4. Элементы статистической теории подобия

В общем случае параметры исследуемых систем, процессов или явлений могут представлять собой случайные величины. Поэтому не­обходимо применять основные положения теории подобия с учетом стохастического характера процессов и явлений, происходящих в объек­тах. Принципы подобия в стохастическом смысле основаны на том, что сравниваемые параметры являются случайными величинами, а крите­рии подобия - функциями этих случайных величин.

Рассмотрим постановку задачи определения подобия системы-ори­гинала и модели. Пусть имеется соотношение [29] вида

P = P₁AP₂A₁₁₁AP_ni, (5.2)

ще р,, =^-, і = 1, m - статистики критериев, сформированные для каж-

^xV

дой группы одноименных параметров; {х_|(} - параметры системы-ори­гинала; {х₂Д - параметры модели.

Считается, что системы подобны, если отношение (5.2) равно еди­нице. Параметры, входящие в выражение (5.2), в общем случае явля­ются случайными величинами. В такой постановке можно говорить о равенстве критерия р единице только с некоторой долей вероятности. Если критерий р является непрерывной случайной величиной, то веро­ятность того, что р = 1, в точности равна 0. В стохастической постанов­ке принято считать, что две системы подобны, когда функции распре­деления параметров, характеризующих эти системы, равны, а статис­тика критерия подобия находится в пределах верхней и нижней границ доверительного интервала. Вектор параметров системы в общем слу­

чае представляет собой набор функциональных и конструктивно-тех­нологических параметров системы. Примерами таких параметров мо­гут служить физические характеристики: коэффициент теплопередачи, рабочее давление, число оборотов вала турбины, параметры, характе­ризующие габаритные размеры объекта и т.п. В качестве параметров могут использоваться обобщенные параметры, например, характерис­тики надежности типа среднего времени до отказа (наработка на отказ), коэффициент готовности, вероятность выполнения задачи и т.д.

Примеры параметров промышленных объектов. Проведем ана­лиз параметров на примере конкретных промышленных объектов. Рас­смотрим агрегаты, входящие в структуру атомных электростанций (АЭС). Так при анализе модульных парогенераторов АЭС определяю­щими параметрами являются количество трубок в модуле, количество модулей, длина трубки, толщина стенок трубки, коэффициент теплопе­редачи, параметры рабочего тела. При исследовании подобия турбин определяющими параметрами являются мощность турбины, габарит­ные размеры, параметры пара, такие как влажность, температура и пр. Для электронных устройств помимо конструктивного подобия необхо­димо анализировать электрические параметры: напряжение и силу тока на входе и выходе, коэффициент усиления и т.п.

Изложим способ получения численного значения статистик крите­рия подобия. Пусть случайные параметрых_п, х_п, ..., х_ы имеют плот­ность распределенияZ₁₁(X₁), соответственно параметры х₂₁, х₂₂, ..., х_2т имеют плотносгь/^(х₂₍). Тогда в терминах задачи проверки статистичес­ких гипотез нулевая гипотеза H₀ будет состоять в том, Vrof_u(X_l) ⁼/_гі(х₂) для всех одноименных параметров.

Альтернативная гипотеза заключается в том, что/_и(х_ь) ^f_2i(X₂). Для критерия подобия можно записать, что сравниваемые системы подоб­ны, если р є [р_л, р J. Здесь р_я, р₄ - соответственно нижняя и верхняя гра­ницы доверительного интервала для критерия подобия, определяемые с некоторым уровнем значимости.

Для определения численного значения статистики критерия р при справедливости гипотезы H₀ необходимо по известным плотностям распределения случайных величин X₁. и х определить плотности рас­пределения/^ _w) иZ₂₁(X₂)₁ от этих плотностей перейти к плотности рас­пределения величины р и, наконец, вычислить выборочное значение статистики р и границы критической области [р_я, pj.

Величиных, и х₂, независимы, следовательно, их совместная плот-

Итак, пусть каждый объект характеризуется некоторым числом па­раметров х_р 1 — 1, m . Перепишем формулу (5.2) в следующем виде:

X. і Акр х_я P - Pl Ap₂A-Ap_lli=-i-A А... А .

*21 ^Х22^Х1т

Иными словами сравнению подлежат параметры одного типа. На­пример, сравнивают длину трубок парогенераторов оригинала и моде­ли, толщину стенок этих парогенераторов, их теплопроводность и т.д.

