распределение Рэлея: R(t,a²) = Г

U

2’ 2о²

8.9. Оценивание параметров семейства гамма-распределений

Применение байесовской методики в задаче оценивания парамет­ра масштаба гамма-распределения состоит в следующем. Предполо­жим, что параметр формы известен. Априорная плотность распреде­ления параметра масштаба была получена в п. 8.7 (8.17). Функция прав­доподобия определяется на основании текущей информации и имеет вид

Qka к

^т{т'^у>’шг^а«~^кг‘^щц^тг-

Подставляя это выражение и выражение (8.17) в формулу Байеса, по­лучаем апостериорную плотность распределения оцениваемого пара­метра:

е«+*«-1ехр(-е(л5²Х + *т.))

Ьапо „(0/(7;. }) = (nS² X+ Ї-І- ^к-±, (8.25)

па + ка-1

где X_k - математическое ожидание случайной величины t, полученное на этапе текущих наблюдений; к - объем выборки текущих значений наблюдаемой случайной величины.

Определим байесовскую оценку параметра X и точность в опреде­лении этого параметра. Для этого подставим выражение для апостери­орной плотности распределения параметра X (8.25) в формулу (8.6), тогда

в ₌na_₊Ja-l ₍₈₂₆₎

^r nS²X+кх_к

Для оценки точности в определении параметра X подставим выра­жение (8.25) в (8.7) и получим

_D(Q_r) = -Z^ia+^fcaT¹ (8.27)

(nS²X + kx_k)²

Таким образом, получены формула (8.26) для объединения априор­ной и текущей информации о параметрах объектов, наблюдаемая слу­чайная величина которых имеет гамма-распределение, и формула (8.27) для определения точности байесовской оценки параметра X. Известно, что ряд законов распределения являются частными случаями гамма- распределения. Так, экспоненциальное распределение можно предста­вить следующим образом: E (t,X) = Г(МД);

268

^-распределение: k{t,l) = T

Ч /

Подставляя в выражения (8.26) и (8.27) соответствующие коэффи­циенты (a = 1 - для экспоненциального закона; a = 1/2, X = l/2a² - для закона Рэлея; a = 1/2, X = (1/2)/ - для распределения X²), можно полу­чить выражения для оценивания параметров этих законов распределе­ния. Результаты вычисления данных параметров представлены в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Вид закона распределения	Оценка параметра	Оценка дисперсии параметра
Гамма-распределенне Г(г, а, X) Экспоненциальное распределение E(t, X.) ^-распределение Распределение Рэлея ЩІ, о2)	лОЕ + fca-l 6~ nS2i. + krt n+fc_1 6 nT„+jtTt п + к-2 ni„+k Tt 1 п+к-2 ЛТ„ + ZtT4	яа+ка-1 1 б} (nS2i+kxt)2 DlK)= п+к~\ 6 (лт.+*т,)г OW= " + *~\ (ПТ„+ZfcT4)2 f I 1 п + к-2 la7] (nt,+ktkf

Примечание. т_я- математическое ожидание случайной величины/,полученноеиа этапе априорных наблюдений;п- объем выборки априорных значенийнаблюдаемой случайной величины

Таким образом, полученный результат оценивания параметра X гам­ма-распределения может быть распространен на большую группу за­конов распределения.

10. Байесовское оценивание параметров по многократно цензурированным данным

До настоящего времени излагались модели байесовского оценивания, основанные на довольно простых планах испытаний (эксплуатации). В ча­стности, в предыдущих параграфах описана схема обработки результатов наблюдений, полученных в предположении, что в каждом испытании реа­лизуется наблюдаемый признак. Например, если решается задача анализа надежности, то описанная схема предполагает, что все объекты, находя­щиеся под наблюдением, доведены до отказа.

На практике при эксплуатации элементов и устройств наблюдается иная картина. Как уже отмечалось в предыдущей главе, эксплуатаци­онная информация, поступающая на обработку, бывает представлена в виде многократно цензурированных, группированных данных. Рассмот­рим последовательность применения процедуры байесовского оценива­ния в указанных ситуациях.

Пусть текущая информация представлена в виде выборки объема г = k+v, которая содержит ряд элементов с реализовавшимся наблю­даемым признаком T₁, T₂,..., T_k и ряд элементов с не реализовавшимся

признаком, т.е. цензурированные данные Т',Т',...,Т'.

Известна плотность распределения наблюдаемой случайной вели­чины, которая имеет вид/(9, t), где 9 - вектор параметров. Пусть А(9)

• априорная плотность распределения вектора 9.

В такой постановке оценивание вектора параметров будем прово­дить следующим образом. Как следует из результатов, изложенных в гл. 7, функция правдоподобия для выборки с элементами, для которых реализовался признак, и элементами, содержащими цензурированные справа данные, записывается в следующем виде:

леді;})=П/адЩі-F(e,r;)).

M J=I

Далее процедура оценивания не отличается от уже изложенной ра­нее. Апостериорная плотность распределения записывается следующим образом:

й(Є)П/(⁰,⁷OTO-тт;'))

K^nr_i)) = ? ? .

J Л(х)П Ж Т,) П О ■- T'j) )dx

в 1=1 M

Оценки вектора параметров и точности в их определении рассчитыва­ются по (8.6), (8,7).

Получить решение данной задачи в явном виде, по всей вероятнос­ти, не удастся ни для одного распределения. Решение необходимо ис­кать численными методами.

Покажем, какие выражения получаются в самом простейшем слу­чае, когда наблюдаемая случайная величина распределена по экспонен­циальному закону. В этом случае функция правдоподобия

/(в,{Г,}) = П0^ехр(-07; )П(1-ехр(-07';)).

i-i j-i

Апостериорная плотность распределения параметра 9 с учетом (8.17) запишется следующим образом:

G*+"-¹ exp(-e(nS²% + Jkx_t ))fl(i -єхр (-0Г/))

K_mWWV=Z г¹ ’

Jt⁴⁺"'¹ ехр (-T (nS²X + кх_к ))Г1(1-^ехр(-х7;'))^х

О j=¹

к

It_i

где T_k = -*=1— . к

Для экспоненциального распределения известно, что математичес­кое ожидание равняется среднеквадратическому отклонению и равно обратной величине интенсивности отказа, следовательно, выполняется соотношение M(T) = S = I fk, и выражение для апостериорной плотности можно переписать как

0*⁺"^_1 ехр(-9(т„ + кх_к ))П(і^-ехр (-GrJ))

к_т(в'Ю)=-„ Я

Jт*⁺"'¹ехр(-т(лт„ +kx_k ))п(1-ехр(-тг;))йт

j=i

п

Sr_l

где т„ = —¹— оценивается по априорной информации.

Оценка параметра экспоненциального распределения

|e*⁺"exp(-G(nt_n + kx_k ))Р2(1-ехр(-97у))^⁰

ВВЕДЕНИЕ 5