2. Основные понятия физического подобия

Виды физического подобия

Теория подобия включает в себя такое обширное понятие как фи­зическое подобие, которое объединяет геометрическое, динамическое, кинематическое, тепловое и другие виды подобия. При геометрическом подобии отношение любых сходных отрезков равно одному и тому же постоянному числу. Иными словами изучаемый объект подобен перво­начальному, когда он получается путем изображения его в другом гео­метрическом масштабе. Кинематическое подобие означает, что в любых сходных точках систем скорости движущихся объектов параллельны и пропорциональны друг другу, т.е. отношение между их скоростями одинаково во всех точках системы. Если система рассматривается как состоящая из отдельных элементов, то у подобных систем отношение масс элементов между собой представляет постоянное число. Динами­ческое подобие заключается в параллельности и пропорциональности сил в сходных точках. Тепловое подобие означает пропорциональность друг другу всех характеризующих тепловое явление величин: темпера­тур, теплоемкостей, тепловых потоков, коэффициентов теплопроводно­сти И Т.Д.

Приведем математическую формулировку подобия. Введем обозна­чения. Пусть /, и V₂ - сравниваемые отрезки длин первого и второго объектов, V₁ и V₂ - скорости объектов, Ztt_lHm₂- массы,/, и f₂ - сравнива­емые силы. Тогда можно записать

HL-A-

I₁ ^с'’ v₂ ^С“’ Tn₁ ^С"’ /₂ ^с'-

Коэффициенты, определяющие отношения длин C₁, скоростей C_v, масс с_т и сил c_f, называются константами подобия. Для каждого вида величин константы имеют свою особую численную величину.

В общем случае подобие явлений, процессов или систем определя­ется как пропорциональность друг другу всех величин, характеризую­щих данные объекты. Коэффициенты пропорциональности при этом сохраняют постоянное значение во всех точках системы для величин определенного наименования, но могут принимать отличные значения для величин разного наименования.

Подобных объектов может быть не два, а значительное количество, т.е. они могут составлять группу подобных объектов. Сравнивая все члены группы с одним объектом, который является образцовым или базовым, можно выявить закономерность: при переходе от одного, по­добного базовому, объекта к другому константы подобия могут прини­мать разные значения. Ho при этом сохраняется свойство постояннос­ти констант во всех точках каждой системы, подобной базовому образ­цу. Объединяя переход от явлений образца ко всем подобным ему, можно рассматривать его выражение X¹₂ = с_хіх[ как групповое преобразование явления.

Инварианты подобия

Подобие явлений можно выражать не только константами подобия, но и так называемыми инвариантами подобия. Для пояснения понятия инварианта подобия необходимо перейти от абсолютной системы еди­ниц измерений к относительной. С этой целью требуется отнормиро- вать все величины каждого из подобных объектов. При этом за базовое значение принимаются характеристики объектов, измеренные в сход­ных точках, например, объект характеризуется линейными размерами длиной /,, шириной d_{ и высотой /г,. Возьмем один из параметров за базовый, остальные отнормируем относительно него, получим

L_l=IJh_l, D_l=ClJh_l, H_l=HJh_l= 1.

Аналогичные действия проведем для объекта, находящегося в от­ношении подобия к первому объекту, при этом в качестве базового возьмем аналогичный параметр, что и для первого объекта, в нашем случае это высота. В результате получим

L₂ = IJh₂, D₂ =CLJh₁, H₂=H₂Ih₂=I.

Поскольку первый и второй объекты находятся в отношении подо­бия, то для них выполняется условие IJl₂ =djd₂ =hjh₂ = с,, откуда получаем

/⁼ ^2/Л₂» djh_x dj/Zij)

следовательно L=L₂, D=D₂. Точно такие же соотношения можно полу­чить для любых других характеристик объектов, находящихся в отно­шении подобия друг к другу. Так для скоростей процессов будем иметь ^vI I^vi ⁼ V₁', v‘₂/v°₂ = V₂', ще нижний индекс означает номер объекта, а вер­хний индекс - номер точки, в которой производятся измерения: при этом одинаковыми индексами обозначены результаты измерений в сходных точках. Проводя такую же процедуру, как это было сделано в случае линейных размеров, получим V₁' = V₂'. Для масс объектов будет справед­ливо выражение M₁' = M₂'. Таким образом, получен результат, заключа­ющийся в том, что значения соответствующих характеристик подобных объектов, выраженные в относительных единицах измерения и рассчи­танные в сходных точках, равны друг другу. Эти величины и называ­ются инвариантами подобия.

Необходимо различать понятия «константа подобия» и «инвариант подобия». Константа сохраняет постоянное значение во всех точках системы, но она изменяется, коща одна пара подобных явлений заме­няется другой. Инвариант подобия, наоборот, различен для разных то­чек системы, так как он является отображением одной из величин этой системы, имеющей разное численное значение в разных точках систе­мы. Инвариант подобия не меняется при переходе от одного явления к любому другому, подобному ему, т.е. сохраняет одно и то же значение в сходных точках всей группы подобных явлений.

