Глава 5 теория подобия - методология обоснования применения моделей

1. Модели и виды подобия

Исследование систем с помощью моделей может быть обосновано только в том случае, когда модель адекватно описывает процессы и явления, происходящие в системах. При использовании моделей необ­ходимо теоретически обосновать аналогию между моделью и реальным физическим явлением. Только в этом случае результаты, полученные на модели, могут быть перенесены на исследуемый объект. Без этого обо­снования моделирование теряет познавательное значение, так как пе­рестает быть достоверным источником информации о реальных явле­ниях и процессах. В основе доказательства степени соответствия мо­дели и объекта лежит теория подобия. Необходимо отдавать отчет в том, что абсолютное подобие может иметь место только лишь при замене одного объекта другим, точно таким же. При моделировании абсолют­ного подобия добиться невозможно. Системные аналитики стремятся к тому, чтобы модель достаточно хорошо отображала исследуемую сто­рону функционирования объекта.

В предыдущих главах были рассмотрены основные понятия моде­лей, методы построения моделей систем, организация имитационного моделирования как метода проведения системных исследований. Оста­новимся еще раз на понятии моделирования с точки зрения теории по­добия. Моделирование представляет собой процесс проведения иссле­дований объекта, базирующийся на подобии модели и объекта, и вклю­чает в себя построение модели, ее изучение и, наконец, перенос полу­ченных результатов на объект исследования. Под моделью понимают объект, например, явление, процесс, систему, экспериментальную ус­тановку, знаковое образование, математические выражения, находящи­еся в отношении подобия к исследуемому объекту. Математическое мо­делирование использует подобие между величинами, входящими в ма­тематические выражения, описывающие поведение изучаемого объек­та. Иначе говоря, в математическом моделировании в отличие от дру­гих форм моделирования предполагается замена явления его матема­тическим описанием, воспроизводимым вычислительными средствами.

Физическое моделирование использует подобие между объектом и моделью, имеющей физическую природу. Основой физического или ма­тематического экспериментального исследования являются методы теории подобия, которые применяются при постановке эксперимента, обработке данных о результатах экспериментальных исследований и испытаний.

В процессе проведения системных исследований необходимо ре­шать вопросы измерения характеристик и обработки статистических данных, распространения полученных данных на другие явления, вы­бора аналогов при проектировании систем, повышении точности и до­стоверности оценок рассчитываемых характеристик исследуемых объектов. Перечисленные вопросы решаются с помощью методов тео­рии подобия, которая дает ответы на ряд вопросов о том, как организо­вать исследования и испытания объекта анализа, как обрабатывать опыт­ные данные, обобщать и распространять полученные результаты на другие объекты.

Модель и отображаемый ею объект находятся в отношении сходства, а не тождества. Это означает, что модель по определенным признакам подобна изучаемой системе, а по каким-то может быть от нее отлична. Важное условие при проведении исследований - реализовать подобие по наиболее важным признакам с точки зрения проведения конкретно­го, данного исследования. Понятие модели взаимно связано с поняти­ем подобия. Модель обеспечивает подобие тех процессов, которые удов­летворяют критериям, полученным с помощью теории подобия. Харак­теристики любого явления в группе подобных явлений могут быть ре­ализованы с помощью критериев подобия путем некоторого преобра­зования характеристик другого подобного явления. Примером такого преобразования может служить масштабирование.

Подобие определяют как взаимно однозначное соответствие меж­ду двумя объектами, при котором функции перехода параметров, харак­теризующих один из объектов, к другим параметрам известны, а мате­матические описания этих объектов могут быть преобразованы в тож­дественные.

Итак, сформулируем очевидный тезис: чтобы некоторая конструк­ция могла быть отражением, т.е. замещала в некотором смысле ориги­нал, между оригиналом и моделью должно быть установлено отноше­ние подобия. Существуют разные виды подобия. Первый тип подобия - это подобие, устанавливаемое в результате физического взаимодействия в процессе создания моделей. Приведем примеры такого подобия. Преж­де всего, это масштабированные модели гидротехнических сооружений, самолетов, кораблей, автомобилей, макеты зданий и т.п. Такое подобие называется прямым. Только при прямом подобии возможна взаимоза­меняемость модели и оригинала. Ho даже в случае проведения иссле­дований на модели, которая является макетом, созданным путем реа­лизации отношения прямого подобия, возможны сложности с перено­сом результатов моделирования на оригинал. Например, при исследо­вании влияния водной среды на гидротехнические сооружения можно промасштабировать не только само сооружение, но и часть условий, в которых проводятся исследования (скорость течения воды, высоту волн), однако часть факторов масштабированию не поддается, например, вяз­кость воды, сила тяготения. В результате задача пересчета данных, по­лученных при проведении модельного эксперимента, на реальные ус­ловия становится нетривиальной.