Множество величин р₍ представляет собой набор независимых слу­чайных величин. Тоща объекты — оригинал и модель — находятся в от­ношении подобия, если они подобны по каждому определяющему па­раметру.

Теперь задача сводится к определению доверительного интервала по каждому критерию подобия р. с одним и тем же уровнем значимос­ти. Если такие интервалы найдены и для каждого критерия выполня­ются условия ре [p„,pj , то объекты можно считать подобными. Если же хотя бы по одному критерию условие подобия не выполняется, то оснований считать объекты подобными нет.

Следует заметить, что часть анализируемых параметров может иметь детерминированный характер. Так, в примере с парогенератором можно считать, что длина трубок, толщина стенок трубок - величины неслучайные, поэтому при анализе подобия объектов по этим парамет­рам решение тривиальное, не требующее привлечения аппарата случай­ных функций. Подобие по этим параметрам определяется путем деле­ния параметров объекта-оригинала на соответствующие параметры модели. Таким образом, размерность задачи (5.2), требующей анализа с использованием аппарата случайных функций, существенно понижа­ется.

Методика определения плотности распределения величины р состо­ит в следующем. Итак р = — - выборочное значение статистики кри-

^Zi

терия, определенное по результатам испытаний системы оригинала и модели, F_p (к) - функция распределения величины р₍. He нарушая об­щности, опустим индекс в записи для функции распределения, так как аналогичные выкладки будут иметь место для любых параметров сис­темы, имеющих характер случайных величин. Запишем выражение для функции распределения:

/

^<к

F_p(K)^P(p<K) = P

₍.. „₂, независимы, следс ₇

ность распределения есть произведение плотностей этих величин. Co-

гласно [31], вероятность соотношения -^l^k выражается интегралом

^Х2

от совместной плотности по области, определенной неравенствами х₂>

О, X₁ < х₂к:

F_p(K)= JJ f_l(y)f₂(z)dydz. (5.3)

X₂ >0

X₁^X₂K

Будем считать, что функция F_p(K) дифференцируема, т.е. существует

ПЛОТНОСТЬ Ур(к).

Точные доверительные границы определяются из соотношений

р.

J/_p(K///₀)dK = a;

! (5.4)

J /_Р(^к/H₀)dK=a,

Pb

где a - уровень значимости.

В данных соотношениях неизвестными величинами являются зна­чения границ доверительного интервала р_я, р₄, относительно которых необходимо решить интегральные уравнения (5.4). Определив функцию распределения статистики критерия (5.3) можно ограничиться вычис­лением приближенных границ доверительного интервала. Для этого необходимо получить плотность распределения статистики критерия р, вычислить математическое ожидание

^шр ⁼J Ч^(к^^к

«р

и среднее квадратическое отклонение статистики критерия

Фі(у) =

°р = J K²Z_p(K)^K-W_p²,

⁰P

\\-iy

где Q_p - область определения критерия р. В общем случае область оп­ределения критерия Q_p = [0, оо]. Определив математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, можно вычислить приближен­ный доверительный интервал по формулам р„ = ш_р -f_aa_p, P_t = ш_р +f_ao_p, где t_a - квантиль распределения Стьюдента, определенный для уровня значимости а.

Рассмотрим методику проверки гипотезы о подобии объектов ори­гинала и модели. Решение о подобии объектов будем принимать на основании сравнения оценок, полученных на различных этапах иссле­дования, а именно, при функционировании объекта-оригинала и при исследовании модели. Особо подчеркнем, что в качестве сравниваемых параметров фигурируют оценки. Поскольку оценки определяются пу­тем обработки выборки случайных чисел ограниченного объема, то они сами являются случайными величинами, имеющими плотность распре­деления/^/). В ряде случаев плотность распределения оценок характе­ристик довольно просто получить на основании плотности распреде­ления исходной случайной величины. Известно [30], что если оценка характеристики выражается через достаточную статистику M(T) (через М(Т)ъ математической статистике принято обозначать сумму случай­ных величин), то для определения ее плотности распределения можно воспользоваться аппаратом характеристических функций. Такая ситу­ация имеет место при определении средней наработки, интенсивности отказа, вероятности отказа, коэффициента готовности и ряда других параметров системы. Рассмотрим два случая распределения наблюда­емых случайных величин.

