2. Задача линейного программирования

Постановка задачи линейного программирования. Задачи ли­нейного программирования (ЗЛП) - простейший тип оптимизационных задач. Постановка данной задачи выглядит следующим образом.

Имеется множество переменныхX = (X₁, X₂,..., х_п). Целевая функ­ция линейно зависит от управляемых параметров:

F=Idtr

I= 1

Имеются ограничения, которые представляют собой линейные фор­мы:

Ja_jiX_i <bj, где j = \,m.

і

Задача линейного программирования формулируется так: определить максимум линейной формы

F(x₁,x₂,...,A:„) = max(c_lx_l -Vc₁X₁ +... + с_плс„) (Ю.З)

при условии, что точка (дс_}, X₁,..., х_л) принадлежит некоторому множе­ству D, которое определяется системой линейных неравенств

*11*1 +*12*2 +- + ^flL*.

O₂₁X₁+U₁₁X₁+... +U_lltX_n <Ь₂;

I^a_nlX_l+O_mlX₁+...+O_mnX_a <Ь_т.

Любое множество значений (х[,х'₂,...,х*_а), которое удовлетворяет системе неравенств (10.4) задачи линейного программирования, явля­ется допустимым решением данной задачи. Если при этом выполняет­ся неравенство

C₁-C₁⁰ +C₂X⁰₁ +...+C_nX⁰_n Zc_xX_l +C₂X₁ +...+C_nх_л

для всего множества значений X₁, х,..., х_п, то значение х1',х°₂,...,х_п явля­ется оптимальным решением задачи линейного программирования.

Задачу линейного программирования удобно представлять в вектор­ной форме, тогда она будет выглядеть следующим образом: найти max F(x) = max (c^Tx) при условии AX < P₀; Х> 0,

где с = (с,, C₂,..., с_п) представляет собой л-мерный вектор, составлен­ный из коэффициентов целевой функции, причем с^т-транспонированная вектор-строка; х = (x_p Jt₂,...,х_п) - и-мерный вектор переменных решений;

'ьА

P₀ = - m-мерный вектор свободных членов ограничений;

AJ

матрица А размером (тхп) - матрица, составленная из коэффициен­тов всех линейных ограничений:

A =

^aMl ^flV₂ -^а.

Простые ЗЛП допускают геометрическую интерпретацию, позво­ляющую непосредственно из графика получить решение и проиллюстри­ровать идею решения более сложных задач линейного программирования.

Каноническая форма задачи линейного программирования.

Любую задачу линейного программирования можно свести к некоторой стандартной форме с ограничениями, записанными в виде уравнений. Это достигается путем введения свободных переменных во все огра­ничения. Свободная переменная учитывает разницу между правой и левой частями неравенства.

Пусть

п

х_п+х - дополнительная переменная, которая численно равна Ь_х - Jj^flU^jcI;

і=і

п

х_п+2 - дополнительная переменная, которая численно равна ъ₂ -Ja_2iX_i,

і=і

И т.д.;

п

х - дополнительная переменная, которая численно равна Ъ_т - Ja_miX_r В результате получаем новую систему ограничений: ¹⁼¹

U_nX_l +Q₁₁X₁ +... + а_их_п +1*„₊₁ + 0jc„₊₂ + ... + Ojc„_+m = Ь,;

*21*1 +^₂₂X₂ + ...+а_1пх_п+0х_п+1 + Lr_et2 +...+0 х_п+т=Ь₂;

^fl_mi*i +^ашіх г +-+O_mnX_n + Ojc„₊₎ +0х_п+2 +...+Ц,_+т =Ь_т\

X₁ >0, i = l, 2,..., и, п +1,..., п + т.

Целевая функция будет иметь вид

шахFix_l,х_гх_п) = max(c,jc, +C₁X₁+...,с_пх_п+0х_п+1+ 0х_п+2+...+0х_п+т). Или в матричной форме:

maxF(jc) = max(c^Tjc) (Ю-5)

при условии AX₁+ BX₂=P₀, X₁ > 0, X₁ > 0,

где X₁ - вектор первоначальных переменных; X₂-вектор свободных переменных; В - единичная матрица тх.п.

fi о-⁰I

I⁰ о -Ij

Такую форму записи называют канонической формой задачи линей­ного программирования. В канонической форме ограничения записыва­ются в виде равенств.

