где
mr
2
±(Т,-т?
(Т~т)
2
о2
2,
ф'exP
2
а2
ма-распределению
/а,
а,
{7;})=-JlI
'-ITiX
\Т[тг
ш
гамма-распределения;
Рассмотрим
несколько конкретных примеров 1.
Пусть Т.
-
элементы выборки наблюдаемой случайной
величины, распределенной по
экспоненциальному закону с параметром
X.
Тогда функция правдоподобия запишется
следующим образом:
f(X,{^»
=
Г1^ехр(-XTi)
= X1
expf-XJgTi
.
м ;=1
,
Выражая
сумму, стоящую в показателе экспоненты,
через среднее арифметическое, получаем
\
‘
1
Здесь
X
и
а
- параметры масштаба и формь Г(а)
-
гамма-функция.
Таким
образом, не возникает принципиальных
трудностей формирования совместной
плотности распределения, содержащей
текущую информацию об исследуемом
процессе или объекте. Методы формирования
априорной плотности будут рассмотрены
в следующих параграфах.
к
2.
Пусть
Г.
- элементы выборки случайной величины,
распределенной по нормальному закону
с параметрами тис.
Тоща
функция правдоподобия
f(m,о,(Ti))
=
JJ-J^exp
і-i
v2jtа
f(X,(T})~
Xk
ехр(-kXmr),
f(X,
a, t)
-
А_1_
ехр
PWехр
(2лс2)
3
.T-
К
Ir,
гам-
1=1
В
этом случае функция правдоподобия
Рассмотрим
схему оценивания, когда наблюдения за
функционированием объектов
проводятся в несколько этапов, и после
завершения каждого этапа необходимо
сделать заключение о достигнутом
значении исследуемого показателя
сложной системы. Данная ситуация весьма
характерна для эксплуатации оборудования
ЯЭУ. На практике ведутся наблюдения
за функционированием оборудования ЯЭУ
и по истечении определенного периода
(например, каждый год) информация
поступает в вышестоящую организацию
для обработки.
Вновь поступающую информацию
необходимо анализировать для определения
значения достигнутых показателей
надежности элементов, систем, устройств
ЯЭУ. Однако при проведении расчетов
необходимо иметь в виду, что данные
элементы уже эксплуатировались в
составе ЯЭУ и имеется информация об
их поведении за прошлые периоды
функционирования. Учет вновь
поступающей информации наряду с уже
имеющейся существенно повышает
достоверность и точность
оценок исследуемых характеристик.
Математическая
постановка задачи, решаемой в данном
параграфе, формулируется следующим
образом.
Пусть
исследователь производит испытания
объектов
в несколько этапов. В результате первой
серии испытаний получена статистика
(7),
1
= 1, к}.
Априорная плотность распределения
параметра 0
имеет
вид й(0).
Апостериорная плотность распределения
параметра 0
определяется
соотношением (8.4).
Во
второй серии испытаний исследователь
зафиксировал статистику {Г
j
= 1, /}.
Необходимо получить оценку
характеристик надежности, учитывая
как априорную информацию, так и результаты
последовательно проводящихся серий
испытаний.
Покажем,
как следует подходить к решению задачи
в такой постановке. После проведения
второй серии испытаний плотность
распределения (8.4)
можно
рассматривать как априорную плотность
по отношению к новой статистике [Tj,
j
= 1, /}.
После применения формулы Байеса
получим новую апостериорную плотность,
учитывающую обе серии наблюдений:
— _
/.({7:),0)6(0/(7;.})
h(Q
или, подставив вместо А(0/{7Т}) выражение (8.4), получим
/,({71),0)/,({Г.},0)Л(0)
0
Если проводится несколько серий испытаний (например тп), то после m-vi серии наблюдений выражение для апостериорной плотности будет иметь вид
ft шгм-гг ’■ -гг n
«аиосгf- -- ■ - - - - - ■
J /,((^,}.в)-/т({^т}.в)Ь(0)^0
0
Это означает, что если наблюдения проводятся в несколько этапов, то апостериорное распределение можно вычислять на каждом этапе, беря в качестве априорного распределения для последующего этапа апостериорное распределение, полученное на предыдущем, т.е. оценивание можно проводить последовательно. Далее можно сделать следующее заключение: если апостериорное распределение параметра 0 вычисляется в два приема и более, то окончательный результат не зависит от того, какая выборка получена сначала.
Процесс оценивания параметра 0 теперь может быть описан в следующем виде. В каждый заданный момент времени исследователь располагает вероятностным распределением параметра 0. С течением времени к исследователю поступает информация о 0 в виде статистики {Т}, и он использует эту информацию для корректировки распределения 0. В те моменты времени, когда исследователю необходимо оценить 0, он применяет процедуру (8.6), (8.7) и получает решение, оптимальное относительно распределения 0 в данный текущий момент.
Байесовское оценивание и несобственная плотность распределения
При изложении байесовской процедуры оценивания до настоящего времени предполагалось, что у системного аналитика до проведения исследований над объектами имеется некоторая априорная информация. Процедура оценивания состоит в том, что на основании априорной информации формируется некоторая априорная оценка искомого параметра и затем по мере поступления информации эта оценка уточняется.
244
Однако при решении задач системного анализа нередки случаи, когда у исследователя кроме информации, полученной в результате текущих наблюдений, никаких других сведений нет. Известен подход, дающий возможность применять процедуру байесовского оценивания в ситуации полного отсутствия априорной информации, основанный на использовании несобственной плотности распределения.
Вначале изложим пример из области оценивания характеристик надежности. Итак, пусть требуется оценить показатель ВБР. Предположим, что имеется априорная информация о показателе надежности изделия р, согласно которой данный параметр имеет ^-распределение:
Kp) =Pa-W-р?-\
Текущая информация представлена в виде результатов испытаний группы однотипных объектов, в ходе которых из к испытываемых изделий m объектов отказало.
Результат испытаний можно записать в виде распределения Бернулли:
/ (p,Km) = Cmkpk-m (1-PT- (8.10)
Апостериорное распределение ВБР изделия запишется в виде
a+fc-m-1 /і n\P+m“*
Km(Р/Р)= -Г1 -21 = С(«>P-«• *) Ра+к'Я~' (1 -Р)Р+МЧ’
j (I -pf**-' dp
о
где С( a, Р, т, к)- постоянная, зависящая от параметров а, (3, т, к.
Таким образом, вновь получили ^-распределение с параметрами (а + £-т-1)и(Р + т-1). В выражении (8.10), описывающем результаты текущих исследований, параметры распределения представляют собой т - количество отказавших изделий и (к-т)- количество изделий, испытания которых прошли успешно. По аналогии с этим можно интерпретировать априорное распределение как эквивалент наблюдений выборки объема a + Р, в которой P элементов отказало за время проведения исследований и а элементов прошло испытания успешно. После того, как провели такую аналогию, естественно при полном отсутствии априорной информации логично положить значения а и P равными нулю, т.е. априорное распределение должно быть эквивалентно рассмотрению выборки объема 0, в которой 0 элементов отказало.
При этом апостериорное распределение примет вид
йа„осТ(р/а = 0Я = 0) = С(к,т) рк~т-' (l-p)"-1.
Оценки
параметра ВБР и дисперсии оценки ВБР
будут равны
(т.
ехр
25
IS2O2
2а
\2
S'ma
+
Cmr
S2+O2
(
S1Vit+Q2тт
S2
+O2
+
Ь.
0-
2
S-O-
-
,,
W,
2
(к-т)т
(1-р)
р
= (к-т)/к;
<Г
=-Ц ^
'
к2(к
+1)
к+1
т.е.
получили результат, состоящий в том,
что апостериорные среднее и дисперсия
оказываются зависящими только от
текущей информации.
Способ,
с помощью которого произвели оценивание
показателя ВБР при полном отсутствии
априорной информации, формально дает
приемлемый результат. Единственное
затруднение, которое возникает при
этом, заключается в том, что, если а и
(3
приравнять
нулю, то получается априорная
плотность, не удовлетворяющая условиям
нормировки. А именно интеграл от
этой
плотности по всей области определения
может оказаться равным бесконечности,
независимо от выбора масштабного
множителя.
Функцию
с параметрами а и (3,
одновременно
обращающимися в нуль, называют
несобственной функцией.
Приведем
другой пример оценивания показателей
надежности. Необходимо оценить
наработку на отказ механических
элементов. Известно, что наработки
объектов
с механическими компонентами хорошо
описываются гауссовским законом
распределения. Пусть имеется априорная
информация о параметре наработки на
отказ в виде априорной плотности
распределения
=—
2ійа//(9,{т;}Ж9)</9
Преобразуем
показатель степени у экспоненты. Для
этого прибавим И ВЫЧТеМ
ВеЛИЧИНу
^a
l
mT
)
.
IS2
Перегруппировывая
члены, получаем
(mr
-
9)2
(9
-
та
)2
_5W
2
2а2
S2
+о2
+
Ь
=
-
25
V
V
(S2ma
+C2mT)2
С
mT
+
5
ma
і
-9)2
,
(9-та)2
S1+а
ґ
(9-m,)2^
2а2
h(B)
=
—==—
ехр
Jlna
Апостериорное
распределение для 0
можно
записать теперь в виде
S2m.
+
O2Inr
\
/
25
а
Kn^(QIiTi))
=
A™
P
S2+G2
S2+O2
Так
как, согласно условию нормировки,
интеграл по области определения
параметра 0
должен
равняться 1,
то
(тт
- 8)2
IS2
где
C2
-
дисперсия априорной оценки наработки
на отказ та.
Текущая
информация представлена в виде наработок
объектов до отказа Tv
Tv
...,
Tk.
Функция
правдоподобия в данном случае
/(0,(7;})
=
-i-
ехр
JlnS
где S1 - дисперсия наработки на отказ, определенная на основании текущей информации, а именно
Vr J(Ti-Mr)
Zrf , S2 =i=i ^
т'=~Г' (к-Dk
^lnS2G2/(S2+ О2)
Отсюда видно, что апостериорная оценка наработки на отказ будет определяться по формуле
- S2m3+a2mT
Дисперсия оценки определяется из выражения
D(0):
(9-/Wt)2
IS2
^anocr (б /[Ti })02_^ = -J==^ ЄХР
Иными словами, апостериорное распределение зависит исключительно от информации, полученной на этапе текущих исследований.
В данном случае априорная плотность распределения с бесконечной дисперсией так же, как и в примере с (5-распределением, является несобственной плотностью распределения.
С вводом понятия несобственной плотности распределения получен формальный метод оценивания вероятностных характеристик сложных систем в случае полного отсутствия априорной информации. В основе метода, как и прежде, лежит байесовский подход.
Таким образом, при отсутствии априорной информации на первом этапе оценивания можно воспользоваться несобственной функцией и получить оценки искомых параметров, а затем, воспользовавшись моделью последовательного накопления информации, изложенной в п. 8.3, получать все более точные значения оцениваемого показателя. Данный подход особенно актуален в условиях автоматизированного анализа характеристик надежности, когда большое значение имеет единообразие методик расчета.