1. Случайная величина (например, наработка до отказа) имеет гам­ма-распределение t~T(t, X, а) с параметрами: X - параметр масштаба и a - параметр формы. Определим плотность распределения средней величины. Рассмотрим функционирование объекта-оригинала. Пусть за время его работы наблюдаемая случайная величина реализовалась к раз. Положим, что все случайные величины независимы и распределены по гамма-закону

Tv.-» _a ч_ V⁷“'"^exP(-V)

^Ц,Л’^а,) Г(од •

Характеристическая функция для данной плотности имеет вид

/ . Y¹

Х,-іуV^{1 j}I

Характеристическая функция величины X = ^T_j, где к- объем стати-

J-I

стических данных, определяется из соотношения

Фх(у) =

Применяя к данному выражению обратное преобразование Фурье, по­лучаем плотность распределения случайной величины X

/(-^r^p^a₁)^- . • (5-5)

Що,)

Перейдем от плотности распределения случайной величины X, пред­ставляющей собой сумму случайных величин, к величине T , являю­щейся средней величиной

*

T—

⁴¹ к '

Плотность распределения средней величины будет иметь вид

Г(*а,)

Аналогичное выражение получим для распределения оценки, рассчи­танной по результатам испытаний модели:

Л,a,) = (5.7)

Г(па₂)

здесь п - объем статистических данных, полученных при проведении исследования модели. Определим теперь функцию распределения ста­тистики критерия р, для чего подставим выражения (5.6) и (5.7) в (5.3) и получим

Zp^rCO=JJ/, (*,)/₂ (f₂Vfc₁A₁=

f₂>0(,S 1_гк

(IcXJ^a'exp(-fcy,) г,"»-¹ exp(-nX₂t₂)

_гг ) ‘1 ^exPl ^kViHW;) r₂ exp(-nA₂t₂),

T(^a₁)Г(па₂) ^{1 2-}

'1Sr₂K

Перейдем в данном выражении к повторному интегралу и произве­дем замену переменных ?₂ = v, t_x = uv, получим

^к \^ла2/|Л \*^ai Ica_l-I-

^Г (t-mrf ⁴ V ^2л-

^р^Г(^К)= Jг Гу^я«2+*а2-1exp{-v(fcX₁M + Tlk₁ )]dvdu.

і T(Ha₂)Faa₁) ^J₀ **1 V 1 Uf*

Внутренний интеграл в данном выражении представляется через гамма-функцию следующим образом:

7 ^+*<*,-1exp{-v(fcX₁M+пХ₂ )]dv=

^J₀ У і * JJ^u (n^+fcVr -¹

Таким образом, функция распределения критерия р будет иметь вид

f^r(_K\- г (ⁿK)"“’ (^kK )*°^{1 r}(^naz +^ka, )^ц>а‘_du

^р \ Г(ш, )Г(/са, )(пк₂ +k\u)'^iai*^ka'

Соответствующая данной функции плотность распределения получа­ется дифференцированием данного выражения по к и равна

_fг, > _ (пК г (U₁)^taTUa₂ +E(X₁)K*-'-^1р Г{па₂)Г(ка,)(пК+к\ку^а^^а' ' ^ ' ’

При справедливости гипотезы H₀ должны выполняться соотношения X₁=X₂=X, a =Ot₂=O, тогда условная плотность распределения статисти­ки критерия будет иметь вид

гЧк.’П (^к/пУ^аП(п ₊ к)д.)K^ta-

^{р 0} r(na)r(jta)(Kjt/n + l)^<,,+t|“' ^ ^

Точные верхнюю и нижнюю границы доверительного интервала р_я, р₄ определяем, решая уравнения (5.4), подставляя в них выражение (5.9). Данные уравнения решаются численными методами, например, мето­дом последовательных приближений. Гамма-распределение является довольно общим распределением. К семейству гамма-распределений относятся распределение Рэлея, экспоненциальное распределение, %²- распределение. Таким образом, полученные результаты могут быть обобщены на ряд других законов распределения случайной величины, для которой формируется критерий подобия.