Второй тип подобия - косвенное подобие. Косвенное подобие объек­тивно существует в природе, обнаруживается в виде совпадений или достаточной близости оригинала и модели. Если установлена близость абстрактных моделей рассматриваемых объектов (оригинала и модели), то можно переходить к использованию их в практике реального моде­лирования. Наиболее известным примером косвенного подобия явля­ется подобие некоторых электрических и механических процессов, описываемых одинаковыми уравнениями. Различие в уравнениях состо­ит лишь в различной физической интерпретации переменных, входя­щих в эти уравнения. Рассмотрим примеры сходства математических описаний процессов различной физической природы: электрических, механических, гидравлических, процессов динамики жидкости и газа и пр. (табл. 5.1).

Законы Кулона и Ньютона описывают силу, действующую на еди­ничные электрические заряды д, и q₂ или тела, массой Bi_lHm₂, находя­щиеся друг от друга на расстояниях г, достаточно больших по сравне­нию с геометрическими размерами несущих их тел.

Уравнения электрической и гидравлической цепей описывают по­ведение потока зарядов (электрического тока J_e) и потока жидкости (гид­равлического тока J_g) сквозь электрические и гидравлические сопротив­ления r_e, r_g, индуктивности L_e, L_g и емкости C_e, C_g. В этом случае анало­гом напряжения электрической цепи является давление P в расчете на единицу объемной плотности р_т текущей среды, заполняющей гидрав­лическую цепь.

Таблица5.1

Закон Кулона F_ Шг 4 тег2	Закон Ньютона P ThmI г
Уравнение электрической цепи	Уравнение гидравлической цепи Р. !! Л CjJ !
Принцип непрерывности электрического тока S LdS = -^- Jsj' dt	Принцип непрерывности потока жидкости }sdS=- — dt
Закон сохранения энергии Wt = р, (Eh + kS )+AWt = const	Уравнение Бернулли P = р„ (gh + V2 / 2) + ДРГ = const

Принципы непрерывности электрического тока и неразрывности жидкости означают, что суммарный поток зарядов J_e и суммарный ток жидкости J_g, проходящие в единицу времени сквозь любую замкнутую поверхность S, в точности равны скорости изменения соответственно заряда или массы внутри этой поверхности. Эти принципы представ­ляют собой законы сохранения вещества (заряда или массы) при лю­бых преобразованиях, кроме аннигиляции.

Из закона сохранения энергии в установившемся режиме течения следует, что плотность полной электрической W_e или механической P энергии постоянна вдоль всей цепи, хотя и может перераспределяться между потенциальной, кинетической и тепловой формами. В уравне­ниях используются обозначения: р_е и р_т - объемные плотности заряда и массы; g - ускорение в поле земного тяготения; h - расстояние от источника электрической энергии до данного места цепи или высота уровня жидкости над данным местом гидравлической цепи соответ­ственно; к_е - коэффициент, характеризующий геометрию цепи; v - ско­рость течения зарядов или жидкости.

Убедившись в схожести описаний процессов различной физической природы, можно заменить исследования одних из них изучением дру­гих. Так, вместо громоздкого и сложного экспериментирования с меха­ническими объектами можно проводить опыты с электрической схемой, исследовать при этом различные варианты, не переделывая механичес­кую конструкцию. Примером косвенного подобия является проведение исследований на аналоговых вычислительных машинах. В свое время масштабы использования аналоговых вычислительных машин были очень широки.

Третий класс моделей - это модели, подобие которых оригиналу не является ни прямым, ни косвенным, а устанавливается в результате соглашения. Такое подобие называется условным. Примерами услов­ного подобия являются чертежи (модели будущих объектов), карты (модели местности), сигналы (модели сообщений). Условное подобие не требует фактического сходства, но несмотря на это, оно должно стро­иться с учетом особенностей человека - создателя и потребителя моде­лей условного подобия.