Константы подобия не являются произвольными величинами. Ха­рактер взаимосвязи величин, входящих в константы подобия, опреде­ляется закономерностью физического явления и выражается в виде уравнений. Наличие взаимосвязи между величинами налагает опреде­ленные ограничения и на константы подобия.

Различают полное, неполное, приближенное и другие виды подо­бия, используемые в соответствующих способах моделирования. Полное подобие и соответственно способ моделирования в формализованном виде характеризуют тот случай, когда между всеми параметрами образцово­го объекта и модели выполняется соотношение y_t = тх., ще y_t - і-й па­раметр системы-оригинала; х. - і-й параметр модели; m_t - масштабный коэффициент, который обычно является постоянной величиной.

Неполное подобие и соответственно способ моделирования харак­теризуются частичным подобием протекания основных процессов в системе и модели или только в пространстве, или только во времени. Приближенное подобие имеет место в том случае, коща для части па­раметров системы и модели инварианты подобия приблизительно рав­ны друг другу, т.е. значения инвариантов системы и модели укладыва­ются в некоторые границы критической области.

146

Совокупность масштабных коэффициентов перехода от модели к натурному образцу представляет собой масштабный фактор системы в целом. Изменение масштабного коэффициента перехода от модели к образцу для одного из параметров приводит, как правило, к изменению масштабного фактора физической системы пропорционально значению этого параметра для исследуемого процесса. В сложной неоднородной системе при расчете масштабного фактора должны учитываться взаи­мовлияния подсистем. При этом необходимо обращать внимание на проверку критериев подобия в широком диапазоне изменения парамет­ров в процессе проведения исследований. Для однородных моделей, по­лученных на основе теории подобия, как правило, выполняются требо­вания автомодельности. Автомодельность - это свойство явления авто­матически сохранять подобие явлению-оригиналу независимо от абсо­лютных величин параметров элементов той или иной системы, в кото­рой данное явление протекает. Согласно теории подобия, если модель и натурный объект подобны, то они описываются одинаковыми крите­риями и эти критерии тождественны. Если отношения подобия между моделью и оригиналом установлены, то результаты, полученные при исследовании модели, можно переносить на обьект-оригинал.

3. Формирование критериев физического подобия

До сих пор речь шла об установлении подобия объектов на основа­нии сравнения определяющих параметров, характеризующих свойства сравниваемых объектов. Однако в теории подобия известны результа­ты, которые говорят о том, что количество сравниваемых величин можно уменьшить, сформировав так называемые критерии подобия. Критерием подобия я назовем безразмерный (т.е. нулевой размерности) функцио­нал, зависящий от нескольких определяющих параметров объекта (двух и более):

л = Ф (P₁, P₂,..., р_п).

Рассмотрим способ формирования критериев подобия для некото­рого явления, процесса или системы. Пусть рассматриваемый объект характеризуется п параметрамиP_vP_v - -,P_n- Каждый параметр представ­ляет собой некоторую измеримую физическую величину, для которой определена шкала измерения и установлена размерность. Размерность величины находится при помощи определительного уравнения, кото­рое описывает эту величину в математической форме. Например, опре­делительное уравнение для скорости имеет вид v = dLl dT, где L - рас­

стояние; T- время; для силы F = Mg, где M,g- соответственно масса и ускорение. Размерность величины будем указывать при помощи сим­вола, взятого в квадратные скобки, так, например, для размерности ско­рости движения объекта запишем [v] = [L][7] ', где [L\, [7] - соответ­ственно размерности длины и времени; для размерности силы получим [F] = [M\[L][T\², іде [М\ - размерность массы. Короче говоря, размер­ность любой физической величины представляет собой произведение возведенных в степень размерностей первичных величин.

Рассмотрим механические системы, для которых первичными еди­ницами измерения являются длина [I], время [7] и масса [М\. Размер­ность любого определяющего параметра можно выразить через эти единицы:

[р,:і=ш^а'[л^р'[м]\

Критерий подобия определим как комбинацию величин р., і = \~п, т.е. л = pl' pi¹ или выразив через размерности соответствующих ве­личин, будем иметь:

к = Clp_lYip₂T-IpSⁿ,

где с - безразмерная величина, численно равная произведению значе­ний параметров. Выразив далее размерность определяющих парамет­ров системы через первичные единицы измерения и подставив эти вы­ражения в критерий подобия, получим:

Л = c[[Lf[Tf [М T'г [[Lp[Tf² [Mf Y²...[[Lf"[Tf- [Mf]\

Группируя выражения одной размерности, получим

п =_c[[L]“^l2,+a^²⁺[Т]^{P|Z| +}-^+Р"^г" [М]^УЛ].