При записи задачи линейного программирования в стандартной или канонической форме число линейно независимых уравнений, как прави­ло, меньше числа переменных (на практике всегда т<п, где т - число уравнений). Отметим некоторые свойства, касающиеся системы огра­ничений:

1. уравнения линейно независимы, если ни одно из них не может быть получено из остальных путем алгебраических преобразований, т.е. никакие из них не являются следствием остальных;

2. если число независимых уравнений больше числа переменных, то такая система не имеет решения и называется несовместимой;

3. если число независимых уравнений равно числу переменных, то такая система имеет единственное решение, которое либо оптималь­но, если все компоненты положительны, либо недопустимо, если хотя бы одна из компонент отрицательна;

4. если удается найти множество неотрицательных значений X= (Jr₁, X₂,..., х_п), которое является решением системы т линейных уравнений с п+т неизвестными, то такое решение называют базисным, а ненуле­вые переменные - базисными переменными.

Пример задачи линейного программирования. Рассмотрим двухмерную задачу линейного программирования.

Пусть требуется найти максимум линейной формы

InaxFOc_pX₂) = тах(*, +2jc₂)

при условии

+X₁<120,

0< Jc₁ <100,

0. < JC₂ < 75.

Изобразим область, описываемую совокупностью ограничений на плоскости Jt₁ Ojc₂ (рис. 10.1). Переменные X₁ ил:₂ неотрицательные, по­этому множество точек (JT₁, JC₂), являющихся возможными решениями задачи, находятся в I квадранте. Заменим знак в Jc₁ + х₂ <, 120 на знак равенства, получим уравнение прямой: Jr₁ +Jr₂ = 120. Эта прямая делит плоскость на две полуплоскости. Все точки одной полуплоскости удов­летворяют неравенству Jr₁ + Jr₂ > 120, другой - неравенству Jr₁ + Jr₂ < 120.

Построив аналогичные прямые Jr₁ =100 и Jr₂ = 75, получим много­угольник, множество точек которого (Jc₁, х₂) удовлетворяет всем нера­венствам системы ограничений. Этот многоугольник и представляет собой область допустимых решений D.

Из множества точек (дг,, дг₂) многоугольника необходимо выбрать такую, в которой функция F(X₁, Jr₂) = (jc₍ + 2jc₂) принимает максимальное

Рис. 10.1. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования

значение. Для некоторого фиксированного значения F * линейная функ­ция F *(х,, л₂) = (Jc₁ + Ix₂) представляет собой прямую линию. Задава­ясь различными значениями F*, получим семейство параллельных пря­мых. Увеличение значений линейной функции соответствует перемеще­нию прямой параллельно самой себе вверх. Следовательно, как видно из рис. 10.1, максимальное значение целевой функции на допустимом множестве точек соответствует прямой, проходящей через точку 2 пе­ресечения прямых Jc₁ +X₂= 120 и х₂ = 75.

Решив эту систему, получим Jc₁ = 45. Тогда максимальное значение функции F = max(x, + 2jc₂) = 195.

3. Решение задач линейного программирования симплекс-методом

Метод полного исключения. Перейдем к изложению методов решения задач линейного программирования. Рассмотрим вначале один из вспомогательных методов, иллюстрирующий возможность преобра­зования системы линейных уравнений, а именно, приведения матрицы, составленной из параметров уравнений ограничений, к единичному виду. Переобозначим свободные коэффициенты ограничений ^₀=Ь-

Пусть имеется система ограничений в виде

п

^^a_ijX_i=^aJ₀, j = 1, т.

1*1

Перепишем данную систему уравнений в матричной форме: AX=A₀, и А = [A, A₀], где A_p - расширенная матрица.

ЇУІетод полного исключения состоит из конечного числа однотипных шагов и заключается в приведении матрицы А к единичному виду. Метод основан на следующих двух операциях.

Одну из строк расширенной матрицы умножают на число, отлич­ное от нуля.

Из каждой строки расширенной матрицы (A_p) вычитают данную строку. Каждое такое преобразование называется преобразованием Гаусса. В результате получаем новую систему линейных уравнений, эквивалентную исходной.

Рассмотрим более подробно метод полного исключения.

1. Среди элементов матрицы А выбирают произвольный элемент, отличный от нуля. Этот элемент называют направляющим элементом шага. Строку и столбец, содержащие направляющий элемент, называ­ют направляющей строюй и направляющим столбцом данного преоб­разования.

2. Все элементы направляющей строки расширенной матрицы (A_p) делят на направляющий элемент. В результате получают направляю­щую строку с направляющим элементом, равным единице. Далее из каждой строки матрицы А вычитают новую направляющую строку, умноженную на элемент, который расположен на пересечении строки и направляющего столбца. Итак, пусть исходная система уравнений имеет вид

а11*1 <*21*1	+ CI12X2 + •• + U22X2 +.	■ + аых„ =а10; .+ а2„Хп =<*20’
ашХХ	+ ат2Х2 +	■■+aVnXn=a^O-

Возьмем в качестве направляющей строки вторую строку, в каче­стве направляющего столбца второй столбец, тогда направляющий эле­мент будет Jc₂ (коэффициент при нем равен а₂₂). Разделим направляю­щую строку на этот коэффициент и перепишем вновь полученную сис­тему ограничений:

#21

а,. —-а,

#21

а* ——а„

Далее умножаем направляющую строку поочередно на элементы, стоящие в направляющем столбце преобразуемого уравнения, и резуль­тат вычитаем из соответствующего уравнения. Иными словами, вна­чале умножим направляющую строку на а_п и вычтем полученный ре­зультат из первого уравнения. Далее направляющую строку умножим на а_гг и вычтем из третьего уравнения и т.д. до последнего т-то урав­нения. Получим новую систему:

	/ \
+	^21 аы —-Ou	її	#2i а.о—~ап
	\ 22 )		CL12 \ 22 у

\ Ґ їх. =

го шага главная часть матрицы A_p** не содержит ни одного элемента или содержит только нулевые элементы, то процесс исключения пере­менных заканчивается. После проведения преобразований в системе может оказаться / уравнений, 1<т. Пусть это первые по порядку I урав­нений тогда система уравнений может быть записана в виде

(Ю.6)

Примем, что i-й направляющей строке соответствует г-й направляю­щий столбец, тогда #^(,) =|°’ ^ \ j = 1, 2,..., I.

[1; ¹ = j

п

Следовательно, (10.6) можно записать в виде х. = aj„ - J ^aI_l⁰X_j, причем

j=i+і

переменные х. являются базисными, а переменные x_s (s = /+I, ..., п) - небазисными.

Пример применения метода полного исключения. Рассмот­рим пример применения метода полного исключения Гаусса для иссле­дования системы уравнений

#21

а —21-а.

Pt. =

Расширенная матрица имеет вид

#2і

GLn—— а_

Матрицу, в которую преобразовалась расширенная матрица A_p пос­ле первого шага, обозначим А_р\ В полученной матрице все элементы направляющего столбца, отличные от направляющего элемента, стали равными нулю. Совокупность элементов первых п столбцов матрицы A_p, лежащих вне направляющей строки и столбца предыдущего шага,

называют главной частью матрицы А'¹’ данного преобразования. На­правляющий элемент второго шага выбирают среди ненулевых элемен­тов главной части матрицы A_p⁰, полученной после проведенного пре­образования.

Второй и дальнейший шаги метода проводят аналогично первому шагу. Последовательность действий продолжается до тех пор, пока 310

	1	2	1	1	3
	2	1	1	3	3
АР =	4	5	3	5	9
	Л	A2	аі	A4	А>

X₁ +2*2+^₃+х₄ =3;

• Ix_l + х₂ + X_i + 3 = 3;

4 X₁ + Sx₂ + Зх₃ + Sx₄ = 9.

Первый шаг. В качестве первого направляющего элемента возьмем а_п=1. Умножив первую строку матрицы А на 2, вычтем результат из второго уравнения и, умножив на 4, вычтем результат из третьего урав­нения; получим

^А2 ^А0 12 113 0-3-1 1 -З

А⁰⁾ =

^aP

0-3-1 1 -з

Второй шаг. Поскольку главная часть матрицы AJ₁⁰ содержит от­личные от нуля элементы, продолжим процесс исключения. Выберем

элемент а22 ⁼ -3 в качестве направляющего элемента на втором шаге преобразования. Разделим вторую строку на -3, получим

где ос₃, OC₄ - произвольные скаляры.

Симплексные преобразования. В основе симплекс-метода ле­жит идея поиска базисного решения с последующим переходом от од­ного базиса к другому таким образом, чтобы целевая функция при этом все время увеличивалась, если речь идет о задаче максимизации. Пусть мы имеем задачу линейного программирования в канонической форме. Матрица ограничений имеет вид

A₁X₁ +... + A_nX_n +е,х_п+, +...+е_ях_л+я =A₀,

Далее умножим вторую строку на 2 и вычтем результат из первой строки, умножим вторую строку на -3, результат вычтем из третьей

^{1 0} К K і'

^{0 1}K-K¹

1

о

о

3

1

-3

^АР =

строки, в итоге А‘²⁾ =

0

0

0

0

2 I 1

¹ Уз -К

-3 -1 1

0

	'1'		'0'		'0
	0		1		0
где ех =	0	, є2 —	0	> Єт
					0
	0		0		I

единичный базис, элементы а > 0 для

всех г = 1, 2, ..., т.

Будем применять метод полного исключения к расширенной мат­рице ограничений. Выбираем направляющий элемент а на данной ите­рации. В результате преобразования Гаусса, методика которого была только что описана, получим новые значения коэффициентов:

ВВЕДЕНИЕ 5