ f_N(t,m,a)\_(I-F_n(t,m,o))- f_N(f,/n,Cf)[l-F_n(r,#n,a)]'_a2

da²

[I-F_N(t_ym,o)]²

Jexp

[(t-m)²-a²] 2л/2лст³

(t-m)

dx

exp<-

P (Щ,Ь) = \-{

Jexp

dx

(t-m) 2 a²

m 2O²

[I -F_N(t,m,a)]\ =

(t - m) exp

m exp

2\І2по³

Введем обозначения:

I

R = J ехр

J

/-I

Таким образом, представлены формулы для определения соответ­ствующих производных показателей по параметрам закона распреде­ления для нормального закона. Обобщением нормального закона рас­пределения является усеченное нормальное распределение. Рассмот­рим применение одностороннего усеченного нормального распределе­ния в задачах оценивания показателей сложных систем. В ряде задач системного анализа случайные параметры положительно определены. Примером могут служить задачи теории надежности, в которых слу­чайные параметры имеют область определения от 0 до например, наработка до отказа - величина положительно определенная. В этом случае нормальный закон распределения применять для описания дан­ных случайных величин неправомерно. В таких ситуациях применяют усеченное слева нормальное распределение. Рассмотрим данный слу­чай применительно к оцениванию показателей надежности.

2 Л

(х-ц)² 2Ь

(х-У-У

2b

dx; Q = j exp

dx.

Соответствующие производные имеют вид

Vn

Гл-1

r,' H

а =-уч>

Ф

+ 0,5

db (Q-Rf

где соответствующие составляющие определяются по формулам

МГ =^expf

J2b

Среднее время между реализациями событий определяется по форму­ле

2 Ь²

/ . .і \ (*-Ю

2b

+ H-Jexp

Ьехр

dx

S / ч’ ^

ft-M-)'

2Ь

л/тс л/тс фГ Г-М-

(Q-W_b =^^exp

TL₁₁(M) = -

I^lb I-Jlb Jb

Обозначим числитель через L.

Соответствующие производные вычисляются по формулам

Логарифмически-нормальное распределение

Логарифмически-нормальному закону распределения подчиняется случайная величина t, логарифм которой распределен по нормальному закону. Плотность распределения логарифмически-нормального закона имеет вид

КМЬ) _ i;q-%_{l Jf}__urz _______

'-!Li S)

ф

+ 0,5

1

/ 2 N .й! 2fc

ЩАМ KQ-Ul.

—^ , А,-ех_Р

■s/it

fiLl

UJ

F= ехр

tbj 2п

Функция распределения имеет вид

2Ь²

ф

+0,5

“И

Наконец, интенсивность наступления событий равна

(*-10 2 В

dx,

(г-мУ

2Ь

ехр

М'.М) = :

где В = Ъ¹.

Запишем формулы для определения показателей надежности

(х-M-)² 2Ъ

(x-\i.? 2Ъ

і

dx-jexp о

Jexp

dx

ini

Я„(*,И,Д) = I^-Jexp

dx.

Введем обозначение

2 В

Соответствующие производные имеют вид

/ / ч! ^

(*-Ю

2 Ь

M = ехр

2 \

( (Inf-H) 2 В

Р_лн(;,Н.Д)_ 1 Эн -JlnB

P„Jt,\i,B) 1пг-н

ехр

Определим производные интенсивности по параметрам

dk_yM(t,№) _ M^jQ-R)-(Q-RY₁₁M ЭЦ (Q-R)^{2 :}

ехр

IBjlnB

эв

Для определения средней наработки до отказа используют формулу

(г-ю²

2Ь

M₁₁ =—т^ехр

D

; (б-Л)'= ехр

^/ B⁴ U ₊ -

дТ_ляЦ,р,В) 1 ( в ,

^^aT⁺I >

Запишем выражение для вероятности безотказной работы

^ґ

V /

Выражение для определения интенсивности отказов имеет вид \Jt,\i,B) = -

P_B(t,a,b) = exp\

K^aJ

Вычислим производные данного выражения по параметрам распреде­ления:

<У2дВ I 2 В

2 In/

^1_sb

\dx

ЭP^(t,a,b) _ b да а

dP_B(t,a,b) _

Э b

Средняя наработка до отказа определяется по формуле

2 В

In

:хр

Частные производные определяются из выражений

ЭКЛ^В) _

^ [I-F_llAt)]²

I Inf-|x

^,l tjbw в ^ехр|

(lnf-|X)² 2 В

где (/_лн(0)

⁷B(^a^) = J^exP

dt.

V

V^а/ /

(Inf-(X)² 2 В

Соответствующие производные равны

Э T_B(a,b)_~_rb(t

* (t' In

\df,^Э7в(а^ э ь

дК»ЩВ) (0)'_й (I - (0)- /л.„ (I - F_nJt))'

ЭВ [I-F_jih (г)]²

\dt.

ехр

ехр

да

* п

а\ а

Интенсивность отказа равна

(^^b-' , а

Производные по параметрам имеют вид

it, а, Ь)

,2\

(¹ - F„„) = -IⁿViiexp

IBsflnB

_ (Inf-(X) 2 В

Распределение Вейбулла

Плотность распределения Вейбулла имеет вид

f_B(t,a,b) = -(-

а\ а

Гамма-распределение

Плотность гамма-распределения записывается следующим обра­

зом

г , - _ч X^at^{a 1} exp(-A.f)

/_г(гД, а) = ^

^Jr Г(а)

где Г(а) - гамма-функция.

функция распределения

F_B(t,a,b) = 1-ехр

[!-,F_r(ZAa)];=-

дР_г (t, X, а) _ X¹