Поскольку критерий подобия был определен как безразмерный фун­кционал, можно записать соотношение, связывающее степени у размер­ностей:

a_lZl+a₂z₂+...+a„z„=0;

= 1.

D =

PiZ₁+ P₂Z₂+ ...+Р_лг„ =0;

YiZ₁ +Y₂Z₂ +-+Y_nZ_ll=O.

Получена система из трех уравнений. Ранг системы равен трем; таким образом, число независимых переменных равно п — г, где г — ко­личество первичных величин, определяющих систему единиц измере­ния, в рассматриваемом примере г = 3. Это число независимых пере­менных определяет количество критериев подобия, необходимых и достаточных для решения задачи о подобии оригинала и модели.

Таким образом, для определения критериев подобия необходимо вы­явить число определяющих параметров, которые характеризуют иссле­дуемый процесс, составить матрицы размерностей каждого параметра, установить число независимых между собой параметров, представить описание исследуемого явления в критериальной форме, записать вы­ражения критериев подобия. Проиллюстрируем формирование крите­риев подобия на примере системы вынужденных механических коле­баний с демпфированием. Пусть груз массой M колеблется на пружине жесткостью С, причем при перемещении его на расстояние I в вязкой среде появляется сила сопротивления, пропорциональная скорости v: F = -Kv. На груз действует возмущающая сила F₄=Fsin(O)O- Участвую­щих величин семь: р, = М, р₂= CO,P_i=F, P₄= /,P_s=K, P₆= С,P₁= t. Фун­кциональная зависимость, подлежащая исследованию, имеет вид Ф(М, со, F, I, К, С, t). Выберем три независимые единицы применитель­но к системе измерений LMT. Пусть р =M, P₁= со₀, P₃=F₀, тогда получа­ем систему

[M]=[M]-'[Lm°;

[coHACWm-¹; (5.1)

[F]=[M]'[L]'[T\-²-

Для остальных параметров будем иметь

[/]=[M]⁰[LV[T\⁰-,

[K\=[Mf[L]°[T\'^u,

[c]=[Mf[Lfm\

[t\=[M\\Lf[Tf.

Правильность выбора числа независимых параметров проверяется путем вычисления определителя, составленного на основании системы (5.1):

1. 0 0 0 0-1

1. 1-2

Поскольку определитель не равен нулю, то выбранное значение числа независимых параметров, равное трем, оказывается верным, и величины М, со, F₀ действительно независимы. Дальнейшие действия заключаются в определении формы записи критериев подобия согаас-

но системе уравнений (5.1) и отыскании числовых значений показате­лей степеней в выражении для размерностей соответствующих парамет­ров. Применительно к данному примеру будем иметь

И

7С, = _: :

' [Mf'[(Oj^fil[Ff'’

[К]

2. [Mf²[to]^fc[Fp ’ [С]

W

к. =

[Л/]“⁴[С0]^р4[/^rI^r* '

Определим значения показателей степеней а., р., у, Выразив размер­ность каждой из составляющих, входящих в формулы приведенной системы, через первичные единицы измерения, получим

^Ь| [м ]“> [Т]^ [М Г' [Lf [Г]^-271 •

Приравнивая показатели одноименных первичных единиц измере­ния, стоящих в числителе и знаменателе, получим у,= I, a,= -I, P₁= -2. Далее для второго критерия

[MiPT¹

"² [Мр[ТуНМ]^ъ[Ц^ъ[Т]-^2ъ ' откуда получаем у₂ = 0, а₂ = I, P₂ = 1. Для третьего критерия

WWY²

7С,=

[Л/Г [7T^fc [Af P [Lp [7Т^2ї1 ’

и можно определить показатели степеней у₃=0, а₃=1, Р₃=2. И, наконец, для последнего критерия

_ [Т]

TT = —

[М ]“< [ТТ^Л [Af P [Lp [TT^2r4 ’

показатели степеней равны у₄= 0, а~ О, P₄= -1. Критерии подобия, та­ким образом, будут иметь следующий вид:

’ ^л2-—, л₃=_т7-_т, TC₄=COf.

Ml ОУ

Г ’ ~~ > «»з — ,

F AftO AftO²

Поскольку в рассматриваемой системе имеется семь определяющих параметров, а выделено четыре независимых критерия, то можно ска­зать, что на основании данных критериев подобия имеется возможность сформировать новые группы независимых между собой критериев. Имеется в виду независимость критериев внутри группы. Критерии, взятые из разных групп, будут зависимыми. Новую группу независи­мых критериев можно построить, например, перемножив некоторые критерии из исходной группы.

Таким образом, показано, что для решения задачи определения по­добия объектов (оригинала и модели) сравнивается не множество оп­ределяющих параметров, а множество критериев, размерность которо­го меньше, чем размерность множества определяющих параметров.