4. Агрегирование - метод обобщения моделей

Операцией, противоположной декомпозиции, является агрегирова­ние - объединение частей в целое. Операция декомпозиции применя­ется на этапе анализа системы. Цель декомпозиции - представить си­стему в виде иерархической структуры, т.е. разбить ее на подсистемы, их, в свою очередь, на части, далее выделить блоки, блоки представить в виде элементов и т.д. Аналогичные действия производят с целями, выделяют подцели, далее задачи, функции, операции. Затем для выде­ленных элементарных компонентов строят математические модели. Далее начинается операция сбора моделей компонентов системы в единую модель. Эта операция и есть агрегирование. Цель агрегирова­ния - составление модели систем из моделей составляющих компонен­тов. Если декомпозиция системы осуществляется сверху вниз, то агре­гирование идет снизу вверх.

Будучи объединенными, взаимодействующие элементы образуют систему, которая обладает не только внешней целостностью, обособ­ленностью от окружающей среды, но и внутренним единством. Прояв­лением внутренней целостности системы является наличие у системы новых свойств, которые отсутствовали у отдельных элементов. Систе­ма не является только лишь объединением элементов, она представля­ет собой нечто большее. Система в результате ее создания приобрета­ет такие свойства, которых нет ни у одного из ее элементов или частей. Естественно, что эти свойства появляются у системы ни вдруг, ниот­куда. Система обязана появлением качественно новых свойств благо­даря наличию конкретных связей между конкретными элементами. За­дача агрегирования заключается в том, чтобы сформировать модель системы из моделей элементов и не упустить при этом тех свойств, которые получаются при объединении элементов. Поскольку модель есть лишь слепок системы, ее отражение, то в ней должны быть реали­зованы хотя бы основные свойства, выражающие целевую направлен­ность данной модели.

Приведем пример. Допустим, решается вопрос о расчете характе­ристик надежности некоторой системы. В результате выполнения де­композиции построены модели надежности элементов. На этапе агре­гирования последовательно от элементов к блокам, от блоков к кана­лам, от каналов к подсистемам и т.д. собирается модель системы. Какие новые свойства могут появиться у системы с точки зрения на­дежности функционирования? Одно из таких свойств - это повышение надежности за счет дублирования элементов или каналов, как это по­казано на рис. 2.3, в результате чего вся система более надежно вы­полняет свои функции. Далее может иметь место функциональное дуб­лирование подсистем. В случае выхода из строя одной подсистемы частично может взять на себя выполнение ее функций другая подсис­тема. В системе управления и защиты энергоблоков атомных станций есть подсистема выработки сигнала на срабатывание аварийной защи­ты при превышении уровня мощности выше заданного предела и под­система выработки сигнала при превышении скорости нарастания мощ­ности. Наличие данных подсистем приводит к тому, что система в це­лом выполнит задачу остановки реактора в случае наступления аварий­ной ситуации даже при неисправности одной из них. Налицо функцио­нальное дублирование. Задача агрегирования - реализовать данное свойство системы при составлении конкретной модели, в данном слу­чае модели надежности системы.

Как и в случае декомпозиции, техника агрегирования основана на использовании определенных моделей исследуемой системы. Именно избранные модели жестко определяют, какие части должны войти в состав модели и как они должны быть связаны между собой. Разные постановки задач приводят к разным целям агрегирования и, следова­тельно, к необходимости использования разных моделей. Так при пост­роении модели надежности не используется информация о стоимости того или иного блока, не принимаются во внимание стоимостные моде­ли. Если ставится задача оптимизации структуры с использованием сто­имостных критериев, то используются модели надежности и стоимос­ти, но игнорируются, скажем, модели физических процессов, протека­ющих в блоках. Таким образом, тип окончательного агрегата опреде­ляется постановкой задачи и общей целью проводимого исследования. Отметим, что агрегатом называется результат выполнения операции агрегирования, т.е. модель, получаемая в ходе агрегирования. Точно также техника построения агрегата определяется условиями и целями агрегирования. В общем виде агрегирование определяют как уста­новление отношений на заданном множестве элементов.