2. Второй случай характеризует ситуацию, когда наблюдаемые слу­чайные величины подчиняются нормальному распределению. Методику разработки критерия будем рассматривать на примере сравнения сред­них арифметических выборочных данных, полученных при функцио­нировании оригинала и модели. Пусть наблюдаемые случайные вели­чины имеют плотность распределения соответственно

Z₁^wW=-T-ех р л/2яі,

/2ЧО = J-ехр

у/2ns,

где in,, J₁ - параметры плотности распределения случайной величины, полученной при наблюдении за объектом-оригиналом; от₂, S₂ - парамет­ры плотности распределения случайной величины, полученной при ис­следовании модели. Тогда выборочные средние значения, определяемые

к

(a² + і² )

из выражения X = ^T_j, будут иметь соответственно следующие выра-

у² -2v(|xa² + ms²)/(a² + s²) + (ц²а² + т²s²)/(а² + S²)

Is²O² /(а² + .V²)

В числителе данного выражения добавим и отнимем величину

ґ Ґ 2 2 ч V (цо +ms )

, тогда выражение примет вид

₂ „ (HO +ms²)

V -2v H

* =

? "> / 1 'У '

2s'о/ (o' + і')

(a +s')

(-г-"»,)²

2d:

V ¹

г , N

(х-тЛ

л/гїсо,

і

(|X²a² +rn s²) (,O² +s²)

(ца² + ms¹) (o² + s²)

(ца² + ms²) (a² +s²)

Is²O²/(o² +s²)

(¾ - W₂ )²

2a!

Ix^dx₂.

-exp

(v-m )²

dv.

2a²

V — -

Qx-т)² 2(a²+s²)

dv,

exp

2 a¹ S¹1 (a¹ +S²)

^(^f^Jv-= J=-QX p

0 о V 271 a, V27ia₂ ^ 2a,

(5.10) '

Произведем в данном выражении следующую замену переменных: Щ °1

Д =—, ^{s =} ~> Далее индексы у параметров для простоты опустим. За­пишем показатель у экспоненты, предварительно суммируя слагаемые:

_v_ (у-Ц)У + (у-го)У _ V²O²-2v|xa² +[X²O² +vV-Ivms¹ +m²s² Is²O² ~ Is²O¹

Приведем подобные члены в данном выражении:

у² (о² + S²) - 2у(цсг + ms²) + |ro² +m²s²

Переходим в данном выражении к повторному интегралу, выполняя при ЭТОМ замену переменных X₂ =V_tX_l = UV-.

где о. = -j-, O₂ = к п

Запишем функцию распределения статистики критерия р:

F_p" ( к) = JJ ^ expf-^-^ll 1

Jt₂>о V2ita, I 2a, n/27OT

/,"(*)

I₂ⁿM

² V²

.2 _ ^л2

(uv-m.f

Л 2 2

Is о

-exp

exp

exp

2а;

V =

жения для плотностей распределения:

1

В первом слагаемом получили квадрат разности двух выражений, причем выделили переменную V. Второе слагаемое получилось не за­висящим от интегрируемой переменной. Упростим второй член данной суммы, для чего вынесем за скобку (a²+j²y², тогда получим

_ (ц²о² + щ²S² )(g² + S²) - (ро² + ms² )² _

² 2s²o²(o²+s²)

W²S⁴ +W²S²O² +H²O²S² +H²O⁴ -р²о⁴ -2\io²ms² -m²s⁴ 2s²o²(o² +s²)

Приведем подобные члены и получим простое выражение

2 (о²+S²)

Преобразуем выражение (5.10) с учетом полученных результатов:

K-J j

Fp (к) =\du\v— 7=—exp

О О V 2710, V 27ta₂

/ 2 2 . 2 2. (Ц a + m s )

/ 2,2.

(a + s )

|1<Г + ms

a² +S²

2 V

LV

V

Qia² + ms')

V ^⁺*²) J

Qxa² + ms²)

V (°^{2 +} *²> J

Разделим числитель и знаменатель на (a²+s²), получим

Первая экспонента в данном выражении не зависит от v, поэтому ее можно вынести за знак внутреннего интеграла. Тогда получим

ЦО‘ + ms a² +s²

( I ,! \

(W₁H-W₂)

^Fp"^{(K) =} jf А ГГ ^ехр ov27ca, -Jlna₂

Vna₁O₂ (W₂O₁²H+ W₁O,²)

г«-Ь=

('Vi-тУ 2 (о²+і²)_

dujvexp

о

2(о,‘и' +о₂‘)

(W₂O₁²M+ W₁O₂')

dv.

■e

xp

о Viito₁ Tiiia₂

2 оУДа² +5²)

1 + Ф

Jlia_l²U² +о₂²)о,о₂ _ Л

■Jl(a

²u² +O₂²) о,‘и'+о,‘ (

Внутренний интеграл в данной формуле выражается через функцию Лапласа. Покажем это. Для этого введем обозначение:

2 2 O²M² + о

(W₂O₁ И + W₁O₂ ) Jlia²U² + о,²)о,о₂

cfu-

T^exP

p.a² + ms² о² +S²

у--

Z=-

Os

4Ї

Соответствующая плотность распределения статистики критерия выг­лядит следующим образом:

Va

Тогда интеграл можно записать в виде

/₂ = -Jl . I vexp(-z² )dz., л/a²+ і² „

1

1

(W₁W-W₂)'

_ч 2(о₁²и²+о₂²)_/

VitO1O2	(W2Oj-M + W1O22)
Jlia1" и2 +O2-)	2 ■> 2 O1 И“ +O2

Л» =

Viiio₁ Viico.

■ехр

1 + Ф

о, о,

+ , , ~ , ехр

O₁ и" + о.

(W₂Oj^-M+ W₁O₂')

Jlia*u² +а*)а,а₂ _

p.a +ms

где нижнии предел интегрирования равен а = -

По определению функция Лапласа имеет вид

2 ^у

ф(;у) = -= J exp(-Z²)*.

У/К о

Следовательно, можно записать

V

2(а² + і²)іо

/ 2 I^v

(W₂Oj^-M+ W₁O₂ )

J Iia* и² +о₂²)о,о₂

/ J

При условии справедливости нулевой гипотезы должны выполнять­ся соотношения т= m_v s = S_r Следовательно, условная плотность рас­пределения статистики критерия при условии справедливости нулевой гипотезы будет иметь вид

л/яла ' (ца² +Wi²)

((J-G² + Wi²)

-^2 (а² + і²)іо

Y

1 + Ф

(а² + і²) ^2(о² + і²) (

S Q

+—: гехр

Г² Cu-1)²

2(и² / к + 1 In)

1

fp (^u^ H₀) = - ехр

Vitr

271

((J-O +Wi )

1		гу/пк(и /к+ Mn)	‘
-Jnkiu2 /к + Мп)		^ Jliu2/к + Мп) j

(и Ik+ Mn)

Jliu²/к+ \/п) и²/к + 1/п

1 + Ф

ryfnk(u/k +1/п) Jliu²1 к+ Mn) _

а² + і²

L V

/ j

(5.11)

Подставляя полученное значение в (5.10) и переходя к прежним обо­значениям, будем иметь

здесь г = mis.

Зная плотность распределения статистики критерия подобия, мож­но вычислить по аналогии с предыдущим случаем границы доверитель­ного интервала для заданного уровня значимости. Для этого необходи­мо подставить выражение (5.11) в (5.4) и решить уравнения относитель­но верхней и нижней границ доверительного интервала. Нормальный закон распределения также является общим случаем, частными случа­ями которого будут усеченное нормальное распределение, логарифми­ческое нормальное распределение.

Таким образом, проверяя по каждой группе одноименных парамет­ров гипотезу о их подобии, решаем задачу подобия системы оригинала и модели.

/