Объектом системных исследований являются большие или слож­ные системы широкой прикладной направленности. Системный анализ применяется для решения задач исследования технических, социотех- нических, социальных, природных систем, т.е. объектом анализа может быть и технологический процесс, и экологическая ситуация обширной территории, и технико-экономическое развитие промышленного объек­та, и социально-психологические исследования внутри коллектива. Ес­тественно, что приходится наблюдать и описывать разнообразные про­цессы и структуры в ходе проведения исследований. Количество таких процессов очень многообразно и требует для своего описания приме­нения разнообразных моделей. Здесь следует отметить одно важное обстоятельство. Конечная модель системы должна давать полное пред­ставление о системе с точки зрения поставленной цели исследования. Только совместное описание в терминах нескольких качественно раз­личающихся языков позволяет охарактеризовать явление с достаточ­ной полнотой. Например, при проектировании автоматизированной сис­темы управления предприятием систему необходимо описывать в виде структурной схемы ее элементов, в виде функциональной схемы реша­емых задач, в виде организационной схемы, в которой отражается связь данной системы с верхним и нижним уровнями управления, роль систе­мы в принятии управленческих решений, далее необходимо в виде схе­мы отразить информационные потоки, циркулирующие в системе и про­чие особенности. Если не будет представлена хотя бы одна из схем, система утратит свою целостность. Здесь приходится опять сталкивать­ся с проблемой полноты описания и возможной минимизацией описа­ния явления. Причем, говоря о процессе агрегирования, необходимо заметить, что неполнота описания становится почти недопустимой. При неполноте описания речь может идти вообще не о том предмете, КОТО­рый имеется в виду. С другой стороны, переопределение связано с боль­шими затратами. Таким образом, для создания агрегата необходимо при­влечение качественно различных языков описания системы, причем число языков должно быть минимально, но в необходимом количестве для реализации заданной цели. Перечислив языки, на основании кото­рых строится модель системы, тем самым определяется тип системы, фиксируется понимание природы системы.

Итак, приходится констатировать, что для разработки моделей си­стем используются разнообразные языки описания. Количество языков возрастает, когда приходится говорить о динамическом описании пове­дения систем. Однако, несмотря на многообразие описываемых про­цессов и структур, они могут быть классифицированы и представлены в виде ограниченного набора классов-агрегатов. Рассмотрим некото­рые из наиболее употребимых видов агрегатов.

Агрегаты-структуры

Важной формой агрегирования является образование структур. Как и любой вид агрегата, структура является моделью системы и опреде­ляется совокупностью: объект, цель и средства моделирования. В ре­зультате получается многообразие типов структур: сетевые, древовид­ные, матричные. При синтезе создается структура будущей системы. Если это реальная система, то в ней установятся не только те связи, которые заложены в ходе проектирования, но и те, которые возникают из самой природы сводимых в систему элементов. Вспомним пример с подсистемами системы управления и защиты энергоблока AC. Функ­циональное дублирование возникает ввиду наличия соответствующих физических процессов, происходящих в установке, существует объек­тивно, получается само собой.

Далее, говоря об агрегатах-структурах, следует отметить, что при проектировании системы важно задать ее структуру во всех существен­ных отношениях. Рассмотрим пример, иллюстрирующий данный тезис. При проектировании радиотехнических приборов требуется разработ­ка нескольких видов структур, а именно, блок-схема, принципиальная и монтажная схемы. Блок-схема определяется выпускаемыми промыш­ленностью радиоэлементами, и прибор делится на такие элементы. Принципиальная схема предполагает совершенно иное деление, так как она должна объяснять функционирование этого прибора. На ней выде­лены функциональные единицы - конденсаторы, диоды, транзисторы, которые могут не иметь пространственно локализованных аналогов, т.е. в реальности они выполнены в виде интегральных схем. Монтажная схема является результатом представления пространственной геомет­рии прибора, в пределах которого производится его монтаж. Таким об­разом, проект любой системы должен содержать разработку стольких структур, на скольких языках эта система описывается. Например, в организационных системах можно выделить иерархическую структуру подчиненности, структуру циркуляции информации, структуру производ­ственного процесса и т.д. Эти структуры могут существенно отличаться топологически, но все они описывают с разных сторон одну и ту же систе­му и поэтому не могут быть не связаны между собой.

Агрегаты-операторы

Тип агрегата-оператора имеет место тогда, когда агрегируемые признаки фиксируются в числовых шкалах. В этом случае задается отношение на множестве признаков в виде числовой функции многих переменных, которая и является агрегатом. Основное применение аг­регаты-операторы находят при описании динамических свойств систе­мы. Представление зависимости выходных показателей системы в виде функционала от входных переменных есть пример агрегата-оператора.

Рассмотрим формализованное определение агрегата-оператора. Пусть T— множество моментов времени; X - множество входных сиг­налов; U- множество сигналов управления; Y- множество выходных сигналов; Z - множество состояний системы. Элементы указанных множеств назовем t с T — моментом времени; х с X — входным сигна­лом; uaU- управляющим сигналом; ус У- выходным сигналом; z <z Z- состоянием системы. Все перечисленные сигналы будем рас­сматривать как функции времени x(t), u(t),y(t), z(t). Под агрегатом-опе­ратором будем понимать объект, определяемый множествами Т, X, U, Y, Z и операторами H и G, которые являются оператором переходов H и оператором выходов G. Данные операторы реализуют соответственно функции z(t)ny(t).

Рассмотрим оператор переходов Н. Пусть даны состояния систе­мы в моменты времени tat + At, т.е. предполагается, что система за время At переходит из состояния z{t) в состояние z(t + At). Если извес­тно, что в момент времени t в систему поступают входные сигналы x(t) и управление u(t), то оператор переходов однозначно определяет состо­яние системы в следующий момент времени z(t + At):

z(t + At) = H{t, x(t), u(t), z(t)}.

Аналогично оператор выходов однозначно определяет значения вы­ходных характеристик системы и выражается следующим образом:

y(t) = G{t, x(t), u(t), z(t)}.

Если для системы удается представить зависимость ее выходных и входных параметров, управляющие воздействия и состояния в виде агрегата-оператора, то получается довольно хорошо формализованная математическая модель. Ограничивающим фактором для решения такого рода моделей, как правило, является только лишь^юльшая раз­мерность входящих в нее параметров.

Агрегаты-статистики

Процессы функционирования реальных сложных систем во многих случаях носят случайный характер. Выходные характеристики таких систем принимают случайные значения из множества величин, описы­ваемых некоторой функцией распределения F(0, t), где 0 - вектор пара­метров закона распределения; t - некоторый момент времени. Если элементы вектора параметров функции распределения выражаются через достаточные статистики, тогда нет необходимости хранить всю информацию о реализованных характеристиках системы. Эту информа­цию можно заменить оценками параметров, полученными по реализо­вавшимся результатам наблюдений. Достаточные статистики - это агрегаты, которые извлекают всю полезную информацию об интересу­ющем параметре из совокупности наблюдений. Примерами достаточ­ных статистик являются параметры нормального закона распределе­ния - математическое ожидание и дисперсия, параметр экспоненциаль­ного закона распределения - ^-характеристика. Использовать доста­точные статистики необходимо с большой осторожностью. Их приме­нение оправдано только в том случае, когда обоснован вид закона рас­пределения, описывающий совокупность выходных величин. Дело в том, что агрегирование в данном случае является необратимым преобразо­ванием, которое может привести к потере информации. Например, по сумме нельзя восстановить совокупность случайных величин слагае­мых суммы.

Стохастические модели, в основе которых лежат предположения о законе распределения исследуемой случайной величины, так же, как и агрегаты-операторы хорошо изучены. Имеется соответствующий ма­тематический аппарат, в современных операционных системах пред­ставлено обширное прикладное программное обеспечение, позволяю­щее успешно работать с подобного рода моделями.

Агрегат как случайный процесс

Если процесс функционирования реальной сложной системы по сво­ему существу носит характер случайного процесса, для агрегата как математической модели системы используются основные понятия те­ории случайных процессов. Случайный процесс, протекающий в любой физической Системе, представляет собой случайные переходы систе­мы из состояния в состояние. Состояние системы может быть охарак­теризовано с помощью численных переменных: в простейшем случае

• одной, в более сложных - несколькими. Понятие случайного процес­са представляет собой обобщение понятия случайной величины. Слу­чайным процессом X(t) называется процесс, значение которого при любом фиксированном t = t₀ является случайной величиной X(t_Q). Слу­чайная величина X(t₀), в которую обращается случайный процесс при t-1₀, называется сечением случайного процесса, соответствующим дан­ному значению аргумента t. Теория случайных процессов бурно разви­вается в настоящее время. Ее аппарат изложен в обширной литерату­ре, например, [27]. Имеются частные случаи случайных процессов: марковские, полумарковские, винеровские, кусочно-непрерывные и т.п.

Таким образом, можно подвести итог. Существует большое коли­чество форм агрегирования, т.е. объединения частей в целое. Их общ­ность состоит в том, что агрегирование диктуется выбранной моделью описываемой системы. Агрегирование есть установление отношений между агрегируемыми элементами. Наиболее важными видами агре­гатов являются агрегаты-структуры, агрегаты-операторы, агрегаты- статистики и случайные